Визначники

Определители

Муниципальное освітнє установа — гімназія № 47.

Реферат по математиці учениці 8 р класу Годуновой Екатерины г. Екатеринбург, 2000 г.

Введение

Определители вперше запроваджені на вирішення системи рівнянь першого ступеня. У 1750 року швейцарський математик Р. Крамер дав загальні формули, які виражають невідомі через Визначники, що складаються з коефіцієнтів системи. Приблизно сто років теорія визначників, вийшовши далеко межі алгебри, почали застосовувати у всіх математичних науках.

В теперішньому рефераті розглянуті визначники другого і третього порядку, наведено приклади рішення систем рівнянь методом определителей.

Определители другого порядка.

Рассмотрим систему уравнений:

a1x + b1y = с1.

a2x + b2y = с2.

Данную систему можна вирішити традиційними методами — підстановки і складання рівнянь. Проте, часом виявляється легше застосувати определители Представим систему як квадратної матрицы:

| a1 b1 |.

А = | |.

| a2 b2 | .

число а1b1- а2b2 називають визначником системи та позначають det A чи D.

| a1 b1 | | a1 b1 |.

Dx = | |, Dy = | |.

| a2 b2 | | a2 b2 |.

Определитель Dx виходить з D заміною елементів першого шпальти вільними членами системи; аналогічно Dy.

Возможны три случая:

Случай 1: визначник системи не нульовий: D ¹ 0. Тоді система має єдине рішення: x = Dx/D, y= Dy/D.

Случай 2: визначник системи нульовий: D = 0 (тобто. коефіцієнти при невідомих пропорційні). Нехай у своїй одне із визначників Dx, Dy не нульовий (тобто. вільні члени не пропорційні коефіцієнтам при невідомих). І тут системи немає рішень.

Случай 3: D = 0, D x = 0, D y = 0 (тобто. коефіцієнти і вільні члени пропорційні). Тоді одна з рівнянь наслідком іншого: система зводиться одного рівнянню з цими двома невідомими і має незліченну кількість рішень.

Рассмотрим кілька прикладів рішення систем двох рівнянь з цими двома невідомими методом определителей.

Пример 1. Вирішити систему рівнянь:

2x + 3y = 8.

7x — 5y = -3.

| 2 3 | | 8 3| | 2 8 |.

D= | | = -31 Dx = | | = -31 Dy = | | = - 62.

| 7 -5 | | -3 -5| | 7 -3 |.

Система має єдине решение.

х = Dx/D =1 y = Dy/D = 2.

Пример 2. Вирішити систему уравнений:

2x + 3y = 8.

4x + 6y = 10.

| 2 3 | | 8 3|.

D = | | = 0, у своїй Dx = | |= 18 ¹ 0. | |.

| 4 6 | | 10 6 |.

Коэффициенты пропорційні, а вільні члени не підпорядковані тієї ж пропорції. Система не має решений.

Пример 3. Вирішити систему уравнений:

2x + 3y = 8.

4x +6y = 10.

| 2 3 | | 8 3 | | 2 8 |.

D = | |= 0 Dx = | | =0 Dy = | | =0.

| 4 6 | | 16 6 | | 4 16 |.

Одно з рівнянь є следстввие іншого (наприклад, друге виходить з першого, примножуючи на два). Система зводиться одного рівнянню і має незліченну безліч рішень.

Определители третього порядка.

Решение систем із трьох лінійних рівнянь із трьома неизвестны-ми теж можна вирішити методом визначників .

Определителем квадратної матриці третього порядку.

| a1 b1 c1 | називається вираз D = а1b2c3 — a1b3c2 + b1c2a3 -.

А= | a2 b2 c2 | b1c3a2 + c1a2b3 — c1a3b2.

| a3 b3 c3 |.

или, якщо висловити його через визначники 2-го порядка:

| b2 c2| | a2 c2 | | a2 b2 |.

a1 | | - b1 | | + c1 | |.

| b3 c3| | a3 c3 | | a3 b3|.

Определители n -го порядка.

Определителем квадратної матриці n-го порядку Де.

| a11 a12 … a1n | | a22 a23… a2n |.

| a21 a22 … a2n | називають число D = a11 | … | ;

A = | … | | an2 an3… annn|.

| an1 an2 … ann |.

| a21 a23… a2n | | a21 a22… a2(n-1)|.

— a12 | … | +…+ (-1)n+1a1n | … |.

| an1 an3… ann | | an1 an2… an (n-1) |.

т.е. маємо знакочередующуюся суму творів, де з з множників — елемент першого рядка чудово, а інший — визначник матриці (n-1)-го порядку, отриманої викреслюванням тієї рядки — і того шпальти яких належить перший множитель.

Например:

| 4 1 3 5 |.

| 2 3 2 1 | | 3 2 1 | | 2 2 1 | | 2 3 1 | | 2 3 2 |.

| 5 2 1 4 | = 4 | 2 1 4 | - 1 | 5 1 4 | + 3 | 5 2 4 | - 5 | 5 2 1 |.

| 11 6 5 10| | 6 5 10| | 11 5 10 | |11 6 10 | | 11 6 5 |.

