Устойчивость систем диференційних рівнянь

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Решения більшості диференційних рівнянь та його систем не виражаються через елементарні функції, й у таких випадках під час вирішення конкретних рівнянь застосовуються наближені методи інтегрування. Разом тим це часто буває треба зазначити не конкретні чисельні рішення, а особливості рішень: поведінка окремих рішень за зміни параметрів систем, взаємне поведінка рішень що за різних початкових… Читати ще >

Устойчивость систем диференційних рівнянь (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Устойчивость систем диференційних уравнений

Курсовая робота з дисципліни «Спеціальні розділи математики «.

Выполнил студент Новачків А. А., група: 450.

Севмашвтуз — Філія СПбГМТУ Кафедра № 2.

Одним з основних питань цієї теорії є питання стійкості рішення, чи руху системи, коли його трактувати як фізичної системи. Тут найважливішим є з’ясування взаємного поведінки окремих рішень, незначно відмінних початковими умовами, тобто чи буде малі зміни початкових умов викликати малі ж зміни рішень. Це запитання докладно досліджений А. М. Ляпуновым.

Основу теорії Ляпунова становить з’ясування поведінки рішень при асимптотическом прагненні відстані між рішеннями нанівець. У цьому курсової роботі викладаються основи теорії Ляпунова стійкості безперервних гладких рішень систем диференційних рівнянь першого порядку, саме: у розділі 1 викладаються основні визначення, необхідних вивчення стійкості; у розділі 2 дається поняття стійкості рішень систем загалом і щодо першого наближенню; у розділі 3 викладаються основи другого методу Ляпунова.

1. Властивості систем диференційних уравнений..

1.1. Основні определения..

Пусть — безперервні в області G (n+1)-мерного простору скалярні функції.

Определение. Сукупність рівнянь.

(1).

называется нормальної системою n диференційних рівнянь першого порядку. Її можна записати в матричної формі, якщо покласти.

Определение. Рішенням системи (1) на інтервалі (a, b) називається сукупність n функцій , безупинно дифференцируемых у цьому інтервалі, якщо всіх :

;

Задача Коші для системи (1) ставиться так: знайти рішення системи, певне на околиці точки , яке задовольняє початкових умов …, , де — задана точка з області G. Рішення завдання Коші є і єдино, коли всі функції в правих частинах рівнянь системи (1) безупинно дифференцируемы за всі на околиці точки .

Каждому рішенню системи (1) порівнюється 2 геометричних об'єкта: інтегральна крива і траектория.

Определение. Якщо — рішення системи (1) на проміжку (a, b), то безліч точок (x, ), , (n+1)-мерного простору називається інтегральної кривою рішення, а безліч точок (), , n-мерного простору називається траєкторією рішення. Зауважимо, що з існування й одиничності виконання завдання Коші інтегральні криві що неспроможні перетинатися чи мати загальних точок, проте траєкторії можуть перетинатися без порушення одиничності, оскільки початкова точка визначається n+1 координатою. Зокрема траєкторія може збігатися до точки (становище равновесия).

Система (1) називається автономної, тоді як праві частини рівнянь не входить явно незалежна змінна. Система (1) називається лінійної, якщо вона не має вид:

или в матричної формі (1 ").

где , .

Фундаментальной матрицею лінійної однорідної системи називається матрична функція (t), визначник якої різниться від нуля і стовпчики якої є рішеннями системи: . З допомогою фундаментальної матриці (t) рішення системи можна записати як . Фундаментальна матриця, що має властивістю , називається унормованого при . Якщо — нормована при фундаментальна матриця, то приватне рішення системи записується як , де — початкова при значення решения.

1.2. Траєкторії автономних систем..

Будем розглядати автономну систему в векторної форме: (2).

где функція f (x) визначена у .

Автономные системи мають те властивістю, що й — рішення рівняння (2), то , , також рішення рівняння (2). Звідси частковості слід, що ухвалено рішення можна записати як . У геометричній інтерпретації ця запис означає, що якщо дві траєкторії рівняння (2) мають загальну точку, всі вони збігаються. У цьому можна побачити, що траєкторія цілком визначається початковій точкою , тому треба скрізь вважати .

Пусть — становище рівноваги, т. е. . Щоб точка була становищем рівноваги, необхідне й досить, щоб . Припустимо тепер, що траєкторія рішення перестав бути становищем рівноваги, однак має кратну точку, т. е. існують , такі, що . Оскільки — не становище рівноваги, то . Тому вважатимуться, що при . Означимо і покажемо, що — -періодична функция.

Действительно, функція розв’язує рівняння (2) при , причому . З огляду на одиничності і збігаються попри всі . Застосовуючи аналогічне міркування до вирішення , одержимо, що визначено при і функції і збігаються за цих t. Отже, можна продовжити попри всі , у своїй мало виконуватися тотожність.

то є — періодична функція з найменшою періодом.

Траектория цього рішення є замкненій кривій. З наведеного випливає наступний результат: Кожна траєкторія автономного рівняння (2) належить одного з наступних трьох типов:

положение равновесия;

замкнутая траєкторія, який відповідає періодичне рішення з позитивним найменшим периодом;

траектория без самопересечения, який відповідає неперіодичне решение.

1.3. Граничні безлічі траекторий..

