Прикладна математика

Міністерство загального користування та професійної освіти Російської Федерации.

Державний університет управления.

Кафедра прикладної математики Утверждено першим проректором ГАУ проф.

Ю.Л. Старостиным.

Методичні вказівки до виконання курсового проекту з дисциплине.

(Прикладна математика (.

для студентів усіх спеціальностей денного і вечірнього отделения.

Москва — 2000 УДК.

Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни (Прикладна математика (/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев І.С. та інших. ГУУ, М.:2000.

Упорядники Колемаев В. А. — професор, доктор економічних наук.

§ 15. Карандаев І.С. — доцент. ((2, 4−10 докладання I, III, IX. Малыхин В.І. — професор, доктор фізико-математичних наук.

((11−14, докладання V, VII, VIII. Гатауллин Т. М. — доцент, кандидат фізико-математичних наук.

((1, 3, додаток IV. Прохоров Ю. Г. — доцент, кандидат фізико-математичних наук.

Додаток VI. Юнисов Х. Х. — старшого викладача, додаток II.

Відповідальний редактор завідувач кафедри прикладної математики доктор економічних наук, профессор

Колемаев В.А.

Рецензент кандидат економічних наук, доцент кафедри економічної кибернетики.

Васильєва Л.Н.

(Державний університет управління, 2000.

Предисловие.

У навчальних планах усіх спеціальностей ГУУ передбачено виконання курсового проекту з дисципліни (Прикладна математика (. Як у програмі цієї дисципліни, прикладна математика і двох основних розділів: теорії ймовірностей і його додатків і математичних методів дослідження операцій, куди входять фінансову математику, що особливо важливо задля студентів-заочників, які спеціалізуються у сфері фінансового та банківського менеджменту. Програмою ґранту передбачено також вивчення основних питань лінійної алгебри. Рекомендується вивчити основи теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь підручником [1]. Нагадаємо, що у завданнях лінійної оптимізації доводиться переважно розглядати системи лінійних алгебраїчних рівнянь в предпочитаемой формі, коли кожне рівняння системи містить невідому, що входить лише у це рівняння, причому з коефіцієнтом +1, а пошук оптимального рішення зводиться до поданого перебору базисних неотрицательных рішень. Тому студент повинен враховувати, що немає сенсу братися до розгляду лінійної виробничої завдання курсової роботи, доки вивчені основи теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь, викладені у §§ 1, 2 глави 1 підручника [1]. Короткий і стислий виклад основних питань дослідження операцій дано в роботі [7], а розбір завдань — в посібнику [16]. У цьому корисно попередньо ознайомитися з роботою [11], де деякі важливі питання програми викладено дуже докладно і дохідливо. Спеціальні питання дослідження операцій викладені у роботах [6], [8] і [25]. Фінансова математика то, можливо вивчена на роботах [20], [23]. Необхідний при цьому матеріал з теорії ймовірностей і математичної статистиці рекомендується вивчити підручником [2].

(1. ЦІЛІ ТА ЗАВДАННЯ КУРСОВОГО ПРОЕКТА.

Виконання курсового проекту з прикладної математиці спрямоване на посилення зв’язку навчання студентів із практикою удосконалення управління, організації сучасного виробництва, всього механізму хозяйствования.

У процесі роботи над курсовим проектом студент як закріплює і поглиблює теоретичні знання, отримані на лекціях і практичних заняттях, а й навчається застосовувати методи дослідження операцій за нормальної постановки й розв’язанні конкретних економічних задач.

Мета курсового проекту — підготувати студента до проведенню операційного дослідження, основними етапами якого є побудова математичну модель, рішення управлінської завдання з допомогою моделі і аналіз отриманих результатов.

[pic](2. Завдання курсовОЙ ПрОЕКТ 1. Сформулювати лінійну виробничу завдання й скласти її математичну модель, узявши вихідні дані з докладання 1, де технологічна матриця, А витрат різних ресурсів на одиницю кожної продукції, вектор обсягів ресурсів У і вектор удільної прибутку З при можливий випуску чотирьох видів продукції з допомогою трьох видів ресурсов.

[pic].

компактно записані як c1 c2 c3 c4 а11 а12 а13 а14 b1 a21 a22 a23 a24 b2 a31 a32 a33 a34 b3.

Перетворити це завдання до виду основної мети лінійного програмування, розв’язати цю проблему методом спрямованого перебору базисних допустимих рішень, обгрунтовуючи кожен крок процесу, знайти оптимальну виробничу програму, максимальну прибуток, залишки ресурсів різних видів тварин і вказати (вузькі місця (производства.

Останній симплексной таблиці вказати звернений базис Q-1, відповідний оптимальному набору базисних невідомих. Перевірити виконання соотношения.

H = Q-1B.

