Математика 16 століття: люди й несподівані відкриття

Математика 16 століття: люди й несподівані відкриття

В 16 столітті європейські математики зуміли, нарешті, зрівнятися в мудрості зі стародавніми греками і перевершити їх там, де успіхи еллінів були великі: у вирішенні рівнянь. Такий прорив у невідоме став результатом довгої культурної революції. Вона почалася 14 столітті, як у Італії з’явилися перші великі поети Нового часу: Данте Аліг'єрі (1265−1321) і Франческо Петрарка (…). Подібно Гомеру, вони оголосили своїм сучасникам: настав час будувати у новий світ, рівняючись на античні зразки і намагаючись їх перевершити!

Городские комуни Італії 14−16 століть були під що свідчить нагадують поліси Еллади. На вулицях гриміли так само бурхливі політичні суперечки та релігійні проповіді, а залах університетів звичайні лекції чергувалися з привселюдними диспутами на самі теми. Чи існують у природі ті «універсалії «, про які писав Платон «Наприклад, законні чи загальні поняття «овоч «і «фрукт «- або є лише ріпа і капуста, яблуко і персик «Чи можливі в геометрії нові теореми, невідомі Евклиду «Чи можна вирішити ті геометричні завдання, які у змозі древнім грекам — наприклад, розділити будь-який кут втричі однакові частини «.

Когда поширилося книгодрукування, суперечки цієї своєрідної почали хвилювати як вузьке коло професіоналів. Тепер кожен освічена людина міг зазирнути у книжку Евкліда чи Архімеда та свою думку про їхнє відкриттях. Італійські художники 15 століття навчилися застосовувати стереометрию у живопису. Вони винайшли техніку перспективи, завдяки якому плоскі зображення просторових тіл здаються не від реальних предметів. Особливо відзначився у цій галузі Леонардо так Вінчі з Флоренції (1452−1519). Дотримуючись стопами Архімеда, він застосовував геометрію до вирішення механічних завдань: наприклад, Леонардо розрахував і побудував водолазний дзвін, створив проекти підводного човна і вертольота.

Ровесник Леонардо — професор Сципион дель Феро з Болоньї (ум.1526) таки присвятив усе життя рішенню різних алгебраїчних рівнянь. Труднощі, пов’язані з незручними позначками невідомих величин і безкомпромісність дій з них, були величезні. Спробуйте, наприклад, вирішити квадратне рівняння, не використовуючи знаки (+), (-) і ., а замінюючи їх словами! Сципион подолав ці труднощі. Комбінуючи рішення квадратного рівняння з витяганням кубічного кореня, він зумів вирішити рівняння виду (x. = рх + q). Виявилося, що має 3 різних кореня, і до нього зводиться довільне кубічне рівняння виду (ох. + вх. + сх + d = 0). Сьогодні ці факти очевидні кожному за старшокласника, який бачив графік функції (у = x.) зрозумів, що таке лінійна заміна перемінної в многочлене. Але італійці 16 століття не відали понять «функція », «графік «і «багаточлен » !

Характерно, що Сципион дель Феро не опублікував своє відкриття друку. Він зміг викласти його це й доступно для допитливого студента, а залишив лише записи, зрозумілі математикам вищої кваліфікації. Одне з таких читачів — Нікколо Фонтана з Брешії (…) на прізвисько Тарталья («Заїка ») — розібрався в записах Феро і почав застосовувати кубічні рівняння під час складання й розв’язанні нових алгебраїчних завдань. Ці завдання він пропонував своїм коллегам-соперникам на регулярних диспутах, подібних до сучасні олімпіади що для школярів чи шахові турніри. Перемога такому турнірі була важлива професора: ніж яскравіше успіх, то більше вписувалося студентів відвідують лекцію письменника, і тих вище оплачують його працю міська влада!

Некоторое час Нікколо Тарталья була майже непереможний в математичних змаганнях; зрівнятися з нею міг лише Джироламо Кардано (…) з Павії. У 1535 року, обговорюючи підсумки чергового турніру, Тарталья і Кардано заговорили про рішення кубічних рівнянь. Тут Тарталья (випадково, чи заради хвальби) повідомив Кардано, що він знає спосіб розв’язання кубічних рівнянь, відкритий ще професором Феро.

Мы не знаємо, як багато нового розповів Тарталья Кардано. Але майстру вистачило цієї інформації до повного рішення кубічного рівняння; у результаті Кардано зрівнявся з Тартальей в алгебраическом майстерності. Він приховував своє вміння від всіх, а поділився їм із власним найкращим учнем — Лодовіко Феррарі (…). Той, отетерівши, спробував розвинути нову техніку на вирішення рівнянь ступеня 4 — і досяг успіху у цьому. Тут Кардано відчув, що у математиці назріває переворот. Хто перший розповість людям то алгебраїчних відкриттях — той прославиться весь світ і поруч із Евклидом!