Определение. Крапка називаєтьсяграничною точкою траєкторії , , якщо є послідовність така, що при . Безліч всіхграничних точок траєкторії називається їїграничним безліччю. Аналогічно для траєкторії при визначається поняттяграничною точки як краю , і навітьграничного множества.

Определение. Траєкторія називається позитивно (негативно) стійкою по Лагранжу (обозн. ()), якщо є компакт такий, що попри всі (), у яких визначено. Іншими словами, якщо траєкторія завше залишається у певній обмеженою області фазового пространства.

Можно показати, що граничне безліч стійкою по Лагранжу траєкторії не порожньо, компактно і связно.

Траектория називається стійкою по Пуассону, якщо кожна її точка єграничною іграничною, т. е. . Прикладом стійкою по Пуассону траєкторії є стан рівноваги. Якщо ж розглядається траєкторія, яка від нерухомій точки, то стійкою по Пуассону її у тому випадку, якщо має здатність повертатися в як завгодно малу околиця кожну лінію своєї точки безліч разів. Тому стійкими по Пуассону будуть цикли і квазипериодические траєкторії (суперпозиція двох періодичних коливань з несумірними частотами), і навіть складніші траєкторії, що у хаотичних системах.

Рассмотрим (без доказів) деякі властивості граничних множин у разі n = 2.

1. Граничні безлічі траєкторій автономних систем складаються з цілих траекторий.

2. Якщо траєкторія містить по крайнього заходу одну свою граничну точку, ця траєкторія замкнута чи є точку покоя.

3. Якщо траєкторія залишається в кінцевої замкнутої області, не що містить точок спокою системи, вона або є циклом, або спиралевидно наближається при до певного циклу.

4. нехай у деякою околиці замкнутої траєкторії немає інших замкнутих траєкторій. Тоді всі траєкторії, що розпочинаються досить від, спиралевидно наближаються до при або за .

Пример. Розглянемо автономну систему при :

Для дослідження системи зручно в фазової площині запровадити полярні координати. Тоді отримуємо такі рівняння визначення :

откуда отримуємо .

Первое з цих рівнянь легко інтегрується. Вона має рішення і . При рішення монотонно убувають від до 0, а при рішення монотонно зростають від нескінченно. Так як , то це означає, що з і все траєкторії системи утворюють спіралі, раскручивающиеся від окружності до нескінченно віддаленій точці або до початку координат при необмеженому зростанні полярного кута. Початок координат є становищем рівноваги і водночасграничним безліччю всім траєкторій, які мають . Якщо , тограничне безліч траєкторії порожньо. Окружність є замкнутої траєкторією і водночасграничним безліччю всім траєкторій, відмінних становища равновесия.

1.4. Траєкторії лінійних систем на плоскости..

Рассмотрим автономну лінійну однорідну систему (3) з постійними коефіцієнтами. Будемо думати n = 2 і . У цьому вся припущенні система має єдине становище рівноваги на початку координат. З допомогою лінійного неособого перетворення X = SY наведемо систему (3) до виду ,.

где J — жорданова форма матриці A. Залежно від виду власних чисел мають місце такі случаи:

1) речовинні, різні і . І тут . Параметричні рівняння траєкторій такі: . Координатні полуоси є траєкторіями, відповідними чи . При і .

Картина розташування траєкторій при , має спеціальну назву — вузол, зображено на рис. 1а.

2) речовинні і . Отримані у разі вузла формули зберігають силу. Відповідна геометрична картина, звана сідлом, зображено на рис. 1б.

3) комплексно-сопряженные. Нехай . У перетворення X = SY , де і — лінійно незалежні власні вектори, відповідні і . Оскільки, А речовинна, і можна вибрати комплексно-сопряженными. Тоді й . Поклавши , , а ролі фазової площині візьмемо . Змінна пов’язані з Х співвідношенням X = SY = = STZ = QZ, де , . Отже, Q — речовинна неособая матриця. Перетворення призводить до виду.

где матриця коефіцієнтів утворює речовинну жорданову форму матриці А.

Введем полярні координати , чи , . Маємо: . Відокремлюючи речові й удавані частини, получим:

Следовательно, . При траєкторії утворюють спіралі (рис. 1в). Такий стан траєкторій називається фокусом. При все траєкторії — окружності. І тут отримуємо центр. Що стосується центру всі системи (3) періодичні з періодом 2 / .

4) . Жорданова форма матриці А має трикутний вид, а система перетвориться до виду.

Решением цієї системи буде функція . Залежно від форми матриці J виходять два випадку: чи вырожденный вузол (рис. 1г), або зоряний (дикритический) вузол. Дикритический вузол може бути у випадку системи .

Рис. 1. Поведінка траєкторій залежно від значень власних чисел.

1.5. Лінійні однорідні системи з періодичними коэффициентами..

В даному пункті викладається так звана теорія Флоке.

Будем розглядати систему виду (4).

где , а матрична функція P (t) задовольняє умові P (t +) = P (t), >0 попри всі . Такі матричні функції називатимемо періодичними з періодом чиперіодичними.

Теорема Флоке. Фундаментальна матриця системи (4) має вигляд.

где G — -періодична матриця, R — стала матрица.

