Знакопочережні числові ряди. 
Абсолютна та умовна збіжність (реферат)

РЕФЕРАТ

З вищої математики

на тему:

«Знакопочережні числові ряди. Абсолютна та умовна збіжність».

План.

1. 1.Ознайомлення знокопрчережного ряду.

2. 2.Абсолютна та умовна збіжність. Ознака Лійбніца.

3. 3.Оцінка залишка знакопочережного ряду, збіжного за ознакою Лійбніца.

1.Ознайомлення 1. Ряд, члени якого почережно мають додатний та від'ємний знаки, називають знакопочережним.

Такий ряд можна записати, наприклад у вигляді.

(1) $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}{U}_n=U_1-U_2+U_3-U_4+\text{.}\text{.}\text{.}+(-1{)}^{n-1}{U}_n+\text{.}\text{.}\text{.}{U}_n>\mathrm{0,}n=\mathrm{1,2,3}\text{.}\text{.}\text{.}$$.

2. Означення 2. Знакопочережний ряд називають збіжним, абсолютно, якщо збігається додатний числовий ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{U}_n$$, складений з абсолютних величин знаходженого ряду (1).

Якщо ряд, складний з абсолютних величин членів ряду (1) розбігається, а знакопочережний ряд збігається, то кажуть, що ряд (1) збігається неабсолютно або умовно.

Абсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з використанням достатніх ознак збіжності додатних числових рядів. Неабсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з використанням ознаки Лейбніца.

Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини знакопочережного ряду монотонно спадають, тобто.

U1> U2> U3> Un>…

І границя його загального члена дорівнює нулю при n-> $$\mathrm{}$$, тобто виконується умова.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{U}_n=0$$ ,.

тоді знакопочережний ряд збігається, причому його сума S обов’язково менше першого члена ряду.

Теорема 1. Якщо ряд збігається абсолютно, то за будь-якої перестановки членів ряд буде збігатися і сума його не змінюватиметься.

Теорема 2. (Рімана). Якщо ряд збігається умовно, і S — будь-яке наперед задане число, то завжди можна переставити члени ряду так, щоб сума отриманого ряду дорівнювала S.

Якщо замінити суму цього ряду S його частковою сумою Sm, тоді абсолютна величина похибки Rm буде менше першого відкинутого члена ряду, тобто / Rm/ < Um+1/.

3.Приклад 1. Дослідити збіжність знакопочережних рядів:

а) $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{\text{cos}\text{nL}}{n^2}$$ — в) $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$$ — с) $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}\frac{2n}{n+1}$$ .

Розв’язування. а) Складемо ряд з абсолютних величин заданого знакопочережного ряду (L — довільне число):

(2) $$\frac{|\text{cos}2|}{1}+$$ $$\frac{|\text{cos}2L|}{2^2}+$$ $$\frac{|\text{cos}3L|}{3^2}+$$ $$\frac{|\text{cos}\text{nL}|}{n^2}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Порівняємо цей ряд із збіжним узагальненим гармонічним рядом.

(3) $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\text{.}\text{.}\text{.}\frac{1}{n^2}+$$.

Кожний член ряду (2) менше або дорівнює відповідному члену ряду (3) тому, що.

$$\frac{|\text{cos}\text{nL}|}{n^2}<=\frac{1}{n^2}$$ — n=1,2,3…

Згідно з ознакою порівняння ряд (2) збігається. А це означає, що заданий занкопочережний ряд а) збігається абсолютно;

В) У цьому випадку ряд, складений з абсолютних величин $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$$ абсолютно не збігається. Для дослідження його не абсолютності збіжності треба застосовувати ознаку Лейбніца. У даному випадку обидві умови ознаки Лейбніца виконуються:

$$1>\frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{3}$$ $$\text{.}\text{.}\text{.}>\frac{1}{n}\text{.}\text{.}\text{.}$$ — $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{n}=0$$.

Тому знакопочерепсний ряд в) збігається неабсолютно.

С) У цьому випадку не виконується необхідна умова збіжності числового ряду тому, що $$\begin{array}{c}\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2}{n+1}=2\\ \end{array}$$ $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2}{1+\frac{1}{n}}=2/=0$$ Отже, ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}\frac{2}{n+1}$$ розбіжний.

Література:

1. Барковський В. В., Барковська Н. В. Вища математики для економістів: Цул-2002.

2. Добовик В. П., Юрик І.І. Вища математика.