Якщо з оптимальної виробничої програмі якісь два виду продукції нічого не винні випускатися, то таблиці вихідних даних викреслити відповідні два шпальти, скласти математичну модель завдання оптимізації виробничої програми з цими двома які залишилися перемінними, зберігши колишню нумерацію змінних і вирішити графически.

2. Сформулювати завдання, двоїсту лінійної виробничої завданню, як завдання визначення розрахункових оцінок ресурсів, і знайти його виконання, користуючись другий основний теоремою двоїстості (про доповнювала нежесткости). Вказати оцінку одиниці кожного ресурсу, мінімальну сумарну оцінку всіх ресурсів, оцінки технологій. Застосувати знайдені двоїсті оцінки ресурсів до вирішення наступній завдання. Сформулювати завдання про «расшивке вузьких місць виробництва «та математичну модель. Визначити область стійкості двоїстих оцінок, де зберігається структура програми виробництва. Вирішити завдання про (расшивке вузьких місць виробництва (за умови, що доводиться додатково можна отримати постачальників трохи більше однієї третини спочатку виділеного обсягу ресурсу будь-якого виду (коли завдання виявиться з цими двома перемінними, лише графічно); знайти план придбання додаткових обсягів ресурсів, додаткову можливу прибыль.

По пунктах 1, 2, 3 скласти зведення результатів [10, з. 21]. 3. Скласти математичну модель транспортної завдання вихідним даним з докладання 2, де вектор обсяги виробництва А (a1,…, am), споживання — У (b1,…, bn) і матриця транспортних витрат С=(сij), і =[pic]; j = [pic] коротко записані в виде.

b1 b2. .. bn a1 c11 c12. .. c1n a2 c21 c22. .. c2n.

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. am cm1 cm2. .. cmn.

Если отримана модель виявиться відкритої, то звести її до замкнутої і знайти оптимальне рішення транспортної завдання методом потенціалів. 4. Методом динамічного програмування вирішити завдання розподілу капітальних вкладень між чотирма підприємствами виробничого об'єднання, що займає сумою 700 тис. крб., по вихідним даним, наведеним у додатку 3 (виділені суми кратні 100 тис.). 5. Розглянути динамічну завдання управління виробництвом і які запасами. Вирішити конкретне завдання по вихідним даним, наведеним у додатку 4. 6. Розглянути матричну гру як співробітництва Києва та конкуренції, узявши вихідні дані з докладання 5. Знайти графічно рішення гри. Вказати, як проявляється між гравцями і «співпраця між ними. 7. Розглянути завдання про максимальному потоці у мережі. Вирішити конкретну завдання на мережі з 8−9 вершинами, запропонувавши вихідні дані самостійно. 8. Розглянути завдання про найкоротшому шляху. Вирішити конкретне завдання, запропонувавши вихідні дані самостійно. 8. Розглянути завдання про призначення. Вирішити конкретне завдання, запропонувавши вихідні дані самостійно. 9. Методом гілок і національних кордонів знайти целочисленное вирішення завдання про «расшивке вузьких місць виробництва », розглянутим у пункті 2. Якщо усе компоненти плану «розшивки «були целочисленными, то умови [pic] замість К=3 взяти інше ціле значення До те щоб рішення не було целочисленным, після чого застосувати метод гілок і національних кордонів. 10. Розглянути лінійну завдання многокритериальной оптимізації. Скласти самостійно конкретне завдання з цими двома перемінними й трьома критеріями і вирішити методом послідовних поступок. 9. Розглянути модель міжнародної торгівлі (модель обміну). Скласти самостійно конкретну структурну матрицю торгівлі між трьома країнами й знайти, що не відношенні має перебувати держбюджети цих країн, щоб торгівля з-поміж них була збалансованої. 10. Розглянути завдання управління виробничим комплексом без повної інформацією верхньому ланці управління дворівневої системи. Вирішити блочно-диагональную завдання методом розкладання, запропонувавши вихідні дані самостійно. 11. Скласти матричну модель виробничої програми підприємства з вихідним даним з докладання 6. За таким вектору випуску товарної продукції знайти вектор виробничої програми розвитку й повні витрати всіх зовнішніх ресурсів. 11. Провести аналіз дохідності і ризику фінансових операцій із вихідним даним, наведеним у додатку 7. 12. Вирішити завдання формування оптимального портфеля цінних паперів: папери першого виду — безрисковые очікуваної ефективності m0, а другого і третього виду — некоррелированные ризикові очікуваних эффективностей m1, m2 з ризиками (1, (2. Вихідні дані узяти з докладання 8. 17. Розглянути завдання прийняття рішень на умовах невизначеності, узявши вихідні дані з докладання 7. За номером [pic] берете рядки з номерами [pic]. Наприклад, при [pic]:

1. (2,½)(0,¼)(14,1/8))(6,1/8) 2. (2,½)(4,¼)(18,1/8))(8,1/8).

