Вычисление певних з дитинства інтегралів за правилом прямоугольников

1. Запровадження. Постановка задачи…2стр.

2. Висновок формулы…3стр.

3. Додатковий член у формулі прямоугольников…5стр.

4. Примеры…7стр.

5.

Заключение

…9стр.

6.

Список литературы

…10стр.

Постановка задачи.

Завдання обчислення з дитинства інтегралів під багатьох областях прикладної математики. Найчастіше зустрічаються певні інтеграли від функцій, первообразные яких немає виражаються через елементарні функції. З іншого боку, в додатках має справу з певними інтегралами, самі подынтегральные функції є элементарными.

Поширеними є також випадки, коли подынтегральная функція задається графіком чи таблицею експериментально отриманих значень. У цих ситуаціях використовують різні методи чисельного інтегрування, що базуються у тому, що інтеграл представляється як краю інтегральної суми (суми площ), й дозволяють визначити цю суму з прийнятною точністю. Нехай потрібно обчислити інтеграл [pic] за умови, що a і b кінцеві і f (x) є безупинної функцією по всьому інтервалі (a, b). Значення інтеграла I є площа, обмежену кривою f (x), осью x і прямими x=a, x=b. Обчислення I проводиться шляхом розбивки інтервалу від a до b на безліч менших інтервалів, наближеним перебуванням площі кожної смужки, получающейся в такому розбивці, і подальшому підсумовуванні площ цих полосок.

Висновок формули прямоугольников.

Перш, ніж можливість перейти до формулі прямокутників, зробимо таке зауваження: З, а м е год, а зв і е. Нехай функція f (x) безупинна на сегменті [a, b], а [pic] - деякі точки сегмента [a, b]. Тоді у цьому сегменті знайдеться точка [pic] така, що середнє арифметичне [pic][pic][pic].

У насправді, позначимо через m і M точні межі функції f (x) на сегменті [a, b]. Тоді нічого для будь-якого номери k справедливі нерівності [pic]. Підсумувавши ці нерівності за всіма номерами [pic] і поділивши результат на n, получим.

[pic].

Оскільки безперервна функція приймає будь-яке проміжне значення, заключённое між m і M, то, на сегменті [a, b] знайдеться точка [pic] така, что.

[pic][pic][pic][pic].

Перші формули для наближеного обчислення певних з дитинства інтегралів найпростіше виходять з геометричних міркувань. Витлумачуючи певний інтеграл [pic] як площа деякою постаті, обмеженою кривою [pic], ми бачимо ставимо собі завдання про визначення цієї площади.

Насамперед, вдруге використовуючи цю думку, що спричинилася до самого поняттю про певний интеграле, може бути розбитий всю постать (рис. 1) на смужки, скажімо, одному й тому ж ширини [pic], та був кожну смужку наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята якась з його ординат. Це призводить нас до формуле.

[pic] (1) де [pic] [pic], а R — додатковий член. Тут бажана площа криволінійної постаті замінюється площею деякою що з прямокутників східчастої постаті (чи — якщо хочете — певний інтеграл замінюється інтегральної сумою). Ця формула і називається формулою прямоугольников.

[pic].

(рис.1).

Насправді зазвичай беруть [pic]; якщо відповідну середню ординату [pic] позначити через [pic], то формула перепишеться як [pic].

Додатковий член у формулі прямоугольников.

Перейдём до відшуканню додаткового члена у формулі прямокутників. Справедливо таке твердження: У тонн на е р ж буд е зв і е. Якщо функція f (x) тримає в сегменті [a, b] безперервну другу похідну, то, на цьому сегменті знайдеться така точка [pic], що додатковий член R у формулі (1) равен.

[pic] (2).

Доказательство.

Оцінимо [pic], вважаючи, що функція f (x) тримає в сегменті [-h, h] безперервну другу похідну І тому піддамо дворазовому інтегрування частинами кожен із наступних двох интегралов:

[pic] [pic][pic].

Для першого з цих з дитинства інтегралів получим.

[pic].

Для другого з з дитинства інтегралів аналогічно получим.

[pic].

Полусумма отриманих для [pic] і [pic] висловів призводить до наступній формуле:

[pic] (3).

Оцінимо величину [pic], застосовуючи до интегралам [pic] і [pic] формулу середнього значення й враховуючи неотрицательность функцій [pic] і [pic]. Ми одержимо, що знайдуться точка [pic] на сегменті [-h, 0] і край [pic] на сегменті [0, h] такі, що [pic] З огляду на доведеного зауваження на сегменті [-h, h] знайдеться точка [pic] така, що [pic] Тож полусуммы [pic] ми матимемо таке выражение:

[pic] Підставляючи цей вислів в рівність (3), одержимо, что.

