Об підставах теорії множин

Об підставах теорії множеств

П. Дж. Коэн Высказываться про філософських проблемах теорії множин, — зрозуміло, ні те, що висловлюватися про теорії множин. Я, по крайнього заходу, у тому становищі почуваюся незвично і ніяково. Я гостро відчуваю даремність спроб сформулювати позицію, загальноприйнятну чи навіть багатьом, і одночасно усвідомлюю непослідовність і труднощі моєї власної точки зору. Звісно ж, ті, хто досі робили цей ризикований перехід від математики до філософії, зазвичай йшов це пізнішому етапі своєї наукової кар'єри. Нарешті, до довершенню труднощів, майже немислимо додати щось нове до цього старому спору. У насправді, схильний думати, що у такі фундаментальні питання будь-які технічні досягнення майже проливають світла — хоча, звісно, вони можуть вплинути розповсюдження тій чи іншій погляду.

Но ось, попри всі ці застереження, відчуваю деяке наснагу від можливості висловити свої міркування, сподіваюся, дуже догматично, і зазначити на обставини, куди, мабуть, слід зазначити. Фундаментальні відкриття з логіки було зроблено так недавно, що ми ще стані розділяти глибоке хвилювання з посади цих пошуків наосліп. Сплеск дослідницької активності у теорії множин, про яку свідчить нинішня зустріч, можливо, посилює наш ентузіазм. Тон сьогоднішніх філософських дискусій, проте, начебто змінився. Можливо, математики повністю виклалися в шалених суперечках минулого, чи його аудиторія втомилася від полеміки, — хіба що не пішли, зараз прийнято формулювати свою думку, але з намагатися відразу звертати слухача в власну віру. У цьому вся дусі збираюся виступити й я, щиросердно запевнивши слухачів у своїй толерантності до чужим поглядам.

Хотя я — не уявляю собі, можна було б назвати «істинним» прогресом в підставах математики, дуже цікаво простежити з погляду історика, як висловлювалися по цій проблемі різні покоління, і спробувати вгадати, як офарблював їхні думки дух часу. Сам віддаю перевагу розглядати математичну діяльність як суто людське підприємство, а не як безособове наступ науки, вільною від усіх людських слабкостей. Так, позиція щодо питанням підстав, яку займає той чи інший математик, значною мірою визначається її вихованням і оточенням. Мені здається, що виникло бажання прийняти принципи, які ведуть цікавою й красивою математиці, у минулому безумовно подолало різноманітна й серйозну критику. У цьому вся доповіді хотів би вказати на аналогічні тенденції, які сьогодні.

Прежде у центрі суперечок перебували багато запитань, про які я без особливих те що причин висловлюватися не стану, наприклад, закон исключённого третього. Хоча і пов’язаний з вадами теорії множин, скажімо, через використання непредикативных визначень, сам собою не належить до теорії множин й тут обговорюватися нічого очікувати. Не займатиметься також всіма іншими проблемами законності застосування обчислення предикатів, питаннями про природу формалізації математики суто філософськими питаннями, мало пов’язаними зі специфікою математичного знання. Мені найважливішої проблемою представляється існування нескінченних сукупностей. Ставлення до нескінченним безлічам традиційно було критерієм розмежування математиків. Знамениті логічні антиномії будь-коли грали помітну роль у математиці уже тому, що вони мали нічого спільного з зазвичай використовуваними міркуваннями. Ніколи розглядали все мислимі об'єкти універсуму, довжини описів тощо. Всі ці труднощі належать, власне, розвитку поняття формальної системи. Так само, парадокси Зенона зовсім не від виробляють на нас враження демонстрації серйозних труднощів, заради чого і було придумані. Загалом, схильний вважати, що з цих проблем історично пов’язані з перехідним періодом від класичної філософії нинішній математиці.

