Диференціальні рівняння вищих порядків (реферат)

Від диференційного рівняння (5) можна перейти до системи.

$$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=f(x,y)$$ (6).

Можна показати, що система (5), як і більш загальна $$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=(x,y)$$, $$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=(x,y)$$ ,(7) де $$(x,y)$$, $$(x,y)$$ — неперервні функції разом з своїми частинними похідними в деякій області D, мають ту властивість, що, якщо x (t), y (t) — розв’язки системи, то і x=x (t+c), y=y (x+c), де с — довільна константа, теж є розв’язком.

Система (7) називається автономною або стаціонарною.

Якщо система (7) задана на всій площині, то фазові траекторії покриють всю площину і не будуть перетинатися одна з одною. Якщо в деякій точці (x0,y0) $$(x_0,y_0)=(x_0,y_0)=0$$, то така точка нази вається особливою. В пожальшому будемо розглядати тільки ізольовані точки, тобто такі, в деякому малому околі яких немає інших особливих точок.

В реальних дінамічних системах енергія розсіюється. Роз сіювання (дисинація) енергії проходять в зв’язку з наявністю тертя. В деяких системах проходить повільне розсіювання енергії і їм можна знехтувати. Для таких систем має місце закон збереження енергії: сума кінетичної і потенціальної енргії постійна. Такі системи називають консервативними.

Розглянемо консервативну систему:

$$m\frac{d^{2}x}{{\text{dt}}^2}+f(x)=0$$ (8).

Від (4.8) перейдемо до наступної системи :

$$\frac{\text{dy}}{\text{dt}}=-\frac{f(x)}{m}$$ (9).

Виключаємо в (9) t:

$$\frac{\text{dy}}{\text{dt}}=-\frac{f(x)}{m}$$, mydy=-f (x)dx (10).

Припустимо, що при t=t0: x (t0)=x0, y (t0)=y0 і проінтегруємо (4.10) від t0 до t :

$$\frac{1}{2}{\text{my}}^2-\frac{1}{2}{\text{my}}_0^2=-\underset{x_0}{\overset{x}{}}f()d$$.

Звідки $$\frac{1}{2}{\text{my}}^2+\underset{0}{\overset{x}{}}f()\mathit{d}=\frac{1}{2}{\text{my}}_0^2+\underset{0}{\overset{x_0}{}}f()\mathit{d}$$ (12).

Так як $$\frac{1}{2}{\text{my}}^2+\frac{1}{2}m(\frac{\text{dx}}{\text{dt}}{)}^2$$ є кінетична енергія, а V (x)= $$\underset{0}{\overset{x}{}}f()\mathit{d}$$ -потенціальна, E= $$\frac{1}{2}{\text{my}}_0^2$$ +V (x0) — нова енергія, то (12) виражає закон збереження енергії.

$$\frac{1}{2}{\text{my}}^2$$ +V (x)=E (13).

Співвідношення (13) задають інтегральні криві на площині. Вони будуть різні і залежать від E.

Ми дали механічну інтерпретацію диференційних рівняннянь другого порядку. Зупиняємося на геометричной.

Розглянемо f (x, y, y`, y``)=0 і перепишемо його у вигляді (14).

F (x, y, y`,(1+ $$\begin{array}{c}2\\ y^{}\\ \end{array}$$)3/2 $$\begin{array}{c}2\\ (1+y^{}\\ \frac{y^{\text{'}\text{'}}}{{}^{3/2}}\end{array}$$)= F (x, y, y`, $$\begin{array}{c}2\\ (1+y^{}\\ \frac{y^{\text{'}\text{'}}}{{}^{3/2}}\end{array}$$)=0 (15).

Поскільки (1+ $$\begin{array}{c}2\\ y^{}\\ \end{array}$$)3/2 — кривизна кривої, то диференційне рівняння другого порядку являє собою зв’язок між координатами, кутом нахилу дотичної та кривізною в кожній точці інтегральної крівої.

2 Задача Коші, єдиність розв’язку задачі Коші.

Розглянемо диференційне рівняння (2) і поставимо задачу Коші: серед всіх розв’язків диференційного рівняння (2) знайти такий y=y (x), який задовольняє умовам.

y (x0)=y0, y`(x0)=y0,…, y (n-1)(x0)=y0n-1, де x0, y0,y­01, y­02,…, y0n-1 -задані числа, (15).

x0 — початкове значення незалежної змінної,.

y0,y01, …y0n-1 -початкові данні.

Для диференційного рівняння другого порядку.

$$y^{\text{'}\text{'}}(x)=f(x,y,y^{\text{'}})$$ (17).

задача Коші заключається в тому, щоб знайти такий розв’язок диференційного рівняння (17), який би задовольняв умовам:

$$y(x_0)=y_0$$, $$y^{\text{'}}(x_0)=y_0^{\text{'}}$$. (18).

Геометрично задача полягає в тому, щоб знайти таку криву y=y (x), яка задовольняє диференційне рівняння (18), проходить через точку M (x0,y0) і має заданий напрямок дотичної $$\text{tg}=y_0^{\text{'}}$$ .(мал 2).

Механічний зміст задачі Коші.

$$x^{\text{'}\text{'}}=f(x,t,x^{\text{'}})$$, $$x_0(t)=x_0$$, $$x^{\text{'}}(t_0)=V_0$$ (19).

Зайти ту траекторію механічної системи, яка представляється диференційним рівнянням (19), і має в t0 фіксоване положення x0 і швидкість V0.