= 4(3(10−20) — 2(20−24) + 1(10−6)) — 1(2(10−20) -2(50−44) + 1(25−11)) +.

+ 3(2(20−24) — 3(50−44) + 1(30−22)) -5(2(10−6) — 3(25−11) +2(30−22)) = -28.

Свойства определителей.

1. Розмір означника не змінюється, якщо кожен рядок замінити стовпцем з тим самим номером.

Пример 1:

| a1 b1 | | a1 a2 | | 2 3 | | 2 7 |.

| | = | | | | = 2(-5) — 7 3 = -31 = | |.

| a2 b2 | | b1 b2 | | 7 -5 | | 3 -5 |.

2. При перестановці будь-яких двох рядків чи якихось двох шпальт абсолютне значення означника залишається колишнім, а знак змінюється на обратный.

| a1 b1 c1 | | a1 b1 c1 | (переставлені друга, і третя рядки).

| a2 b2 c2 | = - | a3 b3 c3 |.

| а3 b3 c3 | | a3 b3 c3 |.

Пример 2: | 2 3 | | 5 7 |.

| 5 7 | = - | 2 3 |.

3. Визначник, яка має елементи рядка (чи шпальти) відповідно пропорційні елементам інший рядки (чи шпальти), нульовий. Зокрема, визначник з двома однаковими рядками (стовпчиками) дорівнює нулю.

Пример 3: | 2 -1 3|.

| 4 -2 -3| = 2(-2 2 -(-3)(-3)) — (-1)(4 2- 6(-3)) + 3(4(-3) — 6(-2)).

| 6 -3 2| = 0 (перший і другий стовпчики пропорційні).

| 2 2 2 |.

| -5 -3 -3| = 0 (другий і третій стовпчики одинаковы).

| 0 -1 -1|.

4. Загальний множник всіх елементів рядка (чи шпальти) можна винести за знак определителя.

| ma ma' ma'' | | a a' a'' | Приклад 4: | 3 5 | | 1 5 |.

| b b' b'' | = m | b b' b'' | | 6 7 | = 3 | 2 7 |.

| з з' з'' | | з з' з'' |.

5. Якщо кожен елемент будь-якого шпальти (рядки) є сума двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників: щодо одного замість кожної суми треба лише перше складова, й інші - лише друге (інші елементи в обох определителях самі, що в).

| a1 (b1+c1) d1 | | a1 b1 d1 | | a1 c1 d1 |.

| a2 (b2+c2) d2 | = | a2 b2 d2 | + | a2 c2 d2 |.

| a3 (b3+c3) d3 | | a3 b3 d3 | | a3 c3 d3 |.

Пример 5:

| 5 13 | | 5 6 | | 5 7 |.

| 3 7 | = | 3 3 | + | 3 4 |.

6. Якщо всім елементам будь-якого шпальти додати складові, пропорційні відповідним елементам іншого шпальти, то новий визначник дорівнює старому. І це для строк.

Пример 6:

| 2 -1 3 |.

определитель | 4 1 -3 | = 12.

| 5 0 2 |.

Прибавим до цих елементам першого рядка чудово елементи другий РАЕС і одержимо | 6 0 0 | Цей визначник теж = 12, але вычисляется.

| 4 1 3 | простіше (в розкладанні за елементами первой.

| 5 0 2 | рядки два доданків рівні нулю.

Пример 7:

Для обчислення означника.

| 4 2 3 | додамо до елементам першого шпальти елементи второго,.

|-1 3 5 | помножені на -2.

| 6 3 -1 |.

Получим | 0 2 3 |.

| -7 3 5 | Цей визначник легко вычислянтся.

| 0 3 -1 | розкладанням за основними елементами першого столбца Получаем:

| 2 3 |.

7 | | = -77.

| 3 -1 |.

Таким чином, розглянувши властивості визначників, бачимо, що є безліч можливостей спростити обчислення определи-телей. При «ручному» обчисленні визначників часто-густо рішення системи виявляється складніше, ніж традиційними методами. Проте, рішення систем методом визначників легко запрограмувати, і тоді даний метод дасть тим більший виграш, що стоїть порядок системи уравнений.

Заключение

В теперішньому рефераті показаний спосіб розв’язання лінійних рівнянь будь-якого як завгодно великого порядку методом определи-елей. Розглянуто властивості визначників, вирішені приклади. Метод визначників дозволяє запровадити єдиний алгоритм рішення систем, тобто. дає можливість запрограмувати це рішення. Отже, що стоїть порядок системи, тим більше залишиться виграш під час вирішення систем методом визначників, аніж за традиційних засобах рішення.

Список литературы

1. Енциклопедичний словник юного математика /Сост.А. П. Савин.- М.: Педагогіка, 1989.

2. Петраков І.С. Математичні гуртки у вісім -1 0 класах: Кн. для вчителя.- М.: Просвітництво, 1987.