Нет сумніви, що у деяких випадках нескінченними множинами можна скористатися без особливих побоювань. Вочевидь, усе одно, сказати чи, що деякі властивістю мають все цілі числа або всі елементи безлічі цілих чисел. Так само, сказати, що n належить безлічі парних чисел, усе одно, що сказати «n чётное». Інакше кажучи, усунути використання деяких множин назвою відповідних властивостей. Якби це вдавалося зробити завжди, ми залишилося б мало підстав занепокоєння. Теоретично чисел, бажаючи уникнути апеляції до поняття довільного безлічі цілих чисел, ми повинні формулювати принцип індукції окремо кожному за властивості, котре можна висловити. Проте надзвичайна складність теорії множин, особливо її непредикативный характер, заважають просто уявляти собі безлічі як стенограму властивостей. Усе-таки найпотужніші і характерні аксіоми теорії множин — аксіоми ступені та підстановки — описують безлічі властивостями, а гёделевская теорія конструктивних множин показує, що деяку модель теорії множин можна отримати роботу, розглядаючи взагалі лише безлічі, у сенсі відповідальні властивостями. Те, що аксіома підстановки є насправді нескінченна схема аксіом, в певних аспектах є недоліком. Справді, складається враження, що ми дозволяємо провадити лише деякі властивості, замість вказати фундаментальне опис способів побудови множин. Звісно, усе це пов’язано з теоремою Гёделя про неповноті, за якою ніяка звісно аксиоматизируемая система має не то, можливо повної. Ця теорема є найбільшим на заваді будь-який спроби повністю зрозуміти природу нескінченних множин. Одночасно, показуючи, що «вищі нескінченності позначаються на теорії чисел, бо дозволяють нам доводити недовідні без них затвердження, теорема Гёделя надзвичайно утрудняє відстоювання тієї погляду, що навіть вищі нескінченності можна просто відкинути. Наша звичка до теоремі про неповноті має заважати нам постійно бачити цю фундаментальну недостатність всіх формальних систем, має значно більше далекосяглі наслідки, ніж незалежність приватних тверджень на кшталт гіпотези континууму. Саме ця лежать у основі мого песимістичного думки у тому, що будь-який технічне досягнення і у майбутньому не проллє світла на основні філософські проблеми.

Рядовому математику, бажаючому лише упевнитися у цьому, що її - річ стоїть не так на піску, найпривабливішим способом уникнути труднощів може бути програма Гільберта. З цього погляду математика є формальна гра, у якій слід піклуватися лише про несуперечливості. З часом, коли операційний підхід поширився інші області, скажімо, фізику, привабливість цю позицію, можливо, збільшилася. Можна працювати з безпосередньо даними об'єктами, а математиці до таких ставляться скоріш формальні мови, ніж нескінченні безлічі. Справді, гильбертовская програма формалізації як і залишається єдиною цілком точної (ми говоримо правильної) думками у питаннях. Ось переконливий приклад того, як саме собою перебіг часу мало вплинув поява нові й оригінальних концепцій в підставах. Але, зрозуміло, формалізму притаманні свої труднощі, і перш ніж повернутися щодо нього, ми розглянемо його головну альтернативу, думку, яку може бути платонізмом, чому ми предпочтём називати реалізмом.

Сторонник реалістичної філософії повністю приймає цінності традиційної математики. Усі внутрішні питання типу гіпотези континууму допускають позитивний чи негативний відповідь у світі безвідносно до незалежності він тій чи іншій системи аксіом. Мабуть, більшість математиків воліли б цю точку зору. У ньому починають сумніватися лише після усвідомлення певних труднощів теорії множин. Якщо такі труднощі особливо бентежать математика, поспішає під прикриття формалізму, воліючи, проте, до спокійного час знаходитися десь між двох світів, насолоджуючись найкращим, що є у обох. Головна перевага реалізму у тому, що він рятує від необхідності обгрунтовувати аксіоми теорії множин. Немає сенсу встановлювати їх несуперечність І що здається мені настільки ж важливою, не доводиться пояснювати, чому саме ця аксіоми виявилися так успішно й достойними спеціального уваги. Відповідно сама велика слабкість формалізму полягає у неможливості пояснити, чому аксіоми теорії множин, може бути які відбивають ніякої реальності, здатні доводити арифметичні затвердження, не доказові з допомогою більш финитистских коштів. Слабкість, яку, гадаю, змушений буде визнати будь-який реаліст, полягає у нездатності пояснити нескінченну послідовність нових аксіом, на кшталт вищих аксіом нескінченності. Безсумнівно, найзатятіший реаліст содрогнётся, розглядаючи кардинали досить недосяжного типу. А ще аксіоми, як аксіома про измеримом кардиналі, які дужче від усіх запропонованих аксіом нескінченності та яких, очевидно, немає жодних інтуїтивно переконливих посвідчень у користь прийняття чи відкидання. Недавні результати про незалежність також кидають виклик реалістичної позиції. Хоча деякі відчувають, що якась інтуїтивно прийнятна аксіома зможе зрештою дозволити проблему континууму і подібні до неї питання, немає анінайменшої сподівання такий результат для аксіоми про измеримом кардиналі, яку ревні теоретико-множественники, мабуть, змушені будуть визнати як аксіоми, нічого не зведеної. Але навіть цьому плані позиція реалістів завидніше, ніж формалістів, бо останніх існують навіть нерозв’язні теоретико-числовые пропозиції, скажімо, Consis (ZF). Оптимістична думка реаліста може полягати у цьому, що твердження Consis (ZF + вимірний кардинал) як-небудь сведётся до питання несуперечливості досить сильних пропозицій тієї самої типу, що аксіоми нескінченності. Найбільш оптимістичну крапку зору залежить від надії, що будь-яке запитання теорії чисел вирішується питання з допомогою підходящої аксіоми нескінченності.