Розглянемо питання єдиності та існування розв’язку задачі Коші(2)(16). Єдиність для диференційного рівняння (2) не означає, що через т. М (x0,y0)проходить тільки одна інтегральна крива. Наприклад, для диференційного рівняння (17) єдиність розуміється в тому сенсі, що через т. М (x0,y0) проходить єдина інтегральна крива (мал 2) з заданим нахилом дотичної, а через точку М (x0,y0) можуть проходити і інші інтегральні криві, які мають інші нахили дотичної.

Теорема про достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші (теорема Пікара) Необхідні умови існування розв’язку задачі Коші (2),(16) — права частина (2) неперервна в околі початкових даних по всім аргументам.

Теорема. Розглянемо задачу Коші (2)(16) Припустимо, що функція f (x, y, y`,…, y (n-1)) визначає в деякій замкненій обмеженій області.

R: $$|x-x_0|<=a$$, $$|y-y_0|<=b$$, $$|y^{\text{'}}-y_0^{\text{'}}|<=b$$, $$|y^{\text{'}\text{'}}-y_0^{\text{'}\text{'}}|<=b$$ ,…, $$|y^{(n-1)}-y_0^{n-1}|<=b$$ (20).

(a, bдодатні дійсні числа) і задовільняє в цій області умовам:

1. 1)Функція f (x, y, y`,…, y (n-1)) є неперервною посвоїм аргументам, а отже обмеженою:

$$|f(\text{x, y, y`,}\dots {\text{, y}}^{(\text{n-1})})|<=\text{M,}(\text{x, y, y`,}\dots {\text{, y}}^{(\text{n-1})})R$$.

(тут M>0 -константа);

2) Функція f (x, y, y`,…, y (n-1)) має обмежені часткові похідні по змінним Функція y, y`,…, y (n-1), тобто $$|\frac{f(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)})}{y^{(l)}}|K$$, l=0,1,2,…,(n-1) — (y, y`,…, y (n-1)) $$R$$, (22).

де K — константа.

При цих припущеннях диференційне рівняння (2) має єдиний розв’язок, який задовольняє умовам (16) і є неперервним разом з усіма своїми похідними до n-го порядку включно на інтервалі $$|x-x_0|<h=\text{min}\left\{a,\frac{b}{\text{max}\left(M,|y^{\text{'}}|,|y^{\text{'}\text{'}}|,\text{.}\text{.}\text{.},|y^{(n-1)}|\right)}\right\}$$ (23).

З теореми випливає, що для поліноміальної правої частини диференційного рівняння (2) розв’язок задачі Коші з довільним початковими умовами існує і є єдиним.

3 Загальний розв’язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв’язки. Проміжні та перші інтеграли.

Загальним розв’язком диференційного рівняння назвемо сімейство розв’зків, яке залежить від n довільних констант c1,…, cn.

y=y (x, c1,…, cn) (24).

Геометрично воно представляє сімейство інтегральних крівих на площині (x, y), залежне від n параметрів c1,…, cn, причому рівняння цього сімейсва розв’язано відносно y.

Розглянемо область D в просторі (x, y, y`,…, y (n-1)), в кожній точці якої виконуються умови теореми про існування і єдиність задачі Коші.

Озн 2 Функцію (24), визначену в деякій області змінних x, c1,…, cn і яка має частинні похідні по x до n-го порядку включно, будемо називати загальним розв’язком диференційного рівняння (2) в області D, якщо система рівнянь.

$$\{\begin{array}{c}y=y(x,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_n)\\ y^{\text{'}}=y^{\text{'}}(x,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_n)\\ \\ y^{(n-1)}=y^{(n-1)}(x,c_1,\text{.}\text{.}\text{.},c_n)\end{array}$$.

розв’язується відносно с1, с2,…, сn в області D

$$\{\begin{array}{c}{с}_1={}_1(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)})\\ \\ {с}_n={}_n(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)})\end{array}$$

(26).

іякщо функція (24) є розв’язною відносно диференційого рівняння (2) при всіхзначеннях c1,…, cn, які визначяються формулами (26), коли т.(x, y, y`,…, y (n-1)) $$D$$ .

Для розв’язування задачі Коші необхідно (4.16) подставити в (26) і визначити.

$$\{\begin{array}{c}{с}_1^{(0)}={}_1(x_0,y_0,y_0^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y_0^{n-1})\\ \\ {с}_n^{(0)}={}_n(x_0,y_0,y_0^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y_0^{n-1})\end{array}$$.

Розв’язок задачі Коші запишеться у вигляді $$y=y(x_0,c_1^{(0)},\text{.}\text{.}\text{.},c_n^{(0)})$$

. Якщо розв’язок можна представити у вигляді $$y=y(x,x_0,y_0,y_0^{\text{'}},\dots ,y_0^{(n-1)})$$, то така форма запису називається формою Коші.

В більшості випадків розв’язок диференційного рівняння (2) отримуємо у вигляді.

Ф (x, y, c1,…, cn)=0, (27).

який називаємо загальним інтегралом.

Озн 3 Будемо називати (27) загальним інтегралом (27) в обл D, якщо це співвідношення визначає загальний розв’язок y=y (x, y, c1,…, cn) диференційного рівняння (2) в області D.

Озн 4 Розв’язок, що визначається $$\{\begin{array}{c}x=(t,c_1,\dots c_n)\\ y=(t,c_1,\dots c_n)\end{array}$$ (28).

Називабть загальним розв’язком в параметричній формі.