Класичне означення ймовірності (реферат)

Реферат на тему:

Класичне означення ймовірності.

Частота випадкової події. Нехай ростір елементарних подій. Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Повторимо експеримент n раз. Позначимо через Kn (А) — число експериментів, в яких відбулася подія, А. Частотою подій, А називається відношення.

$${}_n(A)=\frac{K_n(A)}{n}$$ .

Частота може бути обчислена лише після того, як проведена серія експериментів, і, взагалі кажучи, частота змінюється, при переході від однієї до інщої серії з n експериментів, або з зміною n. Але, як показує досвід, при достатньо великих n для більшості таких серій експериментів частота зберігає майже постійну величину, причому великі відхилення спостерігаються тим рідше, чим більше n.

Якщо при великих n частота $${}_n(A)$$ події А мало відрізняється від деякого фіксованого значення р, то говорять, що подія, А стохастично стійка, а число р є ймовірностю події А. Тобто, ймовірність події А є число близьке до частоти появи події А в довгій серії тотожніх експериментів.

Ймовірності в дискретних просторах елементарних подій. Простір елементарних подій називається дискретним, якщо множина кінченна або зліченна.

Нехай простір …, …}елементарних подій дискретний. Припустимо, що кожній елементарній події можна поставити у відповідність невід'ємне число рк (ймовірність), причому $$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{yen}}{}}{p}_k=1$$. Якщо Аипадкова подія (А то $$p(A)=\underset{v_k\mathit{^IA}}{\overset{}{}}{p}_k$$, де р (А) азивається ймовірністю події А.

Мають місце властивості:

1. a)P (A)>=0,.

2. b)P (А $$U$$

   В)=P (A)+ P (B), якщо, А та В несумісні.

   В)=P (A)+ P (B), якщо, А та В несумісні.

3. c) Р (1.

Приклад 1. Нехай підкидають симетричний шестиграний кубик. Тоді в якості риродньо розглянути множину, 3,4,5,6Якщо кубик симетричний, то кожна елементарна подія і є рівноможливою, тому припишемо їй ймовірність 1/6. Тим самим буде побудована ймовірнісна модель експерименту, який полягає в підкиданні шестигранного симетричного грального кубика. Якщо Аипадкова подія, яка полягає в тому, що число очок, яке з’явиться, кратне 3, тобто А={3,6}, то Р (А) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Приклад 2. Нехай симетричну монету підкидають до того часу, поки вперше не з’явиться герб. Тоді W1, W2, …, Wn, … W де Wn = Р … РГ означає, що герб вперше з’явиться при n-тому підкиданні монети, а.

Wлементарна подія, яка означає що герб ніколи не з’явиться. Припишемо Wn ймовірність ½n, а Wмовірність 0. Тоді $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{yen}}{}}p(v_i)=1$$. Таким чином, побудована ймовірнісна модель експерименту, який полягає в підкиданні монети до першої появи герба. Підрахуємо тепер ймовірність події А, яка полягає в тому, що буде проведено не більше трьох підкидань монети (А={Г, РГ, РРГ}). Маємо $$P(A)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$$ .

Класична схема. Нехай простір складається з n елементарних рівноможливих подій, тобто $$p(v)=\frac{1}{n}$$ для довільного До складу, А входить m з цих подій. В цьому випадку ймовірність події А визначається формулою $$P(A)=\frac{\text{число елементів множини А}}{n}=\frac{|А|}{|\mathrm{}|}=\frac{m}{n}$$ .

Це так зване класичне означення ймовірності.

При розрахунках ймовірностей в класичній схемі мають справу з елементами комбінаторики.

Основний принцип комбінаторики (правило множення).

Нехай треба послідовно виконати к дій. Якщо першу дію можна виконати n1 пособами, після чого другу пособами, потім третю r>n3 пособами і т.д. до к-ї дії, яку можна виконати.

nк пособами, то всі к-дій можуть бути виконані.

n1 …к способами.

Комбінації (сполуки) з n елементів по к. Нехай є множина А, що містить n елементів. Тоді число підмножин множини А, що містить к елементів, дорівнює.

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\text{n≠1}23Kn$$ .

Комбінаціями з n елементів {а1, а2,…, аk} по к називають к-елементні підмножини множини, А ={а1, а2,…, ап}.

Упорядковані множини. Множина з n елементів називається впорядкованою, якщо кожному елементу цієї множини поставлене у відповідність певне число (номер елементу) від 1 до n так, що різним елементам відповідають різні числа. Упорядковані множини вважаються різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або їх порядком.

Перестановки даної множини. Різні впорядковані множини, які відрізняються порядком елементів (тобто можуть бути утворені з тієї ж самої множини), називаються перестановками цієї множини. Число перестановок множини з n елементів дорівнює Рn=n!

Розміщення з n по к. Упорядковані к-елементні підмножини множини, що містять n елементів, називаються розміщеннями з n по к. Число розміщень з.

n по к дорівнює.

$$A_n^k=k!C_n^k=n(n-1)(n-2)K(n-k+1)$$ .

Задача 1. Товариство з n чоловік сідає за круглий стіл. Знайти ймовірність того, що певні дві особи займуть місця поряд? Відповідь.р= $$\frac{2}{n-1}$$ .

Задача 2. З послідовності чисел 1,2,…, n відмічено число k. Знайти ймовірність того, що серед двох чисел вибраних навмання з цієї послідовності, одне буде меньше k, а друге більше k.

