Імовірнісна модель системи М/М/1 (реферат)

РЕФЕРАТ На тему:

Імовірнісна модель системи М/М/1.

Розглядається система обслуговування з пуассонівським потоком вимог, що надходять до системи, і експоненціальний закон розподілу часу обслуговування цих вимог. При цьому система має один обслуговуючий прилад. Дисципліна черги не регламентована, але кількість вимог у системі, розміщуваних у спеціальному блоці, де вони очікують своєї черги на обслуговування, має не перевищувати числа N. Отже, максимальна довжина черги становитиме N — 1. Це свідчить, що за наявності в системі N вимог жодна із додаткових заявок не буде прийнята в блок очікування. Джерело заявок при цьому необмежене.

Імовірнісна модель процесу, що відбувається в цій системі, подається системою диференціально-різницевих рівнянь для $$0<=k<=N$$ :

$$\{\begin{array}{c}{p}_0^{\text{'}}\left(t\right)=-{\mathit{}}_0\left(t\right)+{\mathit{}}_1\left(t\right),\\ p_k^{\text{'}}\left(t\right)=-\left(+\right)p_k\left(t\right)+{\mathit{}}_{k+1}\left(t\right)+{\mathit{}}_{k-1}\left(t\right)\text{за}0<k<N,\\ p_N^{\text{'}}\left(t\right)=-{\mathit{}}_N\left(t\right)+{\mathit{}}_{N-1}\left(t\right)\text{.}\end{array}$$ (204).

Система (204) описує роботу системи в динаміці. Розв’язуючи практичні задачі цікавляться, як правило, числовими характеристиками системи у стаціонарному режимі. Тому для стаціонарного процесу, який здійсниться теоретично за $$t->\mathrm{},$$

система (204) набирає такого вигляду:

.

$$\{\begin{array}{c}0=-{\mathit{}}_0+{\mathit{}}_1,\\ 0=-\left(+\right)p_k+{\mathit{}}_{k+1}+{\mathit{}}_{k-1},0<k<N,\\ 0=-{\mathit{}}_N+{\mathit{}}_{N-1}\text{.}\end{array}$$ (205).

З огляду на те, що $$=\frac{}{},$$ запишемо систему (205) в такому вигляді:

$$\{\begin{array}{c}{p}_1={\mathit{}}_0,\\ \left(1+\right)p_k={\mathit{}}_{k-1}+p_{k+1},0<k<N,\\ p_N={\mathit{}}_{N-1}\text{.}\end{array}$$ (206).

Отже, дістали однорідну систему лінійних рівнянь відносно $$p_k\left(0<=k<=N\right),$$ розв’язуючи яку відносно $$p_0,$$ визначаємо:

$$p_1={\mathit{}}_0-$$ $$p_2={}^2{p}_0-$$ $$p_3={}^3{p}_0-\text{.}\text{.}\text{.}-$$ $$p_N={}^N{p}_0\text{.}$$.

Згідно з умовою нормування маємо:

$$\underset{k=0}{\overset{N}{}}{p}_k=1->p_0+{\mathit{}}_0+{}^2{p}_0+{}^3{p}_0+\text{.}\text{.}\text{.}+{}^N{p}_0=1->$$.

$$->p_0=\frac{1}{1++{}^2+{}^3+\text{.}\text{.}\text{.}+{}^N}=\frac{1}{\frac{1-{}^{N+1}}{1-}}=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}$$.

(оскільки $$<1$$).

Отже, дістаємо:

$$p_0=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}-$$.

$$p_1=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}-$$.

$$p_2=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}{}^2-$$.

$$p_3=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}{}^3-$$ (207).

$$p_4=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}{}^4-$$.

$$$$.

$$p_k=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}{}^k-$$.

$$$$.

$$p_N=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}{}^N\text{.}$$.

Якщо $$=1$$ $$\left(=\right),$$ знаходимо:

$$\underset{->1}{\text{lim}}{p}_k=\underset{->1}{\text{lim}}\frac{\left(1-\right)}{1-{}^{N+1}}{}^k=\underset{->1}{\text{lim}}\frac{-1}{-\left(N+1\right){}^N}{}^N=|\begin{array}{c}\text{Скористалися}\\ \text{правилом}\text{Лопіталя}\end{array}|=\frac{1}{N+1}\text{.}$$.