3. (4,¼)(0,¼)(6,1/3))(12,1/6) 4. (6,¼)(2,¼)(14,1/3))(4,1/6).

В цих рядках опускаєте дробу і получаете:

1. (2,0,14,6) 2.(2,4,18,8) 3. (4,0,6,12) 4.(6,2,14,4) Отримані рядки об'єднуєте в матрицю, аналогічну матриці [pic]. Ймовірності станів берете з рядки з номером [pic], залишаючи у ній лише дробу: 1.(2,½)(0,¼)(14,1/8)(6,1/8), т. е. отримуєте (½, 1/4,1/8,1/8). Потім: а) Знайдіть матрицю ризиків. б) Знайдіть рішення, рекомендовані правилами Вальда, Сэвиджа, Гурвіца ((поставте самі). в) При даних ймовірності станів проаналізуйте те що сімейство з 4-х операцій: кожна операція має дві характеристики — середній очікуваний прибуток і середній очікуваний ризик, нанесіть кожної операції ці характеристики на пласку систему координат і виявите операції, оптимальні по Парето. р) Потім знайдіть опуклу оболонку безлічі отриманих крапок і дайте інтерпретацію точок отриманої опуклої оболонки. буд) Придумайте пробну операцію, яка значно змістить розподіл ймовірностей, і визначте максимально виправдану вартість пробної операції, використовуючи який-небудь підходящий критерій ефективності операцій (наприклад, середній очікуваний прибуток). е) Виберіть якісь дві операції, припустімо, що вони незалежні друг від одного й знайдіть операцію, що є їх лінійної комбінацією і більш хорошу, ніж котрась із наявних. ж) Придумайте взвешивающую формулу (його доведеться пояснити при захисту курсової роботи!) і знайдіть за нею гірший і кращу операції. 18. Виробити математико-статистичний аналіз за T років Xt, Kt, Lt.

(t = 1, …, T) про випуск продукції (в вартісному вигляді), ОПФ і зайнятих досліджуваного виробничого економічного об'єкта: а) знайти прогноз випуску, фондів і зайнятих на 1, 2, 3 року вперед.

[pic].

по виявленому лінійному чи квадратичного тренду; б) знайти прогноз випуску на 1, 2, 3 року вперед.

[pic].

с допомогою побудованої мультипликативной виробничої функции.

[pic].

в) з урахуванням результатів розрахунків дійти висновків стані перебуває й перспективи розвитку досліджуваного економічного объекта.

§ 3. Організація виконання курсовоГО ПрОЕКТА.

Студент виконує 5−8 пунктів завдання будь-якому наборі до відповідності зі своєї фахом і власними інтересами за узгодженням із керівником, у своїй пункти 1, 2, 4, 6 є обов’язковими для студентів будь-яких спеціальностей. Номери завдань з додатків вибираються або за номера студента у списку, або за початковій букві свого прізвища по схеме:

Початкова літера, А Б У Р Д Є Ж З.

І, Й Ка-Кл Км-Кр Номер завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.

Кс-Кя Л М М Про П Р З Т У Ф Х Ц, Ч Ш, Щ, Ы Э, Ю, Я.

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26.

Курсова робота виконується акуратно з одного боку аркуша стандартного формату. Графіки будуються чорними чи кольоровими олівцями середньої твердості звичайному чи міліметрової папері. Листи з текстом курсової праці та графіки би мало бути сшиты.

Текст роботи мусить мати всі необхідні розрахунки і пояснення. У разі застосування ЕОМ у роботі мають утримуватися блок-схема рішення завдання, роздруківка програми розвитку й результатів з необхідними пояснениями.

У курсовому проекті обов’язкові зміст і наскрізна нумерація всіх аркушів. Зразок титульного аркуша міститься у додатку 9.

Курсова робота здається викладачеві до захисту для перевірки. При захисту курсової роботи студент має виявити знання теоретичного курcа й уміння математично ставити, розв’язувати проблему і аналізувати конкретні економічні задачи.

§ 4. Лінійна виробнича задача.

Завдання про раціональне використання виробничих потужностей є однією з перших завдань, на вирішення якої було застосовано методи лінійного програмування. Загалом вигляді математична модель завдання про використанні виробничих потужностей може бути отримана наступним чином. Припустимо, що це підприємство чи цех випускає n видів виробів, маючи m груп устаткування. Відомі норми часу на обробку кожного вироби на кожної групі устаткування, наприклад, в хвилинах чи годиннику та Фонд часу роботи кожної групи устаткування. Нехай, ще, відомо, що із усіх n видів виробів найбільшим попитом користуються k видів. Потрібна скласти план виробництва, у якому випуск дефіцитних виробів буде найбільшим можливим. Приймемо такі позначення: і - номер групи устаткування (i=1,2, …, m); j — номер виду вироби (j=1,2, …, n); aij — норма часу на обробку одиниці i-го вироби на j-ой групі устаткування; bi — дійсний фонд часу роботи i-го групи устаткування; xi — плановане кількість одиниць j-го вироби; (x1, x2, …, xn) — шуканий план производства.