Матрица У, обумовлена рівністю , називається матрицею монодромии. Для неї справедливо . Вона визначається за допомогою фундаментальної матриці неоднозначно, але можна показати, що це матриці монодромии подібні. Часто матрицею монодромии називають ту, яка породжується унормованого при фундаментальної матрицею , тобто .

Собственные числа матриці монодромии називаються мультиплікаторами рівняння (4), а власні числа матриці R — характеристичними показниками. З визначення R маємо , у своїй простим мультиплікаторам відповідають прості характеристичні показники, а кратним — характеристичні показники з елементарними делителями тієї ж кратности.

Характеристические показники визначено з точністю до . З і формули Лиувилля слід, що .

Название мультиплікатор пояснюється наступній теоремой:

Теорема. Кількість є мультиплікатором рівняння (4) тоді й тільки тоді, коли є ненульове рішення цього рівняння таке, що з всіх t .

Следствие 1. Лінійна періодична система (4) має нетривиальное рішення періоду тоді й тільки тоді, коли з меншою мірою із її мультиплікаторів дорівнює единице.

Следствие 2. Мультипликатору відповідає так зване антипериодическое рішення періоду, т. е. . Звідси имеем:

Таким чином, є періодичне рішення з періодом . Аналогічно, якщо (p і q — цілі, ), то періодична система має періодичне рішення з періодом .

Пусть , де — матриця з теореми Флоке, — її жорданова форма. По теоремі Флоке , чи , (5).

где — фундаментальна матриця, — -періодична матриця. У структурі фундаментальної матриці лінійної системи з періодичними коефіцієнтами характеристичні показники грають таку ж роль, як і власні числа матриці коефіцієнтів у структурі фундаментальної матриці лінійної системи з постійними коэффициентами.

Пример. Розглянемо диференціальний рівняння другого порядка.

, (6).

где — -періодична речовинна скалярная функція. Мультиплікаторами рівняння (6) називатимемо мультиплікатори відповідної лінійної системи, т. е. системи.

с матрицею . Оскільки , то . Мультиплікатори є власними числами матриці.

где — рішення рівняння (6), що задовольнить початкових умов , а — рішення рівняння (6), що задовольнить початкових умов . Нехай — характеристичне рівняння визначення мультиплікаторів. Оскільки , воно набуває вигляду , де .

2. Стійкість рішень систем диференційних уравнений..

2.1. Стійкість по Ляпунову..

Вводя визначення стійкості по Лагранжу і Пуассону у пункті 1.3, описувалися властивості однієї окремо взятому траєкторії. Поняття стійкості по Ляпунову характеризує траєкторію з погляду поведінки сусідніх траєкторій, розміщених у її околиці. Припустимо, що систему при старті з початковій точки породжує траєкторію . Розглянемо іншу траєкторію тієї ж системи , стартова точка якої близька до . Якщо обидві траєкторії залишаються близькими у будь-якій наступний час, то траєкторія називається стійкою по Ляпунову.

Наглядная ілюстрація стійкості по Лагранжу, Пуассону і Ляпунову наводиться на рис. 2. Коли кажуть просто про стійкою траєкторії, то завжди мають на увазі стійкість по Ляпунову.

Рис. 2. Якісна ілюстрація стійкості по Лагранжу (траєкторія залишається в замкнутої області), по Пуассону (траєкторія багаторазово повертається уоколиця стартовою точки) і з Ляпунову (дві близькі на старті траєкторії залишаються близькими завжди).

Рассмотрим рівняння (1).

где й третя функція f задовольняє в G умові Липшица локально:

і , де — константа, котра від вибору точок і .

Предположим, що рівняння (1) має рішення , певне при , І що . Для переходу до дослідження нульового рішення, виконаємо в (1) заміну . Через війну одержимо уравнение.

, (2).

где визначена у області, що містить безліч . Це рівняння називається рівнянням в відхиленнях. Нехай — рішення (2) з початковими даними .

Определение. Рішення рівняння (2) називається стійким по Ляпунову, для , таке, що з .

Решение називається асимптотически стійким, коли вона стійко по Ляпунову і є таке, що при .

Неустойчивость рішення означає таке: існують позитивне , послідовність початкових точок при , і послідовність моментів часу такі, що .

При дослідженні питання про сталість рішень часто вдаються до замінам змінних, що дозволяє спростити вид аналізованого рівняння. Зробимо в (2) заміну , де функція визначено попри всі і безупинна по z при рівномірно щодо , причому . Нехай рівняння однозначно вирішується щодо z: , де визначено на безлічі і безупинна по y при рівномірно щодо . Нехай рівняння (2) заміною можна перетворити на рівняння .

Лемма. При зроблених припущеннях нульовий рішення рівняння (2) стійко по Ляпунову, асимптотически стійко чи хитливо тоді й тільки тоді, коли відповідно стійко по Ляпунову, асимптотически стійко чи хитливо нульовий рішення рівняння .

Пусть рівняння (2) автономно, яке нульовий рішення асимптотически стійко. Безліч називається областю тяжіння рішення .

2.2. Стійкість лінійних однорідних систем..

Пусть (3).

— речовинна система, — її довільне рішення. Заміна наводить (3) до виду , т. е. довільне рішення рівняння (3) перетворюється на тривіальне рішення тієї самої рівняння. Отже, всі рівняння (3) стійкі по Ляпунову, асимптотически стійкі чи нестійкі одночасно. Тому можна говорити про сталість рівняння (3), розуміючи під цим стійкість усіх її рішень, зокрема тривиального.

