Три знамениті класичні завдання древности

Министерство Освіти РБ.

Середня загальноосвітньою школою № 42.

«Три знамениті класичні завдання древности».

Выполнил: учень 9 класу «Д» Іванов Іван Перевірив: Леонова Віра Михайловна.

р. Улан — Удэ.

2005 г.

Запровадження Мистецтво побудови геометричних постатей з допомогою циркуля і лінійки було на рівні розвинене у Стародавній Греції. Проте древнім геометрам ніяк не вдавалося виконати деякі побудови, використовуючи лише циркуль і лінійку, а побудови, виконані з допомогою інших інструментів, не вважалися геометричними. До завдань ставляться звані три знамениті класичні завдання древности:

о квадратурі кола про трисекции угла.

[pic].

про подвоєнні P. S круга.

[pic].

Завдання про квадратурі кола Однією з прадавньої й найпопулярніших математичних завдань, займала уми людей протягом 3 — 4 тисячоліть, є завдання про квадратурі кола, тобто. про будівництво з допомогою циркуля і лінійки квадрата, равновеликому даному колу. Якщо позначити радіус кола через r, то мова може бути про будівництво квадрата, площа якого дорівнює [pic]r2, а сторона дорівнює r[pic]. Тепер відомо, що кількість [pic]-отношение окружності до своєму діаметру — число ірраціональне, воно виражається безкінечною неперіодичної десяткової дробом 3,1 415 926… було, ніби між іншим, обчислено з 707 десятковими знаками математиком У. Шенксом. Цей результат разом із формулою обчислень він оприлюднив у 1837 року. Жодна ще завдання такого роду не вирішувалася з такою величезним наближенням і з точністю, далеко що перевищує ставлення мікроскопічних відстаней до телескопическим. Шенкс підраховував. Отже, він у суперечності з вимогами завдання про квадратурі кола, де був потрібний знайти рішення побудовою. Робота, зроблена Шенксом, по суті некорисна — або «майже некорисна. Але, з іншого боку, вони можуть служити досить переконливим доказом супротивного тому, хто, переконавшись доказами Ліндеманна та інших. або знаючи них, досі ще сподівається, які можна знайти точне ставлення довжини окружності до діаметру. Можна обчислити близьке значення [pic] (і кореня квадратного з [pic]), що задовольнить тим чи іншим практичним потребам. Проте чи в практичному сенсі цікавила людей завдання про квадратурі кола, а цікавила її принципова сторона: чи можливо точно розв’язати завдання, виконуючи побудови з допомогою лише циркуля і лінійки. Сліди завдання про квадратурі кола можна побачити ще староєгипетських і вавілонських пам’ятниках II тисячоліття е. Проте безпосередня завдання про квадратурі кола зустрічається вперше у грецьких творах V в. е. У своєму творі «Про вигнанні «Плутарх розповідає, що філософ і астроном Анаксагор (500 — 428 р. е.) перебувають у в’язниці, відганяв сум міркуваннями над завданням про квадратурі кола. У комедії «Птахи «(414 р. е.) знаменитий грецький поет Арістофан, жартома на задану тему про квадратурі кола, вкладає у вуста Астронома Метона такі слова:

Візьму лінійку, проведу прямую,.

І миттєво коло квадратом обернётся,.

Посередині ринок, ми устроим,.

А від цього вже вулиці підуть -.

Але як на Сонце! Хоч само.

І круглий, тоді як промені прямые!..

