Інтеграл Пуассона

Інтеграл Пуассона.

Нехай ((x (, g (x), x (R1 -суммируемые на (-(, ((, 2(- періодичні, комплекснозначные функції. Через f (g (x) будемо позначати свертку.

[pic] f (g (x) =[pic][pic]dt[pic][pic] [pic][pic].

З теореми Фубини легко слід, що згортка суммируемых функцій також суммируема на (-(,((і cn (f (g) = cn (f)(cn (g), n = 0, (1, (2, … (1).

где (cn (f)(— коефіцієнти Фур'є функції f (x): cn = [pic]-i n tdt, n = 0, ((((((((.

Нехай (((L1 (-(((((). Розглянемо при ((r (((функцию.

(r (x) = [pic]n (f) r ((n (ei n x, x (((((((((((, (2) де ряд у правій частині рівності (2) сходиться рівномірно по x нічого для будь-якого фіксованого r, (((r (((. Коефіцієнти Фур'є функції (r (x (рівні cn (fr) = cn (r (n ((, n = 0, ((((((((((, але це відповідно до (1) отже, що (r (x (можна як пакунки :[pic].

(r (x) = [pic] ,.

(3) где.

[pic], t (((((((((((((4).

Функція двох змінних Рr (t), 0 (((r (((, t ((((((((((, називається ядром Пуассона, а інтеграл (3) — інтегралом Пуассона. [pic][pic][pic][pic][pic] Следовательно,.

Pr (t) = [pic], 0(((r ((, t ((((((((((.

(5) Якщо ((L ((-((() (справжня функція, то, враховуючи, що c-n (f) = (cn (f), n = 0(((((((((((з співвідношення (2) ми матимемо :

fr (x) = [pic].

=[pic] ,.

(6) где.

F (z) = c0 (f) + 2 [pic] (z = reix) (7) — аналітична поодинці колі функція. Рівність (6) показує, що з будь-який дійсною функції ((L1(-(, () інтегралом Пуассона (3) визначається гармонійна поодинці колі функція u (z) = (r (eix), z = reix, 0 ((r (1, x ([ -(, (]. У цьому гармонійно сполучена з u (z) функція v (z) з v (0) = 0 задається формулою v (z) = Im F (z) = [pic] .

(8) Утверждение1. Нехай u (z) — гармонійна (чи аналітична) по колу (z ((((((((((((((функція і ((x) = u (eix), x (((((, ((. Тоді u (z) = [pic] (z = reix, (z ((().

(10).

Так як ядро Пуассона Pr (t) — справжня функція, то рівність (10) досить перевірити у разі, коли u (z) — аналітична функция:

[pic] =[pic], (z (((+ (. Але тогда.

[pic] і рівність (10) відразу випливає з (2) і (3).

Прежде ніж можливість перейти до вивченню поведінки функції (r (x) при r ((, відзначимо деякі властивості ядра Пуассона: а) [pic]; б) [pic]; в) нічого для будь-якого (>0.

[pic] Співвідношення й у) відразу взято з формули (5), а докази б) досить покласти в (2) і (3) ((x (((. pic] Теорему 1. Для довільній (комплекснозначной) функції [pic](-(, (), 1 (p < (, має місце равенство[pic].

[pic]; Якщо ж ((x) безупинна на [ -(, (] і ((-() = (((), то.

[pic].

Доказ. З огляду на (3) і їхні властивості б) ядра Пуассона.

[pic] (12) Для будь-який функції [pic], користуючись нерівністю Гельдера і позитивністю ядра Пуассона, знаходимо [pic] [pic][pic] [pic]. Следовательно,.

[pic][pic]. Для даного (((знайдемо (= ((() таке, що [pic]. Тоді для r, досить близьких до одиниці, ми матимемо оцінку [pic][pic][pic]. Аналогічно друге нерівність випливає з неравенства.

[pic][pic].

Теорему 1 доказана.

Дадим визначення понять «максимальна функція «і «оператор слабкого типу », що в ході докази наступній теореми. Определение1. Нехай функція [pic] суммируема будь-якою інтервалі (-А, А), А > 0. Максимальної функцією для функції [pic] називається функция.

[pic] де супремум з всім інтервалам I, що містить точку x. Визначення 2. Оператор [pic] називається оператором слабкого типу (р, р), для будь-якого y > 0 [pic] .

Теорема 2 (Фату). Нехай [pic]- комплекснозначная функція з [pic]. Тогда.

[pic] для п.в. [pic].

Доказ. Покажемо, що з [pic] і [pic].

[pic] ,.

(13) де З — абсолютна константа, а M (f, x) — максимальна функція для f (x) [1]. З цією метою використовуємо легко виведену з (5) оценку.

[pic] (До — абсолютна константа). Нехай [pic]- така кількість, что.

[pic]. Тоді для [pic] [pic] [pic][pic][pic] [pic][pic] [pic].

Неравенство (13) доведено. Використовуючи потім слабкий тип (1,1) оператора [pic], знайдемо таку послідовність функцій [pic], что.

[pic],.

[pic] (14).

[pic] для п.в. [pic].

Согласно (13) при x ((-2(((() [pic] [pic] З огляду на, що у теоремі 1 [pic] кожному за x ([-(((] і (14) З Росії оцінки получим.

[pic] при n ((.

Теорему 2 доведено. Зауваження. Використовуючи замість (13) сильніше нерівність (59), яку ми доведемо пізніше, можна показати, що з п.в. x ([-(((] [pic], коли точка reit прагне eix по некасательному до окружності [pic] пути.

———————————- [1] Ми вважаємо, що f (x) продовжено зі збереженням періодичності на відрізок ((2((2(((тобто. [pic].

f (x) = f (y), якщо x, y ([-2(, 2(] і x-y=2() і f (x) = 0, якщо (x ((((.