Хвильові рівняння

Висновок рівняння коливання в електричних проводах.

Электрический струм в проводах характеризується величиною [pic] і напругою [pic] які залежить від координат Х точки дроту й від часу t. Розглянемо елемент дроти? Х. Можемо написати, що падіння напруги на елементі ?Х равно.

[pic]-[pic]. Это падіння напруги складається з омічного, рівного [pic] і індуктивного, рівного [pic] Отже [pic] де R і L -опір і коефіцієнт індуктивності розраховані одиницю довгі дроти. Знак мінус взятий оскільки струм тече в напрямі, зворотному зростанню U. Сокращая на? Х, одержимо рівняння [pic] Далі різницю струмів, виходить із елемента? Х під час? t, буде [pic] Вона витрачається зарядку елемента, рівну [pic] і відплив через бічну поверхню дроти на слідстві недосконалості ізоляції, рівну [pic] Тут Акоефіцієнт витоку. Прирівняємо ці висловлювання [pic] Скоротимо на [pic] [pic] Рівняння (2) і (3) прийнято називати телеграфними рівняннями. Складемо систему рівнянь [pic] З цією системою рівнянь можна отримати роботу рівняння, що містить лише потрібну функцию[pic], і рівняння, що містить лише потрібну функцію [pic]. Продифференцируем члени рівняння (3) по Х; члени рівняння (2) продифференцируем по t і помножимо їх у З. [pic] [pic] Так одержимо рівняння визначення [pic] [pic].

[pic] Якщо можна знехтувати витіканням через ізоляцію (А=0) і опором (R=0), то рівняння (5) і (6) переходить до хвильові рівняння: [pic] З фізичних умов формулюються граничні і початкові умови задачи.

Навоийский Державний гірський институт.

Гірський факультет.

Кафедра «Вищої математики».

Хвильові уравнения.

Підготував: студент 2-го курсу групи 20−02 ГД.

Дерюга А.М.

Навоий 2004 г.