Билеты по аналітичної геометрии

ЛИНЕЙНАЯ ЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ. Нехай задана система векторів а1, А2, а3,…, ал (1) однієї розмірності. Визначення: система векторів (1) називається линейно-независимой, якщо рівність (1а1+(2а2+…+(лал=0 (2) виконується лише тому випадку, коли всі числа (1, (2,…, (л=0 і (R Визначення: система векторів (1) називається линейно-зависимой, якщо рівність (2) реально хоча б із одному (i (0 (i=1,…, k) Властивості 1. Якщо цю систему векторів містить нульової вектор, вона лінійно залежна 2. Якщо цю систему векторів містить линейно-зависимую підсистему векторів, вона буде линейно-зависимой. 3. Якщо цю систему векторів линейно-независима, те й будь-яка її підсистема буде лінійно незалежної. 4. Якщо цю систему векторів містить хоча б тільки вектор, є лінійної комбінацією інші вектори, ця система векторів буде лінійно залежною. Визначення: два вектора називаються коллинеарными, якщо лежать на паралельних прямих. Визначення: три вектора називаються компланарными, якщо лежать в паралельних площинах. Теорему: Якщо задано два вектора a і b, причому а (0 й інші вектори коллинеарны, то знайдеться таке дійсне число (, що b=(a. Теорему: А що два вектора були линейно-зависимы необхідне й досить, що вони були коллениарны. Доказ: достатність. Т.к. вектори коллинеарны, то b=(a. Будемо вважати, що а, b (0 (якщо ні, то система линейно-зависима по 1 властивості). 1b-(a=0. Т.к. коэфф. При b (0, то система лінійно залежна з визначення. Необхідність. Нехай чи b линейно-зависимы. (а+(b=0, ((0. а= -b/(*b. чи b коллинеарны з визначення множення вектора на число. Теорему: у тому, щоб три вектора були линекно-зависимы необхідне й досить, щоб були компланарны. Необхідність. Дано: a, b, з — линейно-зависимы. Довести: a, b, з — компланарны. Доказ: т.к. вектори линейно-зависимы, то (а+(b+(c=0, ((0. з= - (/(*а — (/(*b. с-диагональ паралелограма, тому a, b, з лежать у однієї плоскости.

БАЗИС СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ. РІЗНІ СИСТЕМИ КООРДИНАТ. 1. Визначення: нехай задана деяка система векторів. Базисом цієї системи називається мах. сукупність линейно-независимых векторів системи. У безлічі векторів на прямий базис складається з одного ненульового вектора. Як базису безлічі векторів на площині можна взяти довільну пару. У безлічі векторів в тривимірному просторі базис складається з трьох некомпланарных векторів. 2. Прямокутна (декартова) система координат на площині визначається завданням двох взаємно перпендикулярних прямих із загальним початком і однаковою масштабної од. на вісях. Прямокутна (декартова) система координат у просторі визначається завданням трьох взаємно перпендикулярних прямих із загальною точкойпересечения і однаковою масштабної од. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ТВІР ВЕКТОРІВ. Визначення: скалярним твором двох векторів називається твір довжин двох векторів на косинус кута з-поміж них. (а, b)=|a| |b| co u, u90, пр-е отриц. Властивості: 1. (а, b)= (b, а) 2. ((а, b)= ((а, b) 3. (а+b, с)= (а, с)+ (b, с) 4. (а, а)=|a|2 — скал.квадрат. Визначення: два вектора називаються ортоганальными, коли скалярне пр-е одно 0. Визначення: вектор називається нормованим, якщо його скал.кв.равен 1. Визначення: базис безлічі векторів називається ортонормированным, якщо все вектори базису взаимно-ортагональны й у вектор нормований. Теорему: Якщо вектори чи b задано координатами в ортонормированном базисі, їх скалярне твір дорівнює сумі допомоги творів відповідних координат. Знайдемо формулу кута між векторами з визначення скалярного твори. co u=a, b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt (x12+y12+z12)*sqrt (x22+y22+z22).