Лемма 1. Нехай і чи , де — неособая попри всі матриця, обмежена за нормою разом із зворотної . Тоді обмежена, не обмежена чи нескінченно мала за нормою при тоді й тільки тоді, коли має таким свойством.

Лемма випливає з оцінки .

Следствие. Нехай , — нормована при фундаментальна матриця рівняння (3). Будь-яка фундаментальна матриця рівняння (3) обмежена, не обмежена чи нескінченно мала за нормою разом із .

Теорема 1. 1) Щоб рівняння (3) набув сталості по Ляпунову, необхідне й досить, що його фундаментальні матриці були обмежені при . 2) Щоб рівняння (3) було асимптотически стійким, необхідне й досить, що його фундаментальні матриці були нескінченно малими при .

Доказательство. 1) Достатність. Нехай обмежена на . Рішення задається формулою . (*).

Так як , то . Отже, рівняння (3) стійко по Ляпунову, оскільки стійко його тривіальне рішення. Справді, якщо , то, при всіх . (**).

Необходимость. Нехай рівняння (3) стійко по Ляпунову. Тоді стійко його тривіальне рішення, і виконується (**). Нехай фіксоване. Поклавши . Якщо , то . З (*) і (**) маємо , т. е. обмежена. Аналогічно доводиться обмеженість , а водночас і і матриці .

2) Достатність. Нехай при . З огляду на (*) попри всі , як і дає асимптотическую устойчивость.

Необходимость. Нехай для будь-яких при . Поклавши . З огляду на (*) , отже, . Аналогічно доводиться, що , , що означає при . Теорему доказана.

Применим теорему 1 до дослідження стійкості рівняння (3) із постійною матрицею коефіцієнтів P. Рівняння (3) у тому разі має фундаментальну матрицю , , де — жорданова форма матриці P. По теоремі 1, лемме 1 і слідству до неї стійкість по Ляпунову, асимптотическая стійкість і нестійкість рівняння (3) еквівалентні відповідно обмеженості, безкінечною малості і необмеженість матриці при . Звідси отримуємо таку теорему:

Теорема 2. Лінійна однорідна система з їх постійним коефіцієнтами: 1) стійка по Ляпунову тоді й тільки тоді, коли у власних чисел матриці коефіцієнтів немає таких, речові частини, яких позитивні, а число мнимі й нульові власні числа або прості, або мають лише елементарні делители; 2) асимптотически стійка тоді й тільки тоді, коли все власні числа матриці коефіцієнтів мають негативні речові части.

Ниже розглядаються необхідні і достатні умови заперечності коренів характеристичного рівняння лінійної однорідної системи з постійними коефіцієнтами — критерій Гурвіца (Рауса-Гурвица), і навіть частотний критерій Михайлова, є геометричних ознакою, еквівалентним критерію Гурвица.

Определение. Поліном , де , , називається полиномом Гурвіца, коли всі коріння мають негативні речові частини.

Если поліном є полиномом Гурвіца, то ми все .

Составим -матрицю Гурвіца вида.

Теорема Гурвіца (критерій Гурвіца). Щоб поліном був полиномом Гурвіца, необхідне й досить, щоб було позитивні все головні діагональні мінори його матриці Гурвіца :

Если ступінь полинома порівняно велика, застосування критерію Гурвіца стає важким. І тут для визначення розташування коренів полинома на комплексної площині іноді виявляється зручнішим використання частотного критерію Михайлова.

Определение. Нехай , де , , . Крива , називається годографом Михайлова функції .

Критерий Михайлова безпосередньо випливає з леммы:

Лемма 2. Кут повороту в позитивному напрямі ненульового вектора при дорівнює , де — число коренів полинома з позитивною речовинної частиною з урахуванням їхньої кратностей.

Критерий Михайлова. Щоб поліном , яка має суто мнимих коренів, був полиномом Гурвіца, необхідне й досить, щоб кут повороту в позитивному напрямі вектора при було б дорівнює .

Замечание. Якщо поліном є поліном Гурвіца ступеня , то вектор монотонно повертається в позитивному напрямку кут , тобто годограф Михайлова, виходячи з точки позитивної полуоси , послідовно перетинає полуоси , проходячи квадрантов.

2.3. Стійкість періодичних решений..

Рассмотрим рівняння (3) з періодичними коефіцієнтами, т. е. , (4).

где . За формулою (5) попередньої глави рівняння (4) має у аналізованому разі фундаментальну матрицю , де — неособаяперіодична безперервна матриця, цим обмежена разом із зворотної, — жорданова матриця, власні числа якої — характеристичні показники рівняння (4). З леми 1 слід, що характеристичні показники грають в оцінці фундаментальної матриці таку ж роль, що власні числа , коли постійна. З огляду на, що , де — мультиплікатори рівняння, отримуємо наступний результат:

Теорема 3. Лінійна однорідна система з періодичними коефіцієнтами: 1) стійка по Ляпунову тоді й тільки тоді, коли її мультиплікатори становить по модулю одиниці, а рівні одиниці по модулю або прості, що їм відповідають прості елементарні делители матриці монодромии; 2) асимптотически стійка тоді й тільки тоді, коли модулі всіх мультиплікаторів менше единицы.