[pic] (4) где.

[pic] [pic]. (5) Оскільки величина [pic] є площа деякого прямокутника з повним правом [pic] (мал.1), то формули (4) і (5) доводять, що помилка, чинена при заміні [pic] зазначеної площею, має порядок [pic].

Отже, формула [pic] тим точніше, що менше h. Тож обчислення інтеграла [pic] природно уявити цю інтеграл як суми досить великої числа n интегралов.

[pic].

І кожному із зазначених з дитинства інтегралів застосувати формулу (4). З огляду на при цьому, що довжина сегмента [pic] дорівнює [pic], ми матимемо формулу прямокутників (1), в которой.

[pic] Тут [pic]. Ми скористалися формулою, доведеною утвердженню, для функції [pic].

Приклади обчислення певних з дитинства інтегралів за такою формулою прямоугольников.

Для прикладів візьмемо інтеграли, які обчислимо спочатку за такою формулою Ньютона-Лейбница, та був за такою формулою прямоугольников.

П р і м е р 1. Нехай потрібно обчислити інтеграл [pic]. За формулою Ньютона-Лейбница, получим.

[pic] Тепер застосуємо формулу прямоугольников.

1. [pic] [pic].

2. [pic] [pic].

3. [pic] [pic].

4. [pic] [pic].

5. [pic] [pic].

6. [pic] [pic].

7. [pic] [pic].

8. [pic] [pic].

9. [pic] [pic]. 10. [pic][pic].

Сума [pic].

Таким чином, [pic][pic]. У цьому прикладі неточності в обчисленнях немає. Отже, для даної функції формула прямокутників дозволила точно обчислити певний интеграл.

П р і м е р 2. Обчислимо інтеграл [pic] з точністю до 0,001. Застосовуючи формулу Ньютона-Лейбница, одержимо [pic]. Тепер скористаємося формулою прямокутників. Оскільки для [pic] маємо [pic] (якщо [pic]), то [pic] Якщо взяти n=10, то додатковий член нашої формули буде [pic] Нам доведеться внести ще похибка, округляючи значення функції; постараємося, щоб межі цієї нової похибки відрізнялися менше, ніж [pic] З цього метою досить вираховуватимуть значення функції [pic] з чотирма знаками, з точністю до 0,5. Имеем:

1. [pic] [pic].

2. [pic] [pic].

3. [pic] [pic].

4. [pic] [pic].

5. [pic] [pic].

6. [pic] [pic].

7. [pic] [pic].

8. [pic] [pic].

9. [pic] [pic]. 10. [pic] [pic].

Сума 6,9284. [pic]. З огляду на, що поправку до кожної ординате (отже й до середньому арифметичному) міститься між [pic], і навіть приймаючи до уваги оцінку додаткового члена [pic], знайдемо, що [pic] міститься між межами [pic]и [pic], отже, тим більше між 0,692 і 0,694. Отже, [pic].

Заключение

.

Викладене вище метод обчислення певних з дитинства інтегралів містить чітко сформульований алгоритм щодо обчислень. Інший особливістю викладеного методу є стереотипність тих обчислювальних операцій, які треба виробляти кожному окремому кроці. Ці дві особливості забезпечують широке застосування викладеного методу для проведення обчислень на сучасних швидкодіючих обчислювальних машинах.

Вище для наближеного обчислення інтеграла від функції f (x) ми виходили з розбивки основного сегмента [a, b] досить велике число n рівних часткових сегментів однаковою довжини h і з наступної заміни функції f (x) кожному частковому сегменті многочленом відповідно нульового, першого чи другої порядка.

Похибка, що виникає за такого підходу, неможливо враховує індивідуальних властивостей функції f (x). Тому, природно, виникає ідея про варьировании точок розбивки основного сегмента [a, b] на n, власне кажучи, не рівних одна одній часткових сегментів, що забезпечувало б мінімальну величину похибки даної приближённой формулы.

1. Фихтенгольц Г. М. Курс диференціального і інтегрального обчислення в 3- x томах, тому II. (§§ 332, 335).

2. Ільїн В.А., Позняк Є.Г. Основи математичного аналізу, частина I.

Москва «Наука», 1982 г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).

———————————- y.

x.

a.

[pic].

[pic].

b.

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].