ВЕКТОРНОЕ ТВІР ВЕКТОРІВ. Визначення: векторным твором двох векторів a і b обозначаемым [a, b] називається вектор з зрозумілу слід. вимогам: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с, а)=0 і (с, b)=0. 3. а, b, з утворюють праву трійку. Властивості: 1. [a, b]= - [b, a] 2. [(а, b]= ([а, b] 3. [a+b, c]=[a, c]+[b, c] 4. [a, a]=0 Теорему: Довжина векторного твори векторів дорівнює площі паралелограма побудованого цих вектори. Доказ: справедливість теореми випливає з першого вимоги визначення векторного твори. Теорему: Нехай вектори чи b задано координатами в ортонормированном базисі, тоді векторное твір одно определителю третього ладу у першої рядку якого наход-ся базисны вектори, на другий — координати першого вектора, у третій — координати другого. Визначення: ортой вектора, а називається вектор од. довжини має однакове напрям з вектором а. ea=a/|a|.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМИЙ НА ПЛОЩИНІ. 1. Общее ур-е ін. 2. Ур-е ін. в відтинках. 3. Канонічне ур-е ін. 4. Ур-е ін. ч/з дві точки. 5. Ур-е ін. з кутів. коэфф. 6. Нормальне ур-е прямий. Расст. від точки до прямий. 7. Параметрическое ур-е ін. 8. Пучок ін. 9. Угол між ін. 1. Ах+By+C=0 (1), де A, B одновр. не рівні нулю. Теорему: n (A, B) ортоганален прямий заданої ур-ем (1). Доказ: підставимо коорд. т. М0 в ур-е (1) й одержимо Ах0+By0+C=0 (1'). Віднімемо (1)-(1') одержимо А (х-х0)+B (y-y0)=0, n (A, B), М0М (х-х0, y-y0). У отриманому рівність записано скалярне твір векторів, воно одно 0, отже n і M0M ортоганальны. Т.а. n ортоганлен прямий. Вектор n (A, B) називається нормальним вектором прямий. Зауваження: нехай ур-я А1х+B1y+C1=0 і А2х+B2y+C2=0 визначають те ж пряму, тоді знайдеться таке дійсне число t, що А1=t*А2 тощо. Визначення: якщо хоча один із коефіцієнтів в ур-ии (1) =0, то ур-е називається неповним. 1. С=0, Ах+By=0 — проходить ч/з (0,0) 2. С=0, А=0, By=0, отже у=0 3. С=0, B=0, Ах=0, отже х=0 4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ 5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY 2. x/a+y/b=1. Геом. смысл: пряма відсікає на вісях координат відтинки чи b 3. x-x1/e=y-y1/m Нехай на прямий задана точка і напр. вектор прямий (паралл.пр.). Візьмемо на прямий произв. точки. q і M1М (х-х1; y-y1) 4. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1 Нехай на прямий дано дві точки М1(x1;y1) і М2(x2;y2). Т.к. на прямий задано дві точки, то заданий спрямовує вектор q (x2-x1; y2-y1) 5. y=kb+b. u — кут нахилу прямий. Tg кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом прямий k=tg u Нехай пряма задана в канонічному вигляді. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямий tg u = m/e. Тоді бачимо x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k (x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b 6. xcos (+ysin (-P=0 (- кут між вектором СР і позитивним напр. осі ОХ. Завдання: записати ур-е прямий, якщо изветны Р і (Рішення: Виділимо на прямий СР вектор од. довжини n. |n|=1, n (cos (, sin (). Нехай М (x, y) — произв. точка прямий. Розглянемо два вектора n і ОМ. Знайдемо двома способвами їх скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos (x+sin (y. Прирівняємо праві частини. Завдання: пряма задана загальним ур-ем. Перейти до норм. виду. Ах+By+C=0 xcos (+ysin (-P=0 т.к. рівняння визначають одну пряму, то сущ. коэфф. пропорційності. Cos2(=(A*t)2 Sin2(=(B*t)2 -p=C*t cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt (1/ A2+B2). Sign t= - sign З Що знайти нормальне рівняння прямий потрібно загальне ур-е помножити на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x1 і y=mt+y1.

НОРМАЛЬНОЕ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ. Відстань від точки до прямий. 1. xcos (+ysin (-P=0 (- кут між вектором СР і позитивним напр. осі ОХ. Завдання: записати ур-е прямий, якщо изветны Р і (Рішення: Виділимо на прямий СР вектор од. довжини n. |n|=1, n (cos (, sin (). Нехай М (x, y) — произв. точка прямий. Розглянемо два вектора n і ОМ. Знайдемо двома способвами їх скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos (x+sin (y. Прирівняємо праві частини. Завдання: пряма задана загальним ур-ем. Перейти до норм. виду. Ах+By+C=0 xcos (+ysin (-P=0 т.к. рівняння визначають одну пряму, то сущ. коэфф. пропорційності. Cos2(=(A*t)2 Sin2(=(B*t)2 -p=C*t cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt (1/ A2+B2). Sign t= - sign З Що знайти нормальне рівняння прямий потрібно загальне ур-е помножити на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множник. 2. Означимо d — відстань від точки до прямий, а ч/з б — відхилення точки від прямий. б=d, якщо нач.коорд. і край з різних боків; = - d, якщо нач.коорд. і край з одного боку. Теорему: Нехай поставлено нормальне рівняння прямий xcos (+ysin (-P=0 і М1(x1;y1), тоді відхилення точки М1 = x1cos (+y1sin (-P=0 Завдання: знайти відстань від точки М0(x0;y0) до прямий Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула відстаней набуває вигляду d=| x0cos (+y0sin (-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt (A2+B2).

