Лобачевський

Лобачевський сутнісно бере за провокує усе те, що Евклид довів без допомоги 5-го постулату. Всі ці припущення є загальними як геометрії Евкліда, так геометрії Лобачевского.

Отже, всі пропозиції абсолютної геометрії зберігають чинність й у геометрії Лобачевського. Абсолютна геометрія є спільне частина і загальний фундамент евклідовій геометрії і геометрії Лобачевского.

У першому випадку одержимо геометрію Евкліда, у другий випадок — Геометрію Лобачевського. Отже, що це подібне в геометриях Евкліда і Лобачевського має підстави у абсолютної Геометрії, проте те, що різна у яких, коріниться у відмінності аксіом параллельности.

Зазначимо низку надзвичайно важливих планиметрических теорем, які стосуються абсолютної геометрии.

1. Кожен відтинок і кожен кут можна єдиним чином розділити пополам.

2. Через кожну точку можна навести єдиний перпендикуляр до цієї прямой.

3. Сума двох суміжних кутів дорівнює 2d.

4. Усі прямі кути рівні між собой.

5. Вертикальні кути равны.

6. У равнобедренном трикутнику бісектриса кута при вершині є медианой і заввишки, кути при підставі равны.

7. Перпендикуляр коротше похилій. Відомі теореми про порівнянні перпендикулярів, похилих та його проекций.

8. Зовнішній кут трикутника більше внутрішнього кута, з нею не смежного.

9. У всякому трикутнику може бути більше прямого чи тупого угла.

10. У трикутнику проти більшої боку лежить більший кут, і обратно.

11. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більше катета.

12. Сума обох сторін трикутника більше третьей.

13. Три ознаки рівності треугольников.

14. Якщо за перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, чи внутрішні накркст що лежать кути рівні, чи сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d, то дані прямі не пересекаются.

15. Два перпендикуляра до третьої прямий не пересекаются.

16. Через точку, що лежить поза прямий, у площині, ними обумовленою, відбувається за крайнього заходу одна пряма, не яка перетинає данной.

17. Сума кутів трикутника трохи більше 2d (11-я теорема Лежандра).

18. Якщо площині дві точки лежать з різних боків прямий, то відрізок, їх котрий поєднує, перетинає цю прямую.

19. Якщо промінь проходить через вершину трикутника всередину його, він перетинає протилежний бік треугольника.

20. Три биссектрисы трикутника перетинаються лише у точці, лежачої всередині треугольника.

21. У трикутник можна вписати єдину окружность.

22. Пряма перетинає окружність лише у двох точках.

23. Рівні дуги окружності стягуються рівними хордами, і обратно.

24. Якщо вибрати одиничний відрізок, то кожному відтинку можна експортувати відповідність єдине позитивне число, зване довгою відрізка, і навпаки, кожному позитивному числу можна експортувати відповідність певний відрізок, довжина якого виражається цим числом.

25. Якщо всі внутрішні промені, що виходять із вершини кута АОВ, а як і сторона АТ і ВВ розбити на два класу отже 1) кожен промінь належить одному і лише з цих класів, промінь АТ належить першому класу, а промінь ВВ — до другого, 2) кожен промінь першого класу лежить між ОА і будь-яким променем другого класу, що існує сам і лише одне промінь l, прикордонний між променями обох класів, причому сам промінь l належить або першому, або другому классу.

26. Якщо вибрати певний кут як одиниця виміру, то кожному розі можна поставити відповідність однину, зване мірою чи обсягом угла.

Исходным пунктом геометрії Лобачевського є прийняття всіх пропозицій геометрії Евкліда, які залежать від 5-го постулату (тобто. абсолютної геометрії, включаючи аксіоми Паша, Архімеда, Дедекинда), і приєднання до ним замість відкинутого 5-го постулату наступна аксіома, протилежний аксіомі Плейфера, отже, і 5-му постулату.

Через точку, що лежить поза прямий площині, обумовленою ними, можна провести її не менш 2-х прямих, не котрі перетинають даної прямой.