Пример. Розглянемо рівняння з прикладу п. 1.5:

Уравнение будемо називати стійким по Ляпунову, асимптотически стійким чи хистким, якщо він є відповідна йому лінійна система. Мультиплікатори перебувають з рівняння : , де . Тому можна дійти невтішного висновку, що з обидва мультиплікатора речовинні і з них по абсолютну величину більше одиниці, а при мультиплікатори є комплексно-сопряженными з модулями, рівними одиниці. По теоремі 3 при рівняння хитливо, а при воно стійко по Ляпунову, але з асимптотически.

2.4. Класифікація положень рівноваги системи другого порядка..

Исследуем на стійкість становища рівноваги лінійної однорідної системи двох рівнянь з постійними коефіцієнтами. Нехай , де . Як засвідчили у пункті 1.4, тип особливої точки такої системи визначається корінням характеристичного рівняння чи . Його коріння можна знайти по формуле.

Рассмотрим такі випадки згідно з пунктом 1.4.

1) речовинні, різні і (). Параметричні рівняння траєкторій: . Становище рівноваги називається вузол. Якщо коріння позитивні (), то рішення необмежено зростати, і особлива точка — хитливий узел.

Если негативні (), то рішення зі зростанням часу будуть необмежено зменшуватися, тобто становище рівноваги буде асимптотически стійким. Особлива точка — стійкий вузол.

2) речовинні і (). І тут одне з траєкторій завжди буде необмежено зростати, іншу необмежено зменшуватися. Отже, сідло завжди неустойчиво.

3) комплексно-сопряженные, але з суто удавані (). Рішення на полярних координатах запишеться як , де . Якщо (), то спіралі будуть розкручуватися від особливої крапки й фокус буде неустойчивым.

Если (), то особлива точка — стійкий фокус, причому стійкість асимптотическая.

4) (). Особлива точка — центр, траєкторії — окружності, тобто становище рівноваги є усталеним, але з асимптотически.

5) . Якщо , то отримуємо хитливий вузол, або вырожденный, або дикритический. Якщо , становище рівноваги буде асимптотически устойчивым.

6) Одне з коренів нульовий (наприклад ). Траєкторіями є прямі, паралельні одна одній. Якщо , то отримуємо пряму нестійких особливих точок. Якщо , то пряма міститиме стійкі особливі точки.

7) Обидва кореня рівні нулю. Тоді . Особлива точка неустойчива.

Пример. Розглянемо систему . Становище рівноваги перебуває з рівняння , чи , звідки . Отже, становище рівноваги — хитливий вузол. Жорданова форма матриці А має вигляд:

Найдем координати перетворення , який приводить матрицю, А до жордановой формі, тобто переводящего систему до виду . Дифференцируя ці рівняння і підставляючи в вихідну систему, получаем:

откуда з урахуванням , — довільне, , — довільне. Отримуємо перетворення . Визначимо нове становище осей:

Решение системи запишеться як , а вихідної системи звідси . Схематичне зображення траекторий:

Рассмотрим тепер деякі положення рівноваги в тривимірному просторі. Характеристичний рівняння — кубічне з речовими коефіцієнтами, воно може мати три речовинних чи один речовинний і двоє комплексно-сопряженных кореня. Залежно розміщення цих коренів на площині можливо 10 «грубих „випадків (рис. 3, 1)-5) і одну “)-5 »)) і кілька «вырожденных «(рис. 3, 6)-9)), коли речовинна частина однієї з коренів дорівнює нулю чи речовинної частини не сполученого з нею кореня. Випадки кратних коренів не розглядаються.

Поведение фазових траєкторій в наведених випадках показано на рис. 4. Випадки 1 ")-5 ") виходять з подібних випадків 1)-5) зміною направленості осі t, отже на рис. 4 треба лише замінити все стрілки на протилежні.

Устойчивость по Ляпунову в розглянутих випадках наступна. Усі випадки 1 ")-5 "), і навіть 2), 5), 8) і 9-те) нестійкі. Випадки 1), 3) і 4) стійкі асимптотически. Випадок 6) устойчив.

Рис. 3. Власні числа матриці А. Закрашенным гуртком відзначені ,.

светлым — початок координат.

Рис. 4. Фазові криві в тривимірному пространстве.

2.5. Автономні системи на площині. Граничні циклы..

Рассмотрим автономну двумерную систему.

, (5).

где — область.

Предположим, що система (5) має замкнуту траєкторію з найменшою періодом . Візьмемо довільну точку і проведемо неї нормаль до одиничної довжини. Для визначеності вважаємо, що спрямований на зовнішній область. Не порушуючи спільності, вважаємо також, що — початок координат (цього можна домогтися заміною ). Крапки на нормальний визначаються єдиною координатою . Як беремо відстань від точки нормальний на початок координат, якщо точка лежить зовні , і цей період, взяте зі зворотним знаком, якщо вона лежить всередині .

Рассмотрим траєкторії , які відбуваються через точки нормальний. Запишемо уравнение.

(6).

с невідомими t, p. s (— параметр).

Лемма 3. Існує таке, політика щодо рівняння (6) має єдине рішення , що задовольнить умовам , причому функції безупинно дифференцируемы при .