ГИПЕРБОЛА. Визначення: ГМТ на площині модуль різниці відстаней яких до двох фіксованих точок, званих фокусами, є незмінною Канонічне рівняння: Вважатимемо, що фокуси гіперболи перебувають у ОХ на однаковому відстані з початку координат. |F1F2|=2c, М — довільна точка гіперболи. r1, r2 — відстані від М до фокусов;

|r2-r1|=2a; a1 (т.к. с>a) Визначення: окружність — еліпс яка має а=b, с=0, е=0. Висловимо эксцентриситеты через чи b: [pic] [pic] е еліпса є мірою його «вытянутости» е гіперболи характеризує кут розчину між асимптотами 2. Директоркою D еліпса (гіперболи), відповідної фокусу F, називається пряма розташована у напівплощини (перпендикулярно великий осі еліпса і віддалений з його центру з відривом а/е>a (а/е0 r1=xe+a.

d1 — відстань від М (x, y) до прямий D1 xcos180+ysin180-p=0 x=-p x=-a/e бм=-x-a/e d1=-бм (мінус, т.к. пряма і край на одному стороно про початку коорд.) [pic].

Определение: ГМТ на площині, ставлення відстані яких до фокусу, до відстані до відповідної директорки є незмінною і є еліпс, якщо 1, параболу, якщо =1.

ПОЛЯРНОЕ РІВНЯННЯ ЕЛІПСА, ГІПЕРБОЛИ, ПАРАБОЛИ. Нехай заданий еліпс, парабола чи права гілка гіперболи. Нехай заданий фокус цих кривих. Помістимо полюс полярною системи в фокус кривою, а полярну вісь сумісний із віссю симетрії, де перебуває фокус. r= (d=p+(cos (e=(/p+(cos ([pic] - полярне рівняння еліпса, параболи і правої галузі гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ До КРИВОЮ 2-ГО ПОРЯДКУ. Нехай заданий еліпс в канонічному вигляді. Знайдемо рівняння дотичній до нього, що проходить через М0(x0;y0) — точка торкання, вона належить еліпсу отже справедливо: [pic] у-у0=y'(x0)(x-x0) [pic] Розглянемо дотичну до кривою [pic] отже [pic] [pic] [pic] [pic] ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0 [pic] [pic] [pic] - рівняння дотичній до еліпсу. [pic] - рівняння дотичній до гіперболі. [pic] - рівняння дотичній до параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОКУТНИХ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ. Перетворення на площині є застосування перетворень паралельного перенесення і повороту. Нехай дві прямокутні системи координат мають загальне початок. Розглянемо всіх можливих скалярні твори базисних векторів двома шляхами: (е1;е1')=cos u (е1;е2')=cos (90+u)= -sin u (е2;е1')=cos (90-u)=sin u (е2;е2')=cos u Базис розглядається ортонормированный: (е1;е1')=(е1, (11е1+(12е2)= (11 (е1;е2')= (е1, (21е1+(22е2)= (21 (е2;е1')= (12 (е2;е2')= (22 Прирівнюємо: (11=cos u (21= - sin u (12=sin u (22=cos u Отримуємо: x=a+x'cos u — y’sin u y=b+x'sin u — y’cos u — формули повороту системи координат на кут u. —————— x=a+x' y=b+y' - формули паралельного переноса ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛІНІЙ 2-ГО ПОРЯДКУ. Визначення: Инвариантой ур-я (1) лінії другого порядку щодо перетворення системи координат, називається функція що залежить від коефіцієнтів ур-я (1) і яка змінює значення при перетворення системи координат. Теорему: інваріантами рівняння (1) лінії другого порядку щодо перетворення системи координат є такі величини: I1; I2; I3 Висновок: при перетворення системи координат 3 величини залишаються незмінними, тому вони характеризують лінію. Визначення: I2>0 — элиптический тип I20 і нехай I1>0 отже рівняння (1) визначає: 1. I30 — ур-е (1) не визначає. Якщо I3=0 кажуть, що еліпс вироджується в точку. Якщо I3>0 кажуть, що задається вдаваний еліпс. Нехай після ПП і повороту ур-е (1) набирає вигляду (*). Доказ: 1. нехай I2>0, I1>0, I3 0 I1= a11''+a22'' > 0 a11'' > 0; a22'' > 0 [pic] Отже, під корінням стоять позитивні числа, отже, рівняння еліпса. 2. I3>0 у разі під коренем стоять негативні числа, отже рівняння не визначає дійсного геометричного образу. 3. I3=0 у разі т (0,0) — випадок виродження эллипса.

ТЕОРЕМА Про ЛІНІЯХ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ. Теорему: Нехай рівняння (1) визначає лінію гіперболічного типу. Тобто. I2.