Математичні приклади

Фірсов Дмитро 441.

№ 368 В.

Відобразити верхню половину плоскосто сразрезами по відрізкам [pic] на верхню полуплоскость.

Решение:[pic].

Відображення [pic] відображає верхню полуплоскость з розрізами на верхню полуплоскость без розрізів (під операцією взяття у квадратні дужки треба пономать взяття цілої частиною, і числа). Доведемо это:

Розглянемо відображення [pic] з смуги [pic] напівплощини сразрезами в полуплоскость без розрізів. [pic](*) цілком очевидно.

що в разі [pic]. Тобто, ми маємо верхню полуплоскость без дійсною осі. Розглянемо образ променя [pic]. Підставляючи в формулу (*) значення z на промені ми матимемо образ промінь, що лежить на дійсною осі [pic]. У результаті отримали, що чином полосы.

[pic](1) є [pic]. Коли смугу [pic] площині без розтину подіяти відображенням sin (Z) то образі одержимо таке множество.

[pic](2). Застосувавши відображення [pic] до полосе (1) з розрізом образ одержимо безліч (2). Тому функція [pic] відображає смугу [pic] з розрізом в смугу [pic] без розтину. Продовжимо цю функцію протягом усього полуплоскость з розрізами. Розглянемо функцію [pic] задану в полосе.

[pic] з розрізом. Функція [pic] відображає цю смугу на смугу [pic] без розтину. І тоді відображення [pic] відображає смугу [pic] без розтину. Перевіримо чи є функція [pic] аналітичним продовженням функції [pic]. І тому застосуємо теорему:

Теорема.

Нехай функція [pic] аналитична у сфері [pic] й третя функція [pic] аналитична у сфері [pic]. І області [pic] і [pic] мають загальний фрагмент граници [pic]. Якщо функціями на [pic] збігаються то функция.

[pic] є аналітичним продовженням функції [pic] в область.

[pic].

Природно функції [pic] і [pic] збігаються на промені [pic]. Тому функція [pic] є аналітичному продовженням функції [pic] на смугу [pic]. Цілком аналогічно ми можемо продолжмть функцію протягом усього верхню полуплоскость з вирізами. І з одержимо функцію: [pic] отображающую верхню полуплоскость з вирізами на верхню полуплоскость без вырезов.