Кватерніони

[pic].

Як зробити висновки з точок числа?

Якщо йдеться про точках на прямий — це. Вибравши початок відліку і масштаб і розсилання їх, можна з прямий числову вісь і тим самим перетворити кожну крапку у дійсне число — її координату.

З точками на площині складніше. Вибираємо дві осі і почав відліку. Для кожної точки площині зіставляємо її координати (x; y). Ця пара буде називатися дуплетом. Аби зробити дуплет числом, потрібно навчитися «складати» і «множити» в відповідності зі властивостями складання і умножения.

Дуплеты складаються як вектори — покоординатно:

(x; y) + (x'; y') = (x + x'; y + y'). (1).

Для множення існує інша формула:

(x; y) [pic] (x'; y') = (xx' - yy'; xy' + x’y). (2).

Умножение додавання (1), (2) дуплетов підпорядковуються звичним властивостями складання і множення. Отже, безліч дуплетов з операціями (1), (2) вважатимуться повноцінним числовим множеством.

Насправді дуплеты — це комплексні числа. Їх записують так: x + yi, де і -мнима одиниця (дуплет (0; 1)). Її квадрат дорівнює [pic]. Це дозволяє видобувати квадратні коріння із негативних чисел.

Але постає проблема перетворення точок простору в числа. Тут знову введемо систему координат і запишемо точки як набору вже трьох координат (x; y; z). Ці звані триплеты теж складаються покоординатно:

(x; y; z) + (x'; y'; z') = (x + x'; y + y'; z + z'). (3).

Триплеты можна вважати числами, якщо навчитися їх множити, володіючи, разом із властивостями складання, звичайними способами множення цих операций.

У 1833 р. множенням триплетов займався ірландський математик У. Р. Гамільтон (1805 — 1865). Про нього ми розповімо особо.

Вільям Роуан Гамильтон.

Гамільтон був людиною багатосторонньо розвиненим. У чотирнадцять років володів дев’ятьма мовами, в 1824 р. опублікував працях Королівської Ірландської Академії роботу, присвячену геометричній оптиці, в 1828 р. одержав звання королівського астронома Ирландии.

До 1833 р. Гамільтон обіймав посаду директора обсерваторії в Денсинке і був відомий роботами з оптиці і аналітичної механіки. Він передбачив ефект подвійний конічній рефракції в двуосных кристаллах.

Протягом довгих десятиріччя Гамільтон безуспішно намагався придумати правило множення триплетов.

Векторное произведение.

Завдання спочатку здавалася нескладної. Складати вектори слід було по формулі (3). Залишалося знайти формулу множення, таку формулі (2). Але Гамільтон безуспішно намагався підбирати формули для множення триплетов.

Тоді було відомо правило векторного твори: векторным твором [pic] ненульових векторів [pic] називається вектор, перпендикулярний площині, що проходить через вектори [pic] має напрям, обумовлений правилом «правої руки», і довжину ?[pic]?[pic] ?[pic]?[pic]. Якщо даних векторів задано координати в прямокутної системі координат:

[pic].

[pic].

то [pic] (4).

Но операція векторного твори була непридатна Гамільтону, оскільки він немає зворотної. Наприклад, якщо [pic] то кут ([pic]) між векторами нульовий. Отже, довжина векторного твори [pic] дорівнює нулю, тобто. і сам вектор [pic] нулевой.

Але, попри невдачі, Гамільтон намагався вирішити поставлене собою завдання. Але же не бути вирішена (пояснення слід нижче). Але працю не пропала марно. У 1843 р. Гамільтон раптом вирішив, що з визначення множення потрібно розглядати не триплеты (трійки чисел), а четвірки, чи кватернионы. Ось історія їх создания.

Випадок на Брогемском мосту.

[pic].