Исторически математика начебто не схильна терпіти нерозв’язні пропозиції. Таке пропозицію то, можливо споруджено на ранг аксіоми та стати широко прийнятим після багаторазового вживання. Така загалом доля аксіоми вибору. Я схильний оцінити цієї тенденції просто форму опортунізму. Зрозуміло, це безособовий і дуже конструктивний опортунізм. Проте, віра у цінність і важливість математики має повністю витерти із нашого свідомості чесну оцінку тривожних проблем. Що стосується гіпотезою континууму (КГ) ця тенденція може, хоч і малим ймовірністю, привести теорію множин до розщеплення сталася на кілька гілок залежно від прийнятої потужності континууму. Кілька цинічно можна сказати, що опортунізм вирішує філософські проблеми те щоб розвиток математики давало заробіток можливо більшій кількості математиків. До останнього час багато займалися питаннями незалежності теорії множин. Дивний ефект у тому, що більша частина легкість оперування б цими питаннями призвела до бóльшей вірі в «реальність» математичних об'єктів теорії множин. Було б воістину сумно, якби та хвиля успіху закінчилася повним зневагою до філософським проблемам гіпотези континууму і питань як непослідовним. Зрозуміло, хороша математика гарна, тоді як філософські дискусії з більшу частину безплідні і вже, звісно, не гарні.

С реалістичної позицією не важко гадати про долю КГ. Здається, лише аксіоми типу аксіоми конструктивності, обмежують природу аналізованих множин, можуть дозволити її. З іншого боку, мало надії, що ця аксіома буде прийнято ролі інтуїтивно очевидною. Правдоподібніше, що на посаді аксіоми приймуть її заперечення. Виправдання цього й належати до тому, що континуум, даний як безліч всіх підмножин, може бути досягнуть будь-що, строящими кардинали, з менших, з урахуванням аксіоми підстановки. Отже, континуум можна вважати великим, ніж À1; Àn, À? тощо. Зрозуміло, усе це — чиста спекуляція. Технічні наслідки прийняття різних аксіом, пов’язаних з КГ, вже у певною мірою привернули увагу. Хоча цей робота може представляти велику естетичну вартість, найвищою мірою неправдоподібно, що вона може призвести до проясненню фундаментальних філософських проблем.

К цьому моменту має бути ясно, що вибираю формалізм. Чи може бути цей вибір мужнім, — мабуть, більшість відомих математиків, котрі висловлюються на цей рахунок, у тому чи іншого формі відхиляли позиції реалізму. Сформулювати свою думку цілком явно мене спонукала мова Абрахама Робінсона у Єрусалимі в 1964 р. Вона змушує прийняти він тяжёлую ношу. Майже тяжчай решти необхідність допустити, що КГ, — можливо, перший приходячи в голову важливе запитання про нескінченних безлічах — немає внутрішнього сенсу. Життя було б набагато приємніше, якби гильбертовская програма вражена відкриттями Гёделя. Я твердо вірю, що ваша програма Гільберта в жодному сенсі не може бути відновлена. Докази несуперечливості завжди викликають гостру неудовлетворённость та вочевидь зберігають риси зачарованого кола.