Цей вірш свідчать, що завдання вже був на той час дуже популярна у Греції. Одне з сучасників Сократа — софіст Антифон вважав, що квадратуру кола можна здійснити так: упишемо до кола квадрат і, поділяючи навпіл дуги, відповідні його сторонам, побудуємо правильний вписаний восьмикутник, потім шістнадцяти косинець тощо., доки одержимо багатокутник, який набув чинності дрібниці сторін сольётся з окружністю. Та оскільки можна побудувати квадрат рівновеликий кожному многоугольнику, те й коло можна квадрировать. Але вже Аристотель довів, що це лише приближённое, але з точне вирішення завдання, оскільки багатокутник будь-коли може збігтися з. Квадратурою кола займався також найвідоміший геометр V в. е. — Гіппократ Хиосский. В багатьох котрі займалися цією завданням виникало сумнів, чи можливо взагалі побудувати прямолинейную постать, рівновелику криволінійної. Ця можливість було доведено Гіппократом, яка вибудувала лунообразные постаті (Рис. 1), відомих під назвою «гиппократовых луночек». У полукруг з діаметром [pic] уписаний рівнобедрений прямокутний трикутник BAC [pic]. На [pic] і [pic], як у диаметрах,.

Рис. 1 описуються півкола. Фигуры-мениски ALBM і ADCE, обмеженими круговими дугами, і називаються луночками. По теоремі Пифагора:

[pic]. (1).

Отношение [pic] площ кіл чи полукругов BMAEC і AECD одно, як вперше довів сам Гіппократ, відношенню квадратів відповідних діаметрів [pic], що з (1) одно 2. Отже, площа сектора OAC рівна площі півкола, побудованого на діаметрі [pic]. Якщо з обох цих рівних площ відняти площа сегмента ACE, те й одержимо, що загальна площа трикутника AOC рівна площі луночки ADCE, чи сума площ обох луночек дорівнює площі рівнобедреного трикутника BCA. Гіппократ знайшов і інші луночки, допускають квадрату, і ФДМ продовжував свої дослідження з думкою дістатися квадратури кола, що він, звісно, зірвалася. Різні інші, що тривали протягом тисячоліть спроби знайти квадратуру кола закінчувалися невдачею. Лише 80-ті роки 19 В. було суворо доведено, що квадратура кола з допомогою циркуля і лінійки неможлива. Завдання про квадратурі кола стає можливо розв’язати, якщо застосовувати, крім циркуля і лінійки, ще інші засоби побудови. Так, ще 4 В. е. грецькі математики Динострат і Менехм користувалися на вирішення завдання однієї кривою, яка була знайдена ще 5 В. е. Гиппием Елідським. Проте учених Стародавню Грецію та їхніх послідовників таке рішення, які перебувають поза застосування циркуля і лінійки, не задовольняли. Будучи спочатку суто геометричній завданням, квадратура кола перетворилася на протягом століть у власність виключно важливе завдання арифметико-алгебраического характеру, пов’язану із кількістю [pic], сприяла розвитку новопонять й ідей в математиці. Квадратура кола був у давні часи самої привабливою і спокусливої завданням. Армія «квадратурщиков» невпинно поповнювалася кожним поколінням математиків. Усі підсиль були марні, але кількість їх не зменшувалася. У деяких умах доказ, що ухвалено рішення може бути знайдено, запалювало ще більший запопадливість до здобутків. Що ці завдання досі не втратила свого інтересу, найкращим свідченням служить поява досі спроб її решить.

Завдання про трисекции кута Знаменитої був у давнини і завдання про трисекции кута (від латинських слів tria — три і section — розсічення, розрізування), т. е.о поділі кута на три однакові частини з допомогою циркуля і лінійки. Кажуть, що таке обмеження допоміжних приладів знаменитим грецьким філософом Платоном. Так, розподіл прямого кута втричі однакові частини вміли виробляти ще піфагорійці, виходячи з тому, що у рівносторонньому трикутнику кожен кут дорівнює 60 градусів. Нехай потрібно розділити втричі однакові частини прямий кут MAN (Рис. 2). Відкладаємо на полупрямой [pic] довільний відрізок [pic], у якому будуємо рівносторонній трикутник ACB. Оскільки кут Рис. 2.

CAB дорівнює 60 градусів, то [pic]= 30о. Побудуємо бісектрису [pic].

кута САВ, отримуємо дані розподіл прямого кута MAN втричі рівних кута: [pic], [pic], [pic]. Завдання про трисекции кута виявляється можливо розв’язати і за деяких інших приватних значеннях кута (наприклад, для кутів в [pic], п — натуральне число), проте у загальному разі, тобто. будь-який кут неможливо розділити на рівних частини з допомогою лише циркуля і лінійки. Це було доведено лише у першій половині ХIХ в. [pic] Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда.