У одному із листів до свого синові Гамільтон писав: «То справді був 16-ї день жовтня, що стався у понеділок, щодня засідання Ради Королівської Ірландської Академії, де мав головувати. Я направлявся туди разом з твоєї матір'ю вздовж Королівського каналу; і вона говорила мені якісь окремі фрази, я їх майже сприймав, позаяк у моїй свідомості підспудно щось коїлося. Несподівано начебто замкнулося електричний контур; зблиснула іскра, що віщує багато довгі роки точно спрямованої думки і праці, мого — якщо доведеться, чи праці інших, коли мені буде даровано досить свідомого життя, щоб повідомити про своє відкритті. Я опинився може утриматися від бажання висікти ножем на м’якому камені Брогемского мосту фундаментальну формулу про символах і, j, k,.

[pic],.

содержащую розв’язання проблеми, але, звісно, ця запис відтоді стерлася. Однак понад міцне згадка залишилося серед Книзі записів Ради Академії за вона, де засвідчено, що попросив і невдовзі одержав дозволу доповідь про кватернионах першою сесії, який був прочитаний відповідно Понеділок 13-го наступного місяці - ноября".

Определение кватернионов.

Кватернионы — це четвірки дійсних чисел (x; y; u; v), які зручно нотувати у вигляді q = x + yi + uj + vk, де і, j, k — нові числа, є аналогом мнимої одиниці в комплексних числах. Потрібна, щоб числа і, j, k задовольняли наступним соотношениям:

[pic] (5) [pic] [pic] (6).

которые зручно записати як «таблиці умножения».

x і j k.

і -1 k j.

jk -1 i.

kj -і -1.

За визначенням операції складання і множення кватернионов виробляються зі звичайних правилам розкриття скобок і приведення подібних членів із урахуванням правил (5) — (6).

Відповідно до цього визначенню, якщо [pic] і [pic] - два кватерниона, то.

[pic][pic] (7).

Это, зрозуміло, звичне нам «покоординатное» складання. Далі, твір кватернионов [pic] і [pic] обчислюється так: [pic].

Длинная, але зовсім автоматична перевірка показує, що множення кватернионов має сочетательным свойством:

[pic].

Естественно вважати, що справжні і комплексні числа є приватним випадком кватернионов. Так, дійсне число x — це чотири вида.

[pic].

Комплексное число z = x + yi подається як кватернион.

[pic].

У операції складання кватернионов, очевидно, є зворотна операція -віднімання. Саме, різницю двох кватернионов [pic] і [pic] визначається формулой:

[pic].

Если [pic], то різницю кватернионов — це нульової кватернион.

Деление кватернионов.

Перейдемо тепер до операції розподілу кватернионов, зворотної до операції множення. Взагалі, що ми розуміємо під приватним від розподілу числа a на число b, нерівний нулю? Це така число з, что.

bc = a. (10).

Так визначається приватне від розподілу для дійсних і комплексних чисел. На жаль, для кватерниона застосувати безпосередньо визначення ми поспіль не можемо. Щоб формула (10) «коректно» визначала приватне, потрібно, щоб твір не чого залежало від порядку сомножителей. У протилежному разі поруч із приватним [pic] певним формулою (10), існує цілком рівноправне «ліве» приватне" з', обумовлений формулой.

c’b = a,.

которое може відрізнятиметься від «правого приватного» з з (10). Ось тут, крім необхідності вийти межі тривимірного простору, Гамільтону довелося принести ще одне жертву.

Виявляється, визначені ним нові числа — кватернионы — втратили ще одне звичне якість: твір кватернионов залежить від порядку сомножителей. Справді, вже у формулах (6) за зміни порядку сомножителей твір змінює знак.

Отже, можна говорити лише про «розподілі справа» і «розподілі зліва». Як реально знайти, скажімо, «ліве приватне» від розподілу кватерниона [pic] на чотири [pic]?

Означимо дані приватне через q = x + yi + uj + vk. Тоді, використовуючи правило множення для кватернионов й визначення лівого приватного, одержимо таке рівність кватернионов:

[pic],.

или.

[pic].

Отримане рівність рівносильне системі чотирьох лінійних рівнянь з перемінними x, y, u, v:

[pic].

Так перебуває «праве приватне» від розподілу [pic] на [pic].