Задача 3. Замок містить на загальній осі 4 диски, кожний з яких розділений на 5 секторів, які відмічені певними літерами. Замок відкривається тільки в тому випадку, коли літери утворюють певну комбінацію. Яка ймовірність відкрити замок, якщо установити довільну комбінацію літер? Відповідь р= $$\frac{1}{5^4}$$

.

.

Задача 4. Підкидають 4 гральних кубика. Знайти ймовірність того, що на всіх кубиках випаде одинакове число очок. Відповідь р= $$\frac{1}{6^3}$$

.

.

Задача 5. Кожна з букв А, У, К, С, З записані на одній із 5-ти карток. Картки розкладаються в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що при цьому утворюється слово КАЗУС .Відповідь р=1/120.

Задача 6. Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри і, пам’ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри. Відповідь р=1/720.

Задача 7. У ліфті 7 пасажирівліфт зупиняється на 10-ти поверхах. Яка ймовірність того, що жодного разу два пасажири не вийдуть на одному поверсі? Відповідь.р= $$\frac{A_{\text{10}}^7}{{\text{10}}^7}$$

.

.

Задача 8. Обчислити ймовірності того, що дні народження 12 осіб припадатемуть на різні місяці року. Відповідь р= $$\frac{\text{12}!}{{\text{12}}^{\text{12}}}$$ $$$$

0,0005.

.

Задача 9. В групі r студентів. Яка ймовірність того, що принаймі у двох із них збігаються дні народження? Відповідь. 1- $$\frac{A_{\text{365}}^r}{{\left(\text{365}\right)}^r}$$

.

.

Задача 10. В урні а білих та в чорних куль. З урни виймаються дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

Розв’язання. Позначимо через, А подію, яка полягає в появі двох білих куль. Число елементів простору елементарних подій дорівнює $$|\mathrm{}|=C_{a+b}^2$$. Число елементів які сприяють появі події А дорівнює $$|A|=C_a^2$$. Таким чином, згідно класичній схемі $$p(A)=\frac{C_a^2}{C_{a+b}^2}$$ .

Задача 11. Із колоди в 32 карти навмання вибирається 4. Знайти ймовірність того, що серед них буде хоча б один туз.

Розв’язування.

$$p=1-p\{\text{4}\}=1-\frac{C_{\text{28}}^4}{C_{\text{32}}^4}«\mathrm{0,}\text{43}$$.

Задача 12. Із урни, яка містить кулі з номерами 1, 2, …, N, k раз виймається куля і кожен раз повертається назад. Знайти ймовірність того, що номери витягнутих куль утворюють зростаючу послідовність.

Задача 13. Розв’язати попередню задачу при умові, що витягнуті кулі до урни не повертаються. Відповідь р= $$\frac{1}{k!}$$

.

.

Задача 14. Товариство складається з 5 чоловіків та 10 жінок. Знайти ймовірність того, що при випадковому групуванні їх на 5 груп по 3 особи в кожній групі серед трьох осіб буде 1 чоловік. Відповідь р= $$\frac{\text{10}!5!{\left(3!\right)}^5}{2^5\text{15}!}$$ = $$\frac{\text{81}}{\text{1001}}$$ .

Задача 15. Повна колода карт (52 карти) ділиться пополам. Знайти ймовірність того, що число чорних карт в обох пачках буде однаковим (13). Відповідь р 22.

Задача 16. Літакбомбардирувальник для виконання бойового завдання повинен пройти через зону зенітної оборони противника, в якій по ньому, незалежно один від одного, ведуть вогонь чотири зенітні гармати. Кожна гармата проводить 10 пострілів, ймовірність попадання в літак при кожному із яких дорівнює 0,02. Для того щоб збити літак достатньо одного попадання. В випадку якщо літак не буде збитий вогнем зенітної артилерії, він виходить на ціль і скидає бомби. Ймовірність виконання бойового завдання прои цьому дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що бомбардирувальник виконає завдання, незважаючи на протидію зенітної артилерії. (Вказівка. Розглянути випадкову подію А={непопадання при всіх 40 пострілах}.Відповідь р=0, 268.

Задача 17. Проводиться стрільба по деякій цілі, ймовірність попадання в яку при одному пострілі дорівнює 0,2. Стрільба припиняється при першому попаданні. Знайти ймовірністьтого, що буде проведено рівно 6 пострілів Відповідь р=0,066.

Задача 18. Послідовність чисел 1,2,…, N розбивається навмання на дві рівні групи. Знайти ймовірність того, що а) в кожній групі буде порівно парних та непарних чиселб) всі числа, кратні N, виявляться в першій групів) числа кратні N, поділяться порівну між групами. Відповідь до пункту в), р= $$\frac{C_4^2{C}_{4N-4}^{2N-2}}{C_{4N-4}^{2N}}$$ .

Задача 19. З урни, яка містить n білих та m чорних куль, взяли навмання к куль. Яка ймовірність ймовірність того, що серед винятих куль буде r білих куль (r <= n) ?

Задача 20. Вкладники банку за сумами вкладів та віком мають такий процентний розподіл:

Сума вкладу.

Вік $$$$ $ 1000 $$$$ $ 1000−5000 $$$$ $ 5000.

$$$$ 30 років.	5%.	15%.	8%.
30−50 років.	8%.	25%.	20%.
$$$$ 50 років.	7%.	10%.	2%.

Нехай, А та В — такі події:

А={ у навмання вибраного клієнта вклад більший $ 5000}.

B={ вік навмання вибраного клієнта більший 30 років}.

Визначити: Р (А), Р (В), Р (А.