Ця аксіома стверджує існування, по крайнього заходу 2-х таких прямих. Звідси випливає, що таких прямих існує нескінченна множество.

Вочевидь, що це прямі, які відбуваються через точку М всередині вертикальних кутів (і (, освічених прямими b і з теж перетинають а, яких прямих безліч. Площину (чи простір), у якій передбачається виконання аксіоми Лобачевського, називається площиною (чи простором) Лобачевского.

Перейдём безпосередньо до паралельним Лобачевского.

Дві граничні прямі СС' і DD' називаються паралельними прямий ВР' в точці А, причому пряма С’С називається паралельної В’В у бік В’В, а пряма D’D називається паралельної прямий ВР' в напрям ВР'. Гострий кут (, утворюваний паралельними з перпендикуляром АР, називається кутом паралельності у точці Що ж до прямий BB'. Цей кут, є функція довжини р перпендикуляра АР і позначається так: (=П (р). АР називаються відрізком паралельності у точці Що ж до прямий BB'.

Усі прямі пучка не які перетинають BB' і що лежать всередині заштрихованных вертикальних кутів, називаються що розходяться з BB' чи понад паралельними до BB'; кут, утворюваний такої прямої з перпендикуляром АР з обох від цього сторін, більше кута паралельності (.

Нарешті, й інші прямі пучка, які із АР з якоюсь боку гострий кут, менше кута паралельності (, називаються що перетинають пряму BB' чи сходящимися з BB' .

Слід звернути увагу, що геометрія Лобачевського при вказівку, то пряма СС' паралельно прямий BB', є абсолютно обов’язковим також вказувати, по-перше, що не напрям CC' паралельно BB', по-друге, як і точці, бо в нас немає впевненості у цьому, коли ми на прямий CC' візьмемо якусь точку М, відмінну від, А, те й стосовно пучку прямих з центру на точці М пряма СС' буде граничной прямой.

Визначення. Пряма С’C називається паралельної прямий в напрям B’B у точці Якщо ж, по-перше, пряма С’C не перетинає прямий BB', удругих, C’C є граничной в пучку прямих з центром у точці А, т. е. всякий промінь АЕ, проходить всередині кута CAD, де D-любая точка прямий BB', перетинає промінь DB.

Домовимося з метою стислості і зручності позначати паралельність прямий АА' до BB’в напрям B’B символом AA' ((B’B, де порядок літер вказує можливий напрямок паралельності. На кресленні напрям паралельності вказується стрелками.

Теорема1. Якщо пряма ВВ'((АА «у точці М, то ВР «((АА «у будь-якій своєї точці N.

Теорему 2. Якщо ВР «((АА », те й назад: АА «((ВР » .

Теорему 3. Якщо АА «((СС «і ВР «((СС », то АА «((ВР » .

Теорему 4. Якщо пряма CC' лежить між двома прямими АА' і BB', паралельними у певному напрям, не перетинаючи їх, то CC’параллельна обом цим прямим у тому направлении.

Теорему 5. Если дві прямі після перетину з третього утворюють рівні відповідні кути, чи внутрішні односторонні кути, у сумі складові 2d, то ці прямі розходяться. Завдання 902.(Сборник завдань — Атанасян, ч.2) Нехай (U1V1) (((U2V2). Довести, що й пряма (UV) лежить між (U1V1) і (U2V2) і перетинає жодну з них, вона паралельна данным.

Справді, відрізок U1U2, котрий поєднує будь-які точки U1 і U2 паралельних прямих U2V2 і U1V1, перетне UV у певній точці U, бо UV за умовою лежить між U2V2 і U1V1 (теорема 1.18).

З огляду на паралельності U2V2 і U1V1 будь-який промінь U2E, проходить всередині кута V2U2U1, перетне U1V1, отже, і UV. Отже, U2V2 ((UV. Користуючись теоремами 2 і трьох, переконаємося, що U1V1 ((UV. Цікаво зазначити, що у геометрії Лобачевського пряма може перетнути дві паралельні, не перетинаючи третьої. Справді, наприклад, будь-яка пряма EF, розбіжна з АА', перетинає СС’и BB', не перетинаючи АА'.