Розглянемо окреме питання, коли подільне [pic] одно одиниці. У цьому вся разі приватне від розподілу [pic]=1 на чотири [pic] (і «зліва» і «справа») одно одному й тому кватерниону.

[pic].

Поэтому чотири p позначається через [pic]. Тоді «праве приватне» від розподілу кватерниона [pic] на [pic] виражається формулой.

[pic],.

а «ліве приватне» від розподілу кватерниона [pic] на [pic] - формулой.

[pic].

Практично приватне від розподілу двох кватернионов шукається іншим шляхом. І тому нам потребуются Скалярные і векторні кватернионы.

Як комплексні числа розкладаються сумою своєї дійсною і мнимої частин, чотири теж розкласти сумою q = x + (yi + uj + vk). Перше складова у тому розкладанні називається скалярной частиною кватерниона, а друге — векторної частиною. Скалярная частина x — це дійсне число, а векторна частина то, можливо зображено вектором r = yi + uj + vk в тривимірному просторі, де і, j, k ми тепер розглядаємо як поодинокі вектора прямокутної системи координат.

Отже, кожен чотири q представляється як суми q = x + r, де x — скалярная частина кватерниона q, а r — векторна частина. Якщо r = 0, то q = x і чотири q називається скалярним кватернионом. Якщо ж x = 0, то q = r і q називається векторным кватернионом.

При додаванні кватернионов незалежно складаються їх скалярні і векторні части.

При множенні справи складніше. Якщо [pic] і [pic] - скалярні кватернионы, їх твір теж скалярний чотири. Що стосується, коли [pic]= x — скалярний чотири, а [pic] = r — векторний чотири, твір [pic] є векторным кватернионом, і операція множення збігаються з множенням вектора r у просторі на дійсне число x.

І, нарешті, якщо обидва кватерниона векторні, то.

[pic].

Как це випливає з останньої формули, скалярная частина книжки [pic][pic] дорівнює скалярному твору [pic] векторів [pic] і [pic] зі зворотним знаком. Векторна ж його частина [pic][pic] - це наш старий знайомий — векторное твір [pic], записаний у координатах.

Об'єднуючи все розглянуті випадки, одержимо загальну формулу для множення кватернионов. Якщо [pic] і [pic], то.

[pic].

А чого ж триплеты?

Чому ж Україні Гамільтону зірвалася що знайти шляхи множення триплетов? Раніше було відзначено, що завдання вирішити не можна. Доведено, що просто немає способу множення точок простору, задовольняючого наших вимог (асоціативності, дистрибутивности щодо покоординатного складання, можливості розподілу на ненульові елементи). Зараз, при цьому, відомі всі випадки, коли може бути таке множення. Це довів німецький математик Ф. Р. Фробениус (1849 — 1917). По його слів, цих випадків три: в розмірності один (справжні числа), в розмірності два (комплексні числа) й у «розмірності чотири» (кватернионы).

Что було дальше.

Гамільтон та її послідовники покладали великі сподівання кватернионы. Від кватернионов очікували так само результатів, як від комплексних чисел, і ба більше. І це дійсно, з допомогою обчислення кватернионов були виявлено зроблених у їх математичної красі формули, описують ряд важливих фізичних явищ. Але подальші сподівання розвиток алгебраического і функціонального обчислення кватернионов не оправдались.

Для кватернионов немає місця основна теорема алгебри про існуванні коренів у багаточлена з кватернионными коефіцієнтами, і з з іншого боку, існує такий багаточлен з кватернионными коефіцієнтами від однієї перемінної, котрій будь-який чотири є корнем.

Оптимізм змінився скепсисом. На початку нашої століття математики перестали цікавитися кватернионами. Але час йшло, і фізики завзято шукали математичний формалізм декому ефектів, що з так званим спіном елементарних частинок. Кватернионы знову визнано, коли була зрозуміла їх роль побудові різних геометричних перетворень простору, які у квантової фізиці. Геометричні властивості кватернионов — то окрема велика тема. І тому присвячуватиметься інший реферат.

Використана література: Квант. Вид. «Наука». Головна редакція фізико-математичній літератури, Москва, 1983(9).