Теорема Піфагора і знаходять способи її доказательства

МОСКОВСЬКИЙ ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ.

ШКОЛА — ЛАБОРАТОРІЯ № 799.

Реферат по Геометрии.

Тема: «Теорему Піфагора і знаходять способи її доказательства».

Учня Кудашева Алексея.

Москва. 1997 г.

План:

1) Введение.

2) Біографія Пифагора.

2) Не алгебраїчні докази теоремы.

А) Найпростіше доказательство.

Б) Давньокитайське доказательство.

У) Древнеиндийское доказательство.

Р) Доказ Евклида.

3) Алгебраїчні докази теоремы.

А) Предисловие.

Б) Перше доказательство.

У) Друге доказательство.

4) Заключение.

Важко змогла знайти чоловіка, яка має ім'я Піфагора не асоціювалося б із теоремою Піфагора. Мабуть, навіть ті, хто у житті назавжди розпрощався з математикою, зберігають згадки «пифагоровых штанях» — квадраті на гіпотенузі, равновеликом двом квадратах на катетах. Причина такий популярності теореми Піфагора триедина: це простота — краса — значимість. У насправді, теорема Піфагора проста, але з очевидна. Це поєднання двох суперечливих став проявлятись і надає їй особливу притягальну силу, робить її красивою. Але, ще, теорема Піфагора має величезну значення: вона застосовується у геометрії буквально щокроку, і те що, що є близько 500 різних доказів цієї теореми (геометричних, алгебраїчних, механічних тощо.), свідчить про гігантському числі її конкретних реалізацій. Відкриття теореми Пифагором оточене ореолом гарних легенд. Прокл, коментуючи остання пропозиція першої книжки «Почав» Евкліда, пише: «Якщо послухати тих, хто любить повторювати древні легенди, доведеться сказати, що ця теорема перегукується з Піфагору; розповідають, що він у честь цього відкриття приніс жертву бика». Втім, більш щедрі розповідачі билин одного бика перетворили на одну гекатомбу, але це вже ціла сотня. І хоч і Цицерон зауважив, що всяке пролиття крові було чуже статуту пифагорейского ордена, легенда ця міцно зрослася з теоремою Піфагора і крізь дві тисячі років продовжувала викликати гарячі відгуки. Так, оптиміст Михайло Ломоносов (1711—1765) писав: «Піфагор за винахід одного геометричного правила Зевсу приніс на жертву сто волів. Та якщо за характерні для сьогодення від дотепних математиків правила по забобонній його ревнощів надходити, навряд в цілому світлі стільки рогатого худоби сыскалось». І це іронічний Генріх Гейне (1797—1856) бачив розвиток тієї ситуації дещо інакше: «Хто знає! Хто знає! Можливо, душа Піфагора переселилася в бідолаху кандидата, який зміг довести теорему Піфагора і провалився від цього іспитах, тоді як у його экзаменаторах живуть душі тих биків, яких Піфагор, зраділий відкриттям своєї теореми, приніс жертву безсмертним богам». Сьогодні теорема Піфагора виявлено у різних приватних завдання й кресленнях: й у єгипетському трикутнику в папірусі часів фараона Аменемхета першого (прибл. 2000 е.), й у вавілонських клинописних табличках епохи царя Хаммурапі (XVIII в. е.), й у древнеиндийском геометрическотеологічному трактаті VII —V ст. е. «Сульва сутра» («Правила мотузки»). У найдавнішому китайському трактаті «Чжоу-би суань цзинь», час створення котрого точнісінько невідомо, стверджується, що у XII в. до зв. е. китайці знали властивості єгипетського трикутника, а до VI в. до н.э.—и загальний вид теореми. Попри усе це, ім'я Піфагора настільки міцно сплавилося з теоремою Піфагора, що зараз просто неможливо уявити, що це словосполучення розпадеться. Те саме стосується і до легенді про заклании биків Пифагором. Та й навряд треба препарувати историко-математическим скальпелем гарні древні перекази. Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор дав перше доказ носить його ім'я теореми. На жаль, що від цього докази теж збереглося ніяких следов.