Доказательство. Оскільки — рішення з періодом, то теоремі про дифференцируемости рішення функція визначена і безупинно дифференцируема по t й у деякою околиці точки . Тоді функція визначене й безупинно дифференцируема у певній околиці точки . Оскільки -періодична, то . Розглянемо якобиан у точці . Маємо . Отже, у точці , оскільки і — ортогональные вектори. Тоді твердження леми випливає з теореми про неявній функции.

Следствие. Справедлива формула.

Выясним геометричний сенс функцій . Лема 3 стверджує, кожна траєкторія, яка перетинає нормаль у точці зоколиці початку координат, знову перетне її через проміжок часу у точці . І настільки як функція також робить повний оборот вздовж при , то траєкторія також робить повний оборот при , залишаючись у малій околиці , якщо досить мало.

Функция називається функцією последования.

Определение. Замкнена траєкторія автономного рівняння (5) називається стійким граничним циклом, якщо є таке , що єграничним безліччю для будь-який траєкторії, що проходить через точку зоколиці кривою .

Определение. Замкнена траєкторія автономного рівняння (5) називається хистким граничним циклом, якщо є таке , що єграничним безліччю для будь-який траєкторії, що проходить через точку зоколиці кривою .

Так як і реальної буденної дійсності час тече до позитивному напрямі, то, на практиці реалізуються ті періодичні руху, яким відповідають стійкі граничні цикли. Такі руху називаються автоколебаниями.

Теорема 4. Нехай . (7).

Если , то є усталеним граничним циклом; якщо , то — хитливий граничний цикл.

Характер наближення сусідніх траєкторій до при наступний: вони наближаються до , створюючи безліч витків спіралі, як зсередини, так і снаружи.

2.6. Стійкість за першим приближению..

Вернемся до розгляду рівняння (1), де . Після заміни одержимо рівняння (2), яке, використовуючи розкладання до кількох Тейлора, запишемо в виде.

, (8).

где при . (9).

Теорема 5. Нехай — стала матриця, граничний перехід у (9) виконується рівномірно по і речові частини власних чисел матриці негативні. Тоді рішення рівняння (8) асимптотически устойчиво.

Теорема 6. Нехай — стала матриця, граничний перехід у (9) виконується рівномірно по . Для стійкості по Ляпунову нульового рішення рівняння (8) необхідно, щоб речові частини власних чисел матриці були неположительны.

Рассмотрим тепер автономне рівняння (1): , (10).

где функція безупинно дифференцируема при , причому . Тоді є становищем рівноваги рівняння (10). Після заміни рівняння (10) набуває вигляду , де , функція безупинно дифференцируема при і.

при . (11).

Из (11) і теорем 5 і шість випливає таке утверждение.

Теорема 7. Якщо все власні числа матриці мають негативні речові частини, то становище рівноваги асимптотически стійко; Якщо ж хоч один власними чисел має позитивну речовинну частина, воно неустойчиво.

Пример. Розглянемо систему двох рівнянь Координати положень рівноваги визначаються з рівнянь . Положення равновесия:

Соответствующие матриці мають вид.

, чи .

Собственные числа визначаються рівнянням . При k парному , при k непарному . По теоремі 7 при k парному рішення асимптотически стійкі, а при k непарному неустойчивы.

Предположим тепер, що права частина рівняння (1) і рішення периодичны по t з однією і тим самим періодом. Тоді, у рівнянні (8) , . Далі, оскільки рівномірно безупинна на компакте , то силу періодичності виконується рівномірно по . Оскільки — періодична матриця, що існує заміна змінних , (12).

где — періодична з періодом функція класу , причому , яка переводить рівняння в із постійною матрицею коефіцієнтів , обумовленою теоремою Флоке. Отже, заміна (12) переводить (8) в уравнение.

, (13).

причем функція визначена і безупинна у сфері виду . Умова (9) також виконується. Справді, з (9), обмеженості і і те що еквівалентно . У цьому, як, має місце рівномірність по t.

Согласно лемме з п. 2.1. питання стійкості тривіального рішення рівняння (8) еквівалентний питання про сталість тривіального рішення рівняння (13). Так як , де — власні числа матриці , а — мультиплікатори лінійного рівняння , звані також мультиплікаторами періодичного рішення , те з теорем 5 і шість випливає наступна теорема:

Теорема 8. Якщо модулі всіх мультиплікаторів періодичного рішення періодичного рівняння (1) менше одиниці, це рішення асимптотически стійко. Якщо ж модуль хоч одну з мультиплікаторів більше одиниці, воно неустойчиво.

Рассмотрим змішаний випадок, коли досліджується стійкістьперіодичного рішення автономного рівняння (10). Дифференцируя тотожність , отримуємо . Отже, функція єперіодичним рішенням рівняння в варіаціях . По слідству 1 п. 1.5. одне із мультиплікаторів дорівнює одиниці. Якщо серед інших мультиплікаторів є такі, модулі яких більше одиниці, те решіння хитливо по теоремі 8. Інакше теорема 8 неприменима.

Теорема 9. (Андронова-Витта) Якщо мультиплікаторів періодичного рішення рівняння (10) мають модулі, менші одиниці, це рішення стійко по Ляпунову.