Отже, маємо:

$$p_k=\{\begin{array}{c}\frac{\left(1-\right){}^k}{1-{}^{N+1}},/=\mathrm{1,}\\ \frac{1}{N+1},=\mathrm{1,}\end{array}k=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{.}\text{.}\text{.}N,$$ (208).

$$p_0=\frac{1-}{1-{}^{N+1}},/=1$$ .

Визначимо числові характеристики системи для стаціонарного стану:

$$M=\underset{k=0}{\overset{N}{}}{p}_k=0p_0+1p_0+2p_0+3p_0+\text{.}\text{.}\text{.}+{\text{Np}}_N=$$.

$$={\mathit{}}_0+2{}^2{p}_0+3{}^3{p}_0+\text{.}\text{.}\text{.}+{\mathit{N}}^N{p}_0=$$.

$$=p_0\left(+2{}^2+3{}^3+\text{.}\text{.}\text{.}+{\mathit{N}}^N\right)=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}\left(+2{}^2+3{}^3+\text{.}\text{.}\text{.}+{\mathit{N}}^N\right)=$$.

$$=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}\left(1+2+3+\text{.}\text{.}\text{.}+{\mathit{N}}^{N-1}\right)=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}\frac{d}{\mathit{d}}\left(+{}^2+{}^3+\text{.}\text{.}\text{.}+{}^N\right)=$$.

$$=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}\frac{d}{\mathit{d}}\left(\frac{-{}^{N+1}}{1-}\right)=$$ $$=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}\frac{\left(1-\left(N+1\right){}^N\right)\left(1-\right)-\left(-{}^{N+1}\right)\left(-1\right)}{{\left(1-\right)}^2}=$$.

$$=\frac{1-}{1-{}^{N+1}}\frac{1-\left(N+1\right){}^N--\left(N+1\right){}^{N+1}+-{}^{N+1}}{{\left(1-\right)}^2}=$$.

$$=\frac{\left(1-\left(N+1\right){}^N\right)-{\mathit{N}}^{N+1}}{\left(1-{}^{N+1}\right)\left(1-\right)}\text{.}$$.

Таким чином, для $$<1$$ маємо:

$$M=\frac{\left(1-\left(N+1\right){}^N\right)-{\mathit{N}}^{N+1}}{\left(1-{}^{N+1}\right)\left(1-\right)}\text{.}$$ (209).

У разі, коли $$=\mathrm{1,}$$ дістаємо:

$$M=\underset{k=0}{\overset{N}{}}{\text{kp}}_k=0p_0+1p_1+2p_2+3p_3+\text{.}\text{.}\text{.}+{\text{Np}}_N=$$.

$$=|\begin{array}{c}\text{Оскільки}{p}_k=\frac{1}{N+1},k=\mathrm{0,1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}N,\\ \text{то}\end{array}|=$$.

$$=\frac{1}{N+1}\left(1+2+3+\text{.}\text{.}\text{.}+N\right)=\frac{1}{N+1}\frac{\left(1+N\right)N}{2}=\frac{N}{2}$$.

$$|\begin{array}{c}\text{Оскільки}1+2+3+\text{.}\text{.}\text{.}+N=\frac{\left(1+N\right)N}{2}-\\ \text{сума}\text{арифметичної}\text{прогресії}\end{array}|$$.

Отже, за $$=1$$.

$$M=\frac{N}{2}\text{.}$$ (210).

Таким чином, визначаємо.

$$\begin{array}{c}\frac{\left(1-\left(N+1\right){}^N\right)-{\mathit{N}}^{N+1}}{(1-{}^{N+1})\left(1-\right)},<\mathrm{1,}\\ \frac{N}{2},=1\text{.}\\ \\ M=\begin{array}{c}\{\end{array}\\ \end{array}$$ (211).

Беручи до уваги те, що згідно з умовою роботи системи кількість вимог у ній обмежується числом N, у цьому разі для визначення $$L,W_1,W_2$$ необхідно обчислити $${}_{\text{еф}}\text{.}$$.

Оскільки ймовірність того, що в системі буде N вимог, дорівнює $$p_N,$$ то ймовірність того, що заявка, яка надійшла до системи, увійде у блок очікування, буде така:

$$p\left(k<N\right)=1-p_N\text{.}$$ (212).