Хоч би яка була виробничу програму (x1, x2, …, xn), її компоненти повинні задовольняти умові, що сумарна час обробки всіх виробів на цій групі устаткування на повинен перевищувати фонду часу роботи цієї групи устаткування. На обробку x1 одиниць першого вироби на i-го групі устаткування буде витрачено ai1x1 одиниць часу, на обробку x2 одиниць другого вироби тій самій групі устаткування буде витрачено ai2x2 одиниць часу й т.д. Необхідна час на обробку всіх x1, x2, …, xn виробів на i-го групі устаткування дорівнюватиме сумме.

[pic].

Ця ж сума неспроможна перевищувати фонд часу роботи i-го групи устаткування, тобто. мусить бути (bi. Виписуючи такі умови всім m груп устаткування, получаем:

[pic] (1) Оскільки компоненти плану суть кількість виробів і, отже, не можуть бути виражені негативними числами, то природним чином додаються условия:

x1 (0, x2,(0,…, xn (0.

(2).

Означимо через сj прибуток на одиницю j-го вироби. За плану виробництва (х1, х2, …, хn) прибуток підприємства, буде равна:

z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn. (3).

Ми ще хочемо скласти виробничу програму (х1, х2, …, хn) те щоб функція (3) прийняла найбільше значення і під час від інших умов. Система лінійних нерівностей (1), (2) і лінійна форма (3) утворюють математичну модель завдання про раціональне використання виробничих потужностей. Серед усіх рішень системи лінійних нерівностей (1), які відповідають умові неотрицательности (2), необхідно знайти таке рішення, у якому лінійна форма (3) приймає найбільше можливе значення. Це — завдання лінійного програмування. Вихідні параметри завдання можуть бути як технологічної матриці A витрат ресурсів на одиницю продукції кожного виду, вектора B обсягів ресурсів немає і вектора З удільної прибыли:

[pic], [pic], C=(c1, …, cn)[pic].

Як приклад розглянемо завдання оптимізації виробничої програми цеху, котрі можуть випускати два виду виробів, маючи чотири групи виробничого устаткування. Пусть.

[pic], [pic], [pic], чи коротко [pic].

Завдання у тому, щоб знайти виробничу програму, максимизирующую.

прибуток: [pic] (4) при условиях:

[pic] (5).

[pic] (6).

Отриману завдання лінійного програмування з цими двома перемінними можна вирішити графічно. Система лінійних нерівностей (5), (6) визначає опуклий багатокутник OPQRS допустимих рішень. Лінії рівня функції Z перпендикулярні вектору-градиенту grad Z=(6,9) й утворять сімейство паралельних прямих (градієнт вказує можливий напрямок зростання функції). Найбільшого значення функція Z сягає у точці R. Координати цієї точки визначають оптимальний план виробництва x1=3, x2=2, а максимальна прибуток дорівнюватиме 36.

Послідовне поліпшення виробничої программы.

Припустимо тепер, що це підприємство може випускати чотири виду продукції, використовуючи при цьому три виду ресурсів. Відома технологічна матриця, А витрат будь-якого ресурсу на одиницю кожної продукції, вектор У обсягів ресурсів немає і вектор З удільної прибыли.

[pic] (7) Потрібна скласти виробничу програму, що забезпечує підприємству найбільшу прибуток за наявності обмежених ресурсах Математична модель завдання: знайти виробничу программу.

(x1, x2, x3, x4) максимизирующую прибуток z = 36×1+ 14×2 + 25×3 + 50×4.

(8) при обмеженнях по ресурсам.

[pic] (9) де за змісту завдання x1 (0, x2 (0, x3 (0, x4 (0.

(10) Отримали завдання на умовний екстремум. Для її вирішення систему нерівностей (9) з допомогою додаткових неотрицательных невідомих х5, х6, х7 замінимо системою лінійних алгебраїчних уравнений.

[pic] (11) де додаткові перемінні мають сенс залишків відповідних ресурсів. Серед усіх рішень системи рівнянь (11), які відповідають умові неотрицательности х1(0, х2(0, …, х5(0, …, х7(0. (12) треба знайти те рішення, у якому функція (8) прийме найбільше значення. Скористаємося тим, що праві частині від усіх рівнянь системи (11) неотрицательны, а саму систему має предпочитаемый вид — додаткові перемінні є засадничими. Прирівнявши нанівець вільні перемінні х1