Замечание. Рівняння (10) автономно, тому поруч із є і рішення , , отже, рішення може бути асимптотически устойчивым.

2.7. Экспоненциальная устойчивость..

Рассмотрим рівняння (10), у якому . Означимо через траєкторію, яка стелиться через точку при . Припустимо, що нульовий рішення (10) асимптотически стійко, причому існують число й третя функція , при такі, що при . І тут існують позитивні числа такі, що з справедливо неравенство.

. (14).

Если має місце оцінка (14), то кажуть, що нульовий рішення експоненціально асимптотически стійко. Наприклад, за умов теореми 5 нульовий рішення рівняння (8) експоненціально асимптотически стійко. Понад те, нульовий рішення рівняння (8) експоненціально асимптотически стійко за більш слабких, ніж у теоремі 5, обмеженнях на нелінійний . Досить, щоб ліва частина (9) задовольняла нерівності , де — власні числа матриці A (їх речові частини за умовою отрицательны).

Для автономного рівняння (10) з експоненційною стійкості слід асимптотическая стійкість, і навпаки. Проте задля неавтономных систем справедливе тільки перше твердження.

Для неавтономной системи з формулі (14) вводиться аналогічне поняття експоненційною стійкості, проте асимптотическая стійкість. З іншого боку, справедливий наступна теорема.

Теорема. Для здобуття права лінійна система була експоненціально стійкою, необхідне й досить, щоб побутували два квадратичные форми і , які мають такими властивостями:

1. речовинна, симетрична і ограниченная;

2. речовинна, симетрична і ограниченная;

3. ;

4. (див. п. 3.1).

3. Другий метод Ляпунова..

3.1. Основні определения..

Рассмотрим диференціальний уравнение.

, (1).

где . Припустимо, що G — область одиничності і попри всі , т. е. рівняння (1) має тривіальне рішення . Розглянемо питання стійкості цього решения.

Сущность другого методу Ляпунова залежить від дослідженні поведінки деякою функції як функції t при заміні x на довільне рішення рівняння (1). Надалі використовуємо визначення стійкості й асимптотической стійкості, де .

Под функцією Ляпунова усвідомимо будь-яку безперервну функцію таку, що попри всі . На безлічі функцій Ляпунова заданий лінійний оператор D, визначається формулой.

. (2).

називається похідною V з рівняння (1). Справедлива формула.

, (3).

где — рішення рівняння (1) з початковими даними .

Определение. Функція Ляпунова , котра від t, називається определенно-положительной, тоді як області G при . Функція Ляпунова називається определенно-положительной, якщо є определенно-положительная функція така, що . Функція Ляпунова називається определенно-отрицательной, якщо — определенно-положительная функция.

Определение. Функція Ляпунова називається позитивної, якщо у сфері G і різко негативною, якщо в G.

Таким чином, функцію Ляпунова, тотожний рівну в G нулю, можна розглядати і як позитивну, як і отрицательную.

Отметим таке властивість определенно-положительных і определенно-отрицательных функцій: якщо , то . (4).

Импликация в (4) випливає безпосередньо з визначення функцій Ляпунова. Аби обгрунтувати импликацию , розглянемо довільну послідовність , , на яку при . Покажемо, що при . Припустимо, що це не так. Тоді знайдеться подпоследовательность позитивне число такі, що . Відповідно до визначення , де — определенно-положительная функція. Поклавши . Безліч компактно, тому по теоремі аналізу , де , отже, . Тоді , що суперечить властивості послідовності .

3.2. Теореми другого методу Ляпунова..

Теорема 1. Нехай існує определенно-положительная функція Ляпунова , така, що DV є негативна функція. Тоді рішення рівняння (1) стійко по Ляпунову.

Доказательство. Нехай — довільна позитивна стала, . Поклавши при . Оскільки V определенно-положительная, то . По l знайдемо таке, щоб . Розглянемо рішення при . Покажемо, що.

. (5).

Пусть (5) не має місця. Тоді існує таке, що , а при . З огляду на (3) й умови теореми функція є при невозрастающей функцією t. Оскільки , то , тоді тим паче , що суперечить визначенню T й інші, що . Отже, імплікація (5) має місце, але це і означає з визначення стійкість рішення по Ляпунову. Теорему доказана.

Следствие. Якщо рівняння (1) має у області G определенно-положительный інтеграл, котрий залежить від t і уничтожающийся на початку координат, те решіння стійко по Ляпунову.

Теорема 2. Нехай існує определенно-положительная функція Ляпунова , така, що DV определенно-отрицательная при . Тоді рішення рівняння (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Умови теореми 1 виконані, і рішення стійко по Ляпунову. Отже, існує таке, що.

при . (6).

Из визначення асимптотической стійкості з (4) укладаємо, що досить довести импликацию при . З огляду на (3) й умови теореми — суворо убутна функція t.

Предположим, що теорема неправильна. Тоді.

. (7).

Отсюда, з (6) і (4) слід, що з . За умовою теореми , де — определенно-положительная функція. Нехай . З (3) слід, що з всіх , що суперечить певної позитивності . Отримане протиріччя доводить теорему.

В разі коли рівняння автономно, умови теореми (2) можна ослабить.