Звідси й випливає, що.

$${}_{\text{еф}}==\left(1-p_N\right)$$. (213).

Тоді середня кількість вимог, що чекають у черзі, визначатиметься так:

$$L=M-\left(1-p_N\right)-$$ (214).

середня тривалість часу перебування вимоги в черзі.

$$W_1=\frac{L}{\left(1-p_N\right)}-$$ (215).

середня тривалість часу перебування вимоги в системі.

$$W_2=\frac{L}{\left(1-{}_N\right)}\text{.}$$ (216).

Приклад 1. Зібрана інформація про режим роботи приватної чоловічої перукарні така: до перукарні надходять клієнти (вимоги) на обслуговування з інтенсивністю (осіб/год) $$=4$$ — тривалість часу, який витрачається на обслуговування клієнта, є випадковою величиною, що має експоненціальний закон розподілу ймовірностей зі значенням параметра $$=\frac{1}{6}\left[\frac{\text{осіб}}{\text{год}}\right],$$ тобто витрачається в середньому 10 хв. на обслуговування одного клієнта. Оскільки перукарня має лише одного перукаря для обслуговування клієнтів, то кількість їх у перукарні не може перевищувати $$k=4\text{.}$$.

Визначити середню кількість клієнтів, які перебуватимуть у перукарні, а також середнє значення часу перебування клієнта в перукарні та довжину черги.

Розв’язання. Щоб проаналізувати процес обслуговування клієнтів перукарнею, скористаємося ймовірнісною моделлю (М/М/1). За умовою задачі маємо: оскільки $$N=4-$$ то $$=\frac{}{}=\frac{2}{3}-$$ оскільки $$<\mathrm{1,}$$ то.

$$p_N=p_4=\frac{\left(1-\frac{2}{3}\right)}{\left(1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right)}{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{\frac{1}{3}\frac{\text{16}}{\text{81}}}{1-\frac{\text{32}}{\text{243}}}=\frac{\text{16}}{\text{211}}\mathrm{0,}\text{0758}\text{.}$$.

Отже, у середньому кількість клієнтів, які не зможуть приєднатися до черги (тобто будуть втрачені для перукарні), у середньому становить 4 0758 = 0,3032 клієнта за годину, а за 8 робочих годин втрати вже досягнуть 8 3032 = 2,425, тобто буде втрачено від двох до трьох клієнтів.

Середня кількість клієнтів у системі.

$$M=\frac{\left(1-\left(N+1\right){}^N-{\mathit{N}}^{N+1}\right)}{\left(1-{}^{N+1}\right)\left(1-\right)}=$$ $$\frac{\frac{2}{3}\left[1-5{\left(\frac{2}{3}\right)}^4-4{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]}{\left(1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right)\left(1-\frac{2}{3}\right)}=\frac{\text{556}}{\text{211}}\mathrm{2,6}\text{.}$$.

Щоб обчислити середній час перебування клієнта в перукарні $$W_1$$, необхідно знайти числове значення $${}_{\text{еф}}$$, оскільки кількість клієнтів у перукарні $$k<=4\text{.}$$.

Згідно з (213) маємо:

$${}_{\text{еф}}=\left(1-{}_N\right)=4\left(1-{}_k\right)=4\left(1-\mathrm{0,}\text{0758}\right)=4\mathrm{0,}\text{9242}=\mathrm{3,}\text{6968}\text{.}$$.

Далі обчислюємо:

$$W_1=\frac{M}{{}_{\text{еф}}}=\frac{\mathrm{2,6}}{\mathrm{3,}\text{6969}}\mathrm{0,7}$$ год (42 хв).

Довжина черги при цьому.

$$L=M-\left(1-{}_N\right)=M-\left(1-{}_4\right)=$$.

$$=\mathrm{2,6}-\frac{2}{3}\left(1-\mathrm{0,}\text{0758}\right)=\mathrm{2,6}-\frac{2}{3}\mathrm{0,}\text{9242}=\mathrm{2,6}-\mathrm{0,}\text{62}=\mathrm{1,}\text{98}\text{.}$$.

Отже, довжина черги дорівнює в середньому 1,98 клієнта (2 клієнти).