Как вже говорилося, найбільша слабкість формалізму полягає у необхідності пояснити успішність суто формальних аксіом, складових теорію множин. Моя точка зору, неодноразово выражавшаяся й раніше, у тому, що це аксіоми екстраполюють мову більш финитистской математики. Тенденції до такого розширенню дуже сильні. Для пояснення дозвольте мені спочатку нагадати ситуацію, у якому рано чи пізно потрапляє кожен логік. Розмовляючи з кваліфікованим математиком, який знає логіки, виявляєш труднощі спілкування, як тільки мова про формальних системах і аналізі структури формул. Математик набагато охочіше говоритиме про моделях який-небудь системи аксіом, ніж про безліч всіх формул, доказових з них. Зрозуміло, відповідно до теоремі про повноті обидві погляду еквівалентні. Проте є природна тенденція замінити обговорення методів і від пропозицій обговоренням підхожих абстракцій, аналізованих як «об'єкти» теорії. Наприклад, розвиток речовинного аналізу, у ХІХ столітті відзначалося зміною ставлень до поняття функції. Спочатку функція розглядали як явне правило, сопоставляющее числа числам. У кінцевому счёте функція стала представлятися цілісним об'єктом безвідносно до явному завданням способу її обраховувати. Безперервна ніде не дифференцируемая функція Вейерштрасса придбала самі права існувати, як і sinx. Коли Кантор вперше обговорював теорію множин, можливо, значної частини опору було викликана просто думкою, що можна лише про те безлічах, які були явно визначено. Усім нам відомо, що вищу точку зору Кантора восторжествувала повністю. У кінцевому счёте головною причиною було, можливо, зручність. Набагато простіше говорити про абстрактних безлічах, чому повсякчас піклуватися про їхнє побудові. Свіжіший приклад тієї ж самі тенденції — теорія категорій. Тут кажуть, скажімо, категорію груп. Можна запитати, у чому перевагу висловлювання «G є об'єкт категорії груп» перед вираженням «G — група». Простий відповідь у тому, що перенесення методів з однієї категорії до іншої і навіть доказ загальних теорем про категоріях можна визначити дуже корисні ідеї. І усе ж таки, якщо не помиляюся по браку даних про сучасних течіях, теоретико-множинні труднощі роботи з категоріями не надихнули багатьох фахівців із теорії множин і надали серйозного впливу логіку загалом. Отже, повністю прийнявши дуже непредикативную теорію множин, внутрішню переконливість якої ми розуміємо, як логіки менш схильні приймати теорію категорій, коріння якої залишилося лежать у алгебраїчній топології і алгебраїчній геометрії. Хоча, можливо, існуючих аксіом нескінченності було досить для формалізації теорії категорій, наполегливий фахівець із ним міг би заперечити, які самі категорії можна вважати примітивними об'єктами. У певному сенсі вони подібні класам теоретично множин Гёделя—Бернайса. І це разі класи, призначені лише для заміни безкінечною схеми аксіом Цермело—Френкеля, стали широко прийнято як самостійні об'єкти. Інший приклад того, як звичка притуплює критичні здібності, доставляє аксіома про недосяжний кардиналі. Її прийняття зазвичай виправдовують суто негативними аргументами; мовляв, нерозумно вважати, що будь-який безліч досяжно. Тут вбачається аналогія переходити від кінцевих множин до нескінченним. Здійснивши по індукції трансфинитную послідовність тих чи інших операцій замикання, ми нібито усе ще здатні вирушити далі і знайти за цими межами неперевершений кардинал. Мені здається, проте, що це непереконливий міркування, оскільки він скоріш призначено виправдати існування стандартної моделі теорії множин, а ця гіпотеза незрівнянно слабше. Чесніше було б визнати, що недосяжні кардинали можна взяти, бо, як засвідчило досвід, це веде до протиріччям, і ми розвинули деяку інтуїцію, що дозволить сподіватися, що протиріччя не з’явиться ніколи.

Став на позиції формалізму, почуваюся зобов’язаним пояснити, чому я — не закликаю скасувати всю инфинитистскую математику. Я висловити таку думку: ми займаємося теорією множин через ту причину, що відчуваємо наявність неформального докази її несуперечливості. На що ж грунтується це почуття: у кожному даному випадку говоримо лише про специфічних безлічах, певних властивостями і, простежуючи розбіжність у зворотному напрямку, ми можемо наприкінці кінців звести його до теоретико-числовому. Використання непредикативных визначень ускладнює завдання інтуїції, оскільки необмежена непредикативность виразно веде до добре відомим парадоксів. Усе-таки звичайна аксіома підстановки дає нам можливість розпочати з певного безлічі вищезгадану редукцію, бо в знову визначеному безлічі кожен елемент може бути занумерован підхожим елементом безлічі, побудованого раніше. Вже висловивши думку, що технічне розвиток не призводить до проясненню основ, я має наміру намагатися дати суворе доказ несуперечливості, заснований на якомусь потужному вищому принципі, еквівалентному теорії Цермело—Френкеля. Я обмежуся лише начерком загальної схеми, усередині якої розвиваються ці інтуїтивні міркування.