Теорема 3. Нехай рівняння (1) автономно, виконані умови теореми 1 і безліч зовсім позбавлений повністю повних траєкторій рівняння (1), крім становища рівноваги . Тоді рішення асимптотически устойчиво.

Доказательство. Використовуємо доказ теореми 2 до формули (7) включно. Далі, нехай — -гранична точка траєкторії . З визначенняграничною крапки й (7) слід, що . З першого властивості граничних множин (п. 1.3.) всі крапки траєкторії єграничними для траєкторії . Отже, всім t, у яких визначено рішення , . Звідси й з (3) слід, що з зазначених t , що суперечить умові теореми, оскільки не збігаються з початком координат. Теорему доказана.

Пример. Розглянемо рівняння руху диссипативной системи з одного ступенем свободи , де задовольняють умові Липшица при , задовольняє умові при і при . Доведемо, що становище рівноваги асимптотически устойчиво.

Соответствующая система двох рівнянь має вид.

В ролі функції Ляпунова візьмемо повну енергію системи .

В силу умови V —определенно-положительная функція, при этом.

Следовательно, DV —негативна функція і безліч M — інтервал осі абсцис при . Бо за при , то безліч M зовсім позбавлений цілих траєкторій, відмінних становища рівноваги .

По теоремі 3 рішення системи асимптотически стійко, що потрібно було доказать.

Перейдем до розгляду нестійкості. Нехай — функція Ляпунова. Означимо через будь-яку зв’язну компоненту відкритого безлічі з початком координат на її границе.

Теорема 4. Нехай існує функція Ляпунова така, що не порожньо і за . Тоді рішення рівняння (1) неустойчиво.

Доказательство. Нехай . Будемо розглядати рішення з початковій точкою . Досить показати, що кожного з цих рішень можна вказати момент T (для кожного рішення свій) такий, що .

Пусть це не так, т. е. існує рішення , що задовольнить попри всі нерівності . Покажемо, що траєкторія рішення належить при . Справді, з визначення вони можуть залишити область лише крізь ті частини її межі, де . Але це пояснити неможливо, оскільки і за зростанні функція суворо зростає, поки , з (3).

Итак, доведено, що з і . Отже, за умовою теореми при . Інтегруючи (3) від до , получаем.

что суперечить обмеженості при . Протиріччя доводить теорему.

Пример. Розглянемо рівняння , де — яка задовольнить умові Липшица при функція така, що при . Доведемо нестійкість рішення .

Рассмотрим систему , відповідну рівнянню прикладу. Як функції Ляпунова візьмемо . Имеем:

По теоремі 4 рішення системи хитливо, що потрібно було доказать.

3.3. Стійкість за першим наближенню.

Рассмотрим диференціальний уравнение.

, (8).

где — задана квадратична форма.

Лемма 1. Якщо власні числа матриці A задовольняють условию.

, (9).

то рівняння (8) має єдине рішення , що є квадратичной формой.

В наступних двох лемах побудують квадратичные форми, є функціями Ляпунова для лінійного уравнения.

(10).

и задовольняють умовам теорем 2 і 4.

Лемма 2. Нехай все власні числа матриці A мають негативні речові частини, — определенно-отрицательная квадратична форма. Тоді рівняння (8) має єдине рішення , що є определенно-положительной квадратичной формой.

Лемма 3. Нехай матриця A має власні числа з позитивними речовими частинами. Тоді можна підібрати таке, що є єдине рішення уравнения.

причем якщо — определенно-положительная квадратична форма, то область для квадратичной форми непуста.

Докажем тепер теореми 5 і шість пункту 2.6. Розглянемо рівняння (1), у которого.

(11).

где задовольняє условию.

(12).

равномерно по .

Теорема 5 (див. теорему 5 п. 2.6). Якщо всі власні числа матриці A мають негативні речові частини і задовольняє умові (12), те решіння рівняння (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Побудуємо функцію Ляпунова, що б умові теореми 2 для лінійного рівняння (10), і покажемо, що вона задовольняє умовам теореми 2 й у рівняння (1).

Пусть — квадратична форма, яка задовольнить уравнению.

По лемме 2 определенно-положительная. Визначимо її похідну DV з рівняння (1). З (2) і (11) маємо: . Звідси получаем:

. (13).

Из (12) слід, що з будь-якого можна вказати таке, що з виконується . Оскільки — квадратична форма, то , , і . Очевидно, що . З (13) і записаних нерівностей слід, що . Отже, DV — определенно-отрицательная функція при , якщо a вибрати по . Отже, чи виконано всі умови теореми 2, звідки слід, що рішення рівняння (1) асимптотически стійко. Теорему 5 доказана.

Теорема 6. (див. теорему 6 п. 2.6). Якщо серед своїх чисел матриці є такі, речові частини, яких позитивні, і виконано умова (12), те решіння рівняння (1) неустойчиво.

Доказательство. З допомогою леми 3 побудуємо квадратичную форму , що б рівнянню , і цю, що область для функції V непуста. Складемо DV з рівняння (1). Имеем.

Используя (12), як і за доказі теореми 5, покажемо, що й a досить мало, то, при функція . Отже, позаяк у області , то, при , маємо . Отже, виконано практично всі умови теореми 4, звідки і слід, що нульовий рішення рівняння (1) хитливо. Теорему доказана.