Завдання про трисекции кута стає можливо розв’язати і загальному разі, а то й обмежуватися в геометричних побудовах лише класичними інструментами, циркулем і лінійкою. Спроби вирішення завдання з допомогою інструментів, і коштів було ще в V в. е. Приміром, Гиппий Элидский, знаменитий софіст, жила близько 420 р. е., користувався для трисекции кута квадратрисой. Олександрійський математик Никомед (ІІ. е.) вирішив завдання про трисекции кута з допомогою однієї кривою, названої конхоидой Никомеда (рис. 3), і зробив опис приладу для креслення цієї кривой.

[pic].

Рис. 4.

Рис. 5.

Цікавий вирішення завдання про трисекции кута дав Архімед у своїй книжці «Леми», у якій доводиться, що й продовжити хорду [pic] (рис.4) окружності радіуса r на відрізок [pic]= r і започаткувати через З діаметр [pic], то дуга BF буде втричі менше дуги АЕ. Справді з урахуванням теорем про зовнішньому вугіллі трикутника і рівність кутів при підставі рівнобедреного трикутника имеем:

[pic],.

[pic] [pic], значит,.

[pic] Звідси випливає так званий спосіб «вставки» для розподілу втричі рівні частини кута AOE. Описав окружність з центром O і радіусом [pic] і [pic], проводимо діаметр [pic]. Лінійку CB де нанесена довжина [pic] радіуса r (наприклад, допомогою двох штрихів), докладаємо і рухаємо те щоб її точка З сповзала із продовження діаметра [pic], а сома лінійка постійно проходив би через точку A окружності, поки точка B лінійки бракуватиме на окружності. Тоді кут BCF і буде шуканої третьої частиною кута AOE (Див. Мал.5). Як бачимо, у тому прийомі використовується вставка відрізка CB між продовженням діаметра EF і окружністю те щоб продовження відрізка CB минуло через задану точку A окружності. У згаданому вище побудові застосовується, крім циркуля, непросто лінійка як інструмент щодо прямих, а лінійки з поділами, яка дає довжину певного відрізка. Ось ще одне правильне рішення завдання про три секції кута з допомогою лінійки з цими двома насічками запропоноване Кемпі: Нехай дано який — або кут ABC (Рис. 6); і нехай на лезі нашої лінійки є такі 2 точки, P і Q (див. таку ж постать, внизу).

Побудова На однієї зі сторін кута відкладаємо від вершини B пряму BA = PQ. Ділимо ВА навпіл у точці М; проводимо лінії [pic] Рис. 6 і [pic]. Візьмемо тепер нашу лінійку і пристосуємо її до отриманої фігурі так, щоб точка Р лінійки лежала на прямий КМ, точка Q лежала бы.

на прямий LM, й у водночас продовження PQ лінійки проходило через вершину даного кута У. тоді пряма ВР це і є бажана, отсекающая третю частина кута В.

Доказ [pic] як навхрест що лежать. Розділимо PQ навпіл і середину N з'єднаємо з М прямий NM. Крапка N є середина гіпотенузи прямокутного трикутника PQM, тому PN = NМ, отже, трикутник PNM рівнобедрений, і значит.

[pic].

Зовнішній ж [pic].

Разом про те [pic].

Отже, [pic].

Отже: [pic].

(Ч.Т.Д.).

Приведённое вище вирішення завдання належить Кемпле, яке притому порушив питання, чому Евклид не скористався розподілом лінійки і процесом її пристосування як доказ 4-й теореми своєї першої книжки, де натомість він накладає боку одного трикутника на боку іншої. А ще зміг відповісти лише, що у завдання Евкліда і входило відшукування деякою точки із засобів вимірювання, і процесу пристосування лінійки. У своїх міркуваннях і доказах він накладає постать постать — і только.

