Про прекрасне в теорфізиці: дуальність

О прекрасному в теорфизике: дуальность

Что таке симметрия

Игорь Иванов Хочу ось розповісти про такий гарному явище в теорфизике, як дуальность.

Но спочатку — про симетрії. Симетрія, у якнайширшому сенсі, це незалежність чогось (постаті, формули, рівняння чи всією теорії) при якомусь певному перетворення. Симетрію геометричній постаті щодо обертання, відблиски і т.д. інтуїтивно всі розуміють. Приклад симетричного рівняння: x + 1/x = 1, адже форма цього рівняння не зміниться, якщо замість перемінної x запровадити зміну y=1/x (тобто. вийде y + 1/y=1). Симетрія теорії — концепція трохи більше складна, але можна уявити з прикладу географії. Якщо взяти материки і переставити їх у глобусі, то сама наука фізичної географії що від цього не зміниться: адже типові структури рельфа не изменились.

Для симетрії важливо, що таке обмінюється з цим, точки переходить до точки, а лінії — в линии.

Что таке дуальность

Оказывается, є ситуації, коли можна зробити блюзнірську операцію — змінювати місцями зовсім різні речі. І теорія від надання цього не зміниться! Вони ж, як варіант, це завжди буде той самий теорія у якийсь інший ситуации.

Простой геометричний приклад. Уявіть собі на площині три рівновіддалені точки (як вершин рівностороннього трикутника), і трьох прямі, які відбуваються через кожну пару точек.

Каждая точка має здатність: вона належить рівно двом прямим, й кожна пряма має здатність: вона перетинає за дві точки.

(Никакие інші точки прямий і в пласкості доки рассматриваем.).

Теперь виходить дивовижна річ: якби ці прямі глянути як у «точки «якогось зовсім абстрактного простору, тоді те, що було раніше точками, тепер ж виконує функцію «прямих «цього абстрактного простору. Усі, що треба поміняти місцями, писав «належить «і «перетинає «.

Это це і є дуальность. На абстрактному мові: нехай якийсь об'єкт складається з елементів типу A та певного типу B (які, можливо, пов’язані якимись відносинами). Об'єкт має дуальностью, коли ми можемо поміняти елементи типу A на елементи типу B і навпаки, і навіть перевизначити відносини, і цього знову вийде новий об'єкт з тією ж самої структурой.

На тому самому географічному прикладі: якщо океани поміняти на материки і навпаки (тобто. поміняти місцями глибину й висоту), то образ нашого світу, звісно, зміниться, але сама наука фізичної географії від цього не зміниться!

Небольшая обмовка — описана вище ситуація зазвичай називається самодуальностью. А просто дуальность — це коли відразу після перетворення дуальности отримуємо інший (але не всі ж правильно певний) объект.

Дуальность має важливим властивістю: дуальний об'єкт до дуальному — це тотожний той ж найбільш об'єкт. (Переконайтеся з прикладу трикутника). Тобто. дворазове застосування дуальности — це тотожне перетворення (тобто. кожен елемент об'єкта залишається самому собою). На відміну від прийняття цього, симетрія — це тотожне перетворення «суті «об'єкта, адже кожна елемент при свою «сутність «не змінює (точки залишаються точками, лінії — линиями).

Совсем вже абстрактно можна сказати, що «симетрія «і «дуальность «— два рішення якогось цілком абстрактного рівняння: x2 = 1. Рішення x = 1 — це симетрія, рішення x = -1 — це дуальность.

Дуальность і физика

А тепер — як може це має до фізики.

Самое пряме. Найпростіше зрозуміти дуальность між кристалом і газом.

Рассмотрим кристал при дуже низької температури. Атоми майже коливаються, лише іноді з дохідними статтями, то там пробіга слабенька хвиля колективного коливання — фонон. Таких фононов обмаль, їх концентрація низька, тому весь кристал загалом можна уявити як дуже розріджене газ фононов, причому для цього газу можна теж запровадити свою абстрактну температуру!

Взглянув під іншим кутом зору, ми замість кристала при низької температури побачили газ якихось об'єктів за високої температури. Тобто. дуальность пов’язує два протилежних краю одному й тому ж теорії (атомістичної теорії будівлі речовини, можливо, зі зміненим законом взаимодействия)!

В цьому примерер, у тому, щоб коло замкнулося, потрібно довести, що з фононов можна зробити кристал що він буде зацікавлений у точності відповідати розрідженому газу атомів. Не знаю, чи є доказ цього твердження. Але те, що існує — це адаптація цієї ідеї до двовимірним спиновым ґратам. Перетворення дуальности у яких змінює місцями «елементи упорядкованості «і «елементи невпорядкованості «, тобто. самі вузли і лінії дефектів. Ця дуальность називається дуальностью Крамерса-Ванье.

Интересные приклади дуальности є у теорії суперструн.

Для чого ця история, А так просто. Щоб дати відчути зачарування усе те цікавого, з чого думають фізики-теоретики :).

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.