Вот одне із способів розмірковувати про доказах несуперечливості. Почнемо з кінцевого числа аксіом, скажімо, S1. До кожного безлічі, існування якого постулюється, виберемо по символу і підставимо їх у відповідне твердження. Вийде нову систему тверджень S2. Для переходу до Sk, ми вибираємо нові символи всім множин, існування яких стверджувалося раніше; ще, кожному за затвердження виду «x A (x) і кожного вже введённого символу з ми додаємо A©. Припустимо, що у деякому кроці з’явиться протиріччя між судженнями без кванторів. Для зручності ми можемо що на деяких стадіях розщепити висновок на дві галузі, додаючи в, а такою A, а інший ~A. Припустимо, що протиріччю призводить і те й інше. Стан справ ще можна спростити, не додаючи всіх суджень, а лише необхідні. Наша мета — накидати спосіб зменшення складності протиріччя. Почнемо з символів Æ і ?. Припустимо, що у деякому кроці ми маємо справу з безліччю x1, що визначається приватним випадком аксіоми підстановки, які відповідають деякому властивості. Якщо інше безліч x2 в кінця кінців з’являється у формулі x2 Î x1, ми можемо спробувати виключити x1, замінивши його відповідним властивістю x2, і розщепити висновок на дві галузі, припустивши, що x2 їм має чи ні. Якщо саме безліч x1 з’являється пізніше, ми спробуємо замінити його кінцевим безліччю тих його елементів, які з’являються у ході виведення. Зрозуміло, щоб уточнити усе це, необхідний аналіз непредикативных визначень й упорядкування ступенів непредикативности. Знаючи, що теорема про неповноті робить це завдання сутнісно безнадійної, ми станемо її проводити. Ключовою пункт у тому, що кожен елемент нового безлічі може бути пов’язані з деяким елементом безлічі, побудованого раніше, отже редукцію можна продовжувати. У парадоксі Рассела цьому заважає коло. Загальновідомо, що Гентцен провів таке доказ для теорії чисел в межах ординала ?0. Що стосується Цермело—Френкеля неясно, можна чи визначити аналогічний ординал. Якщо відповідь позитивний, було б цікаво вивчити її зв’язку з іншими, відомими інваріантами, наприклад, счётным ординалом мінімальної моделі. Такий собі найменший ординал ?, що M?, безліч Гёделя на ?-м кроці, є моделлю для аксіом Цермело—Френкеля. Ординал з теорії виведення може бути менше, оскільки він «будує» найменшу нестандартну модель аксіом.

Даже у самому оптимальному разі схема, що її накидав, дозволила б впоратися лише з проблемами, пов’язані з аксіомою підстановки. Наша інтуїція про недосяжних чи вимірюваних кардиналах ще недостатньо розвинута чи з крайнього заходу не піддається передачу спілкуванні. Мені здається, тим щонайменше, що корисно розвивати наше таємниче почуття, що дозволяє будувати висновки про прийнятності тих чи інших аксіом. Тут, зрозуміло, ми повинні цілком відмовитися від науково обгрунтованих програм, тож повернутися до майже інстинктивним рівню, схоже на те, у якому людина вперше починав думати скоріш про математиці. Я особисто, наприклад, неспроможна відмовитися з посади цих проблем теорії множин уже тому, що вони позначаються на теорії чисел. Я усвідомлюю, що мій позиція у прагматичному плані мало ніж відрізняється від позиції реалізму. Усе-таки почуваюся зобов’язаним опиратися великому естетичному спокусі прямо прийняти безлічі як існуючу реальність.

Читатель безумовно відчує гіркоту песимізму в моїх нотатках. Математика подібна прометееву праці, який сповнений життя, сили та привабливості, але містить у собі зерно руйнівної сумніви. На щастя, ми рідко зупиняємося, щоб огледіти стан справ і поміркувати про ці найглибших питаннях. Усю іншу життя математиці ми бачимо блискучу процесію і, можливо, самі бере участь у ній. Великі завдання теорії множин, здавалися нескоримими, падають. Вивчаються нові аксіоми, все більші поступки й великі кардинали стають доступнішими інтуїції. Маяк теорії чисел сяє над цієї брижами. Коли сумніви починають долати нас (що, сподіваюся, відбувається нечасто), ми відступаємо під безпечні склепіння теорії чисел, звідки, набравшись духу, знову кидаємося в невірні води теорії множин. Така наша доля — жити, сумніваючись; переслідувати мета, в абсолютність якої ми впевнені; коротше, розуміти, що наш єдина «справжня» наука має все таку ж смертну, можливо, досвідчену природу, що й інші людські предприятия.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.