Завдання про подвоєнні куба Подвоєння куба — так називається третя класична завдання давньогрецької математики. Це завдання поруч з двома першими зіграла великій ролі в розвитку математичних методів. Завдання полягає у побудові куба, має обсяг, ще більше обсягу даного куба. Якщо позначити через, а ребро даного куба, то довжина ребра x шуканого куба має задовольняти рівнянню x3 = 2a3, чи x = [pic] Завдання природно узагальненням аналогічної завданням про подвоєнні квадрата, яка вирішується просто: стороною квадрата, площа якого дорівнює 2а2, служить відрізок довжиною а[pic], тобто. діагональ даного квадрата зі стороною а. Навпаки подвоєння куба, обсяг якого дорівнює 2а3, тобто. відрізок x, рівний [pic], може бути побудований з допомогою циркуля і лінійки. Проте це було доведено лише першій половині в XIX ст. Завдання про подвоєнні куба носить як і назва «делосской завдання» у зв’язку з з такою легендою. На острові Делос (в Егейському морі) поширювалася епідемія чуми. Коли жителі острова звернулися до оракулу по пораду, як позбудеться чуми, вони отримали відповідь: «Подвойте жертовник храму Аполлона». Спочатку вони вважали, що завдання легка. Оскільки жертовник мав форму куба, вони побудували новий жертовник, ребро якого треба було вдвічі більше ребра старого жертовника. Делосцы було невідомо, в такий спосіб вони збільшили обсяг куба над 2 разу, а 8 раз. Чума ще більше посилилася, у відповідь на вторинне звернення до оракулу останній порадив: «Краще вивчайте геометрію…» За іншою легенді, бог приписав подвоєння жертвенникам не оскільки йому потрібен вдвічі більший жертовник, тому, що дорікнути греків, «які дбають про математики й не дорожать геометрією». Завданням подвоєння куба ще V в. е. займався Гіппократ Хиосский, що звів її до вирішення наступній завдання: побудувати «два середніх пропорційних» відрізка x, у між даними відрізками а, b, тобто. знайти x і у, які відповідали у наступному безупинної пропорції: а: x = x: у = у: b (1) Суть одного механічного вирішення завдань про подвоєнні куба, ставиться до IV в. е., грунтується на методі двох середніх пропорційних. Відкладемо за прямого кута відрізок [pic]=а, де адовжина ребра куба (див. мал.7), а в інший боці - відрізок [pic]=2а. На продовженнях сторін прямого кута намагаємося знайти такі точки M і N, щоб (ГАМ) і (ВN) були перпендикулярні до (MN); тоді [pic](х) і [pic](у) будуть двома серединами пропорційними між відрізками [pic] і [pic]. І тому влаштовується косинець з рухомий лінійкою. Лінійку мають оскільки показано на малюнку. Имеем:

[pic]: [pic] = [pic]: [pic] = [pic]: [pic], чи, а: x = x: у = у: 2а. Отсюда.

[pic] или.

[pic], т. е.

[pic]. Це означає що відрізок [pic] шуканий. Архіт Тарентский дав цікаве стереометрическое рішення «делосской завдання». По ньому, крім Евдокса, дали свої рішення Ератосфен, Никомед, Аполлоний, Герон, Папп і др.

Отже, всі старання вирішити три знамениті завдання при відомих обмежують умовах (циркуль і лінійка) навели лише до доведенню, що це рішення неможливо. Інший, мабуть, у цій приводу скаже, що, отже, робота сотень умів, котрі намагалися перебігу століть вирішити завдання, звелася нічого… Але це завжди буде не так. При спробах вирішити завдання було зроблено величезну кількість відкриттів, мають набагато більше і значення, ніж самі поставлені завдання. Спроба Колумба відкрити новий шлях у Індію, пливучи все захід, закінчилася, як відомо, невдачею. І ми знаємо, що це необхідне й мало статися. Але геніальна спроба великої призвела до «побіжному» відкриттю цілої нової частини світу, перед багатством і розумовою розвитком якого бліднуть нині все скарби Індії. Стародавність заповідала розв’язання всіх трьох завдань нашим временам.