В 1545 року Кардано опублікував книжку «Велике мистецтво », у якій дав повне рішення уравнений-многочленов ступеня 3 чи 4 і тих завдань, які до них зводяться. У цьому Кардано чесно написав про заслуги Феро, Тарталья і Феррарі. Проте, Тарталья був обурений: в нього вкрали його таємну славу! Від довгий запеклий суперечка, завершений уроком попри всі часи. Честь нового відкриття дістається тому, хто перший повідомить про неї широкому загалу переважають у всіх подробицях! Так спосіб розв’язання кубічного рівняння (x. = рх + q) отримав назва «формула Кардано » :

Формула Феррарі для коренів багаточлена ступеня 4 має ще складніше, що у ній вирішення іде у два етапу. Спочатку на рівнянню ступеня 4 складається допоміжне кубічне рівняння, і потім у ній — квадратне рівняння.

Можно було сподіватися, що така прийом дозволить розв’язати будь-яке уравнение-многочлен. Але це гіпотеза не виправдалася. Через 300 років тому після відкриттів Феро його колег — норвежець Нільс Абель і француз Эварист Галуа — довели, що «коріння деяких багаточленів ступеня 5 НЕ виражаються через їх коефіцієнти з допомогою арифметичних діянь П. Лазаренка та вилучення коренів будь-якого рівня. Виявилося, що у алгебрі (як й у геометрії) існують завдання, не розв’язні тими методами, використані винахідники з завдань!

Но в 16 столітті такі думки приходять на думку математикам. Їм важливо було дати раду засобах розв’язання тих завдань, які піддаються зусиллям окремих умільців. Як зробити ці засоби загальнодоступними «У алгебрі цієї проблеми вдало вирішив Франсуа Виет (1540−1603) — перший великий математик Франції. Він першим використовував звичні нам знаки арифметичних дій над відомими числами чи понад літерами, які зображують невідомі числа. Виклавши цією мовою все відомі факти про рішення уравнений-многочленов, Виет зауважив: якщо багаточлен має повний набір коренів (кількість яких одно його ступеня), то сам багаточлен розкладається у твір множників виду (х-а), де символ (а) позначає будь-який корінь багаточлена.

Из цієї формули: Р (х) = (х-а.)(х-а.)…(х-а.) — видно, як висловити будь-який коефіцієнт багаточлена через коріння. Наприклад, вільний член дорівнює твору всіх коренів, які сума дорівнює коефіцієнта при невідомому в ступеня (n-1). Всі ці співвідношення названі формулами Виета. Вони дозволяють швидко знаходити «про себе «коріння багатьох багаточленів з їхньої коефіцієнтам, але загального шляхи до таких пошуків де вони дають.

Открытие Виета виявило несподівану аналогію між многочленами і цілими числами: вони однаково просто розкладаються на неразложимые множники! У чисел такими множителями є прості числа — серед багаточленів двучлены виду (х-а) чи більше складні неразложимые багаточлени. Які є підстави «Наприклад, чи можна розкласти на лінійні множники багаточлени (х.-2) чи (х.+1), які мають раціональних коренів «.

Первый їх має дві ірраціональних кореня: один — позитивний, інший — негативний. З таким числами Виет звертався вільно. Навіть зумів висловити них знамените число П — щоправда, лише у вигляді нескінченного твори:

2/П = (соs п/4)*(cos п/8)*(cos п/16)…

Все множники, які у правій частині цього рівності, Виет висловив через коріння різних ступенів з раціональних чисел. Вийшла така формула:

К жалю, вона зручна для обчислення П з кожного точністю. Більше зручні формули цього роду знайшли іншими математиками: Джоном Валлисом в 17 столітті та Леонардом Эйлером у 18-ти столітті.

Решение уравнений-многочленов ступенів 3 і 4 стало великим успіхом нового європейського математики. Але за всякий успіх доводиться платити. Платою за удачі Кардано і Феррарі виявилося поява МНИМИХ чисел. То існували названі квадратні коріння з негативних чисел. Вони неминуче виникають під час вирішення кубічного рівняння за способом Кардано, навіть коли таке рівняння має три дійсних кореня.

В середині 16 століття європейські математики вже до цілим і дробовим, негативним і ірраціональним числам. Будь-які два числа цих сортів можна порівняти за величиною і зобразити точками на числової прямий: (а) лежить праворуч від (в), якщо а.