Я розгляну деякі класичні докази теореми Піфагора, відомі з давніх трактатів. Зробити це корисно ще й тому, що у сучасних шкільних підручниках дається алгебраїчне доказ теореми. У цьому зникає безвісти первозданна геометрична аура теореми, втрачається та нитку Аріадни, що вів древніх мудреців істини, а шлях цей майже завжди опинявся найкоротшим і завжди гарним. Отже, Теорему Пифагора.

Біографія Піфагора. Великий учений Піфагор народився близько 570 р. е. на острові Самосе. Батьком Піфагора був Мнесарх, різьбяр по дорогоцінним камінню. Ім'я ж матері Піфагора невідомо. За багатьма античним свідченням, народжений хлопчик був казково гарний, а невдовзі проявив винахідливість і свої неабиякі здібності. Серед вчителів юного Піфагора традиція називає імена старця Гермодаманта і Ферекида Сиросского (хоч і немає твердої впевненості, що став саме Гермодамант і Ферекид були першими вчителями Піфагора). Цілі дні проводив юний Піфагор під ногами старця Гермодаманта, слухаючи мелодії кіфари і гекзаметрам Гомера. Пристрасть до музиці і поезії великого Гомера Піфагор зберіг протягом усього життя. І, будучи визнаним мудрецем, оточеною натовпом учнів, Піфагор починав із співу одній з пісень Гомера. Ферекид само було філософом і вважався засновником италийской школи філософії. Отже, якщо Гермодамант ввів юного Піфагора до кола муз, то Ферекид звернув розум до логосу. Ферекид направив погляд Піфагора до природи й у ній однієї радив бачити свого першого вчителя і головного вчителя. Але хіба що не пішли, невгамовному уяві юного Піфагора дуже швидко стало тісно на маленькому Самосе, і він вирушає до Мілет, де зустрічається з іншим ученим — Фалесом. Фалес радить йому вирушить по знання до Єгипту, що Піфагор і сделал.

У 548 р. е. Піфагор прибув Навкратис — самосскую колонію, де було в кого знайти притулок і їжу. Вивчивши язик, і релігію єгиптян, їде в Мемфіс. Попри рекомендаційного листа фараона, хитромудрі жерці не поспішали розкривати Піфагору свої таємниці, пропонуючи йому важкі випробування. Але покликаний жагою знаннями, Піфагор подолав їх усіх, хоча щодо даним розкопок єгипетські жерці мало чого могли його навчити, т.к. тоді єгипетська геометрія була суто прикладної наукою (удовлетворявшей потреба на той час в рахунку й у вимірі земельних ділянок). Тому, навчившись всьому, що далечіні йому жерці, він, і втік від нього, вирушив там в Елладу. Проте, виконавши частину шляху, Піфагор вирішується на сухопутне подорож, під час яких його захопив в полон Камбиз, цар Вавилона, що вилітав додому. Марно драматизувати життя Піфагора в Вавилоні, т.к. великий володар Кір був терпимий всім бранцям. Вавилонська математика була, безперечно, розвиненішою (прикладом може бути позиційна система обчислення), ніж єгипетська, і Піфагору було чого повчиться. Однак у 530 р. е. Кір вирушив у похід проти племен у Середній Азії. І, користуючись переполохом у місті, Піфагор утік на батьківщину. На Самосе тоді царював тиран Полікрат. Звісно ж, Піфагора не влаштовувала життя придворного підлозі раба, і він пішов у печери навколо Самоса. Після кількамісячної домагань із боку Поликрата, Піфагор переселяється в Кротон. У Кротоні Піфагор заснував щось на кшталт религиозно-этического братства чи таємного чернечого ордена («піфагорійці»), члени якого зобов’язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя. То справді був це й релігійний союз, і політичний клуб, й наукове суспільство. Треба сказати, що з проповедуемых Пифагором принцыпов гідні наслідування і сейчас.

…Минуло 20 років. Слава братерство рознеслася всьому світу. Якось до Піфагору приходить Килон, людина багатий, але злий, бажаючи сп’яну розпочати братство. Почувши відмову, Килон починає боротьбу з Пифагором, скориставшись підпалом його будинку. При пожежі піфагорійці рятували життя свого вчителя ціною своєї, після чого Піфагор занудьгував і покінчив життя самоубийством.

" Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, равновелик сумі квадратів, побудованих з його катетах. «Найпростіше доказ теореми виходить в найпростішому разі рівнобедреного прямокутного трикутника. Мабуть, з нього починалася теорема. У самому справі, досить на мозаїку равнобедренных прямокутних трикутників (рис. 1), щоб у справедливості теореми. Наприклад, для (ABC: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідних трикутника, а квадрати, побудовані на катетах, — дві. Теорему доказана.

Давньокитайське доказ. Математичні трактати Стародавнього Китаю сягнули нас ІІ. е. Річ у тім, що у 213 р. е. китайський імператор Ші Хуан-ди, прагнучи ліквідувати колишні традиції, наказав спалити всі давні книжки. У ІІ. е. у Китаї була винайдено папір і водночас починається відтворення древніх книжок. Так виникла тематика у книгах" — головна з збережених математико — астрономічних творів книзі «Математики» поміщений креслення (рис. 2, а), доводить теорему Піфагора. Ключ до цього доведенню підібрати неважко. У насправді, на древнекитайском кресленні чотири рівних прямокутних трикутника з катетами а, b і гипотенузой з покладені отже зовнішній контур утворює квадрат зі стороною а+b, а внутрішній — квадрат зі стороною з, побудований на гіпотенузі (рис. 2, б). Якщо квадрат зі стороною з вирізати і 4 затушеванных трикутника вкласти удвічі прямокутника (рис. 2, в), то ясно, що яка утворювалася порожнеча, з одного боку, дорівнює с2, з другого — а2+Ь2, тобто. с2=а2+Ь2. Теорему доведено. Зауважимо, що за такого доказі побудови всередині квадрата на гіпотенузі, які бачимо на древнекитайском кресленні (рис. 2, а), не використовуються. Очевидно, давньокитайські математики мали інше доказ. Саме тоді як квадраті зі стороною з два заштрихованных трикутника (рис. 2, б) відрізати і докласти гипотенузами до двох іншим гипотенузам (рис. 2, р), то легко знайти, що отримана постать, яку іноді називають «кріслом нареченої», і двох квадратів зі сторонами чи b, тобто. с2=а2+Ь2.

На малюнку 3 відтворено креслення з трактату «Чжоу-би…». Тут теорема Піфагора розглянута для єгипетського трикутника з катетами 3, 4 і гипотенузой 5 одиниць виміру. Квадрат на гіпотенузі містить 25 клітин, а вписаний до нього квадрат більшому катете—16. Зрозуміло, що збережена частина містить 9 клітин. Це буде квадрат на меншому катете.

Древнеиндийское доказ. Математики Стародавньої Індії помітили, що як доказ теореми Піфагора досить використовувати внутрішню частина давньокитайського креслення. У написаному на пальмових листі трактаті «Сиддханта широмани» («Вінець знання») найбільшого індійського математика XII в. Бхаскары поміщений креслення (рис. 4, і з притаманним індійських доказів словом «дивися!». Як кажуть, прямо-угольньные трикутники покладені тут гипотенузой назовні, і квадрат с2 перекладається в «крісло нареченої» а2-b2 (рис. 4, б). Зауважимо, приватні випадки теореми Піфагора (наприклад, побудова квадрата, площа якого ще більше площі даного квадрата) зустрічаються в древнеиндийском трактаті «Сульва сутра» (VII —V ст. до н.э.).

Доказ Евкліда наведено у пропозиції 47 першої книжки «Почав». На гіпотенузі і катетах прямокутного трикутника АВС будуються відповідні квадрати (рис. 5) і доводиться, що прямокутник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямокутник ICEL — квадрату АС КС. Тоді сума квадратів на катетах дорівнюватиме квадрату на гіпотенузі. У самому справі, затушовані малюнку трикутники ABD і BFC рівні з двох сторонам і розі з-поміж них: FB=AB, BC==BD і (FBC=d+(ABC=(ABD. Але SABD=½ SBJLD, так як в трикутника ABD і прямокутника BJLD загальне підставу BD і загальна висота LD. Аналогічно SFBC=12 SABFH (BF—общее підставу, АВ—общая висота). Звідси, враховуючи, що SABD=SFBC, маємо SBJLD= SABFH. Аналогічно, використовуючи рівність трикутників ТСК. і АСІ, доводиться, що SJCEL=SACKG. Отже, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL= SBCED, що потрібно було довести. Доказ Евкліда тоді як древнекитайским чи древнеиндийским виглядає надмірно складним. Через це його нерідко називали «ходульним» і «надуманим». Але таку думку поверхово. Теорему Піфагора у Евкліда є заключним ланкою у подальшому ланцюгу пропозицій 1-ї книжки «Почав». Для здобуття права логічно бездоганно вибудовувати цю ланцюг, щоб кожен крок докази грунтувався на раніше доведених пропозиціях, Евклиду потрібен був саме обраний їм путь.

Ще давно була винайдено головоломка, звана сьогодні «Піфагор». Неважко переконатися, що у основі семи частин головоломки лежать рівнобедрений прямокутний трикутник і квадрати, побудовані з його катетах, чи, інакше, постаті, що складаються з 16 однакових равнобедренных прямокутних трикутників і тому вкладаються в квадрат. Така лише невелика дещиця багатств, схованих у перлині античної математики — теоремі Піфагора. Далі я розгляну кілька алгебраїчних доказів теоремы.

ДОКАЗ ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА. Нехай Т— прямокутний трикутник з катетами а, b і гипотенузой з (рис. 6, а). Доведемо, що с2=а2+Ь2.

Побудуємо квадрат Q зі стороною а+Ь (рис. 6, б). На сторони квадрата Q візьмемо точки А, У, З, D те щоб відтинки АВ, ЗС, CD, DA відсікали від квадрата Q прямокутні трикутники Т1, Т2, Т3, Т4 з катетами чи b. Чотирикутник ABCD позначимо буквою Р. Покажемо, що Р — квадрат зі стороною с.

Усі трикутники Т1, Т2, Т3, Т4 рівні трикутнику Т (з двох катетам). Тому і гіпотенузи рівні гіпотенузі трикутника Т, т. е. відтинку з. Доведемо, що це кути цього чотирикутника прямые.

Нехай (і (— величини гострих кутів трикутника Т. Тоді, як вам відомо, (+(= 90°. Кут у при вершині А чотирикутника Р разом із кутами, рівними (і (, становить розгорнутий кут. Тому (+(=180°. І як (+(= 90°, то (=90°. Так само доводиться, що інші кути чотирикутника Р прямі. Отже, чотирикутник Р — квадрат зі стороною с.

Квадрат Q зі стороною а+Ь складається з квадрата Р зі стороною сек. і чотирьох трикутників, рівних трикутнику Т. Тож їх площ виконується рівність S (Q)=S (P)+4S (T) .

Оскільки S (Q)=(a+b) 2; S (P)=c2 і S (T)=½(ab), то, підставляючи ці висловлювання на S (Q)=S (P)+4S (T), отримуємо равенство.

(a+b) 2=c2+4*(½)ab. Оскільки (a+b)2=a2+b2+2ab, то рівність (a+b)2=c2+4*(½)ab можна записати так: a2+b2+2ab=c2+2ab.

З рівності a2+b2+2ab=c2+2ab слід, що с2=а2+Ь2.

Ч.Т.Д.

ЩЕ ОДНЕ АЛГЕБРАЇЧНЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Нехай АВС — даний прямокутний трикутник з прямим кутом З. Проведемо висоту CD з вершини прямого кута З (рис. 7).

За визначенням косинуса кута (Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається ставлення прилежащего катета до гіпотенузі) соsА=AD/AC=AC/AB. Звідси AB*AD=AC2. Аналогічно соsВ=BD/BC=BC/AB. Звідси AB*BD=ВС2. Складаючи отримані рівності почленно і помічаючи, що AD+DB=AB, получим:

АС2+ВС2=АВ (AD + DB)=АВ2. Теорему доказана.

Наприкінці вкотре хочеться сказати про важливість теореми. Значення її полягає насамперед у тому, що з її чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. На жаль, неможливо тут привести все і навіть найвродливіші докази теореми, проте хочеться сподівається, що наведені приклади переконливо засвідчують величезному інтересі сьогодні, та й вчора, виявленому стосовно ній. ———————————;

Рис 1.

Рис. 4.

Рис. 2.

Рис. 2.

Рис. 5.

[pic].

Рис. 3.

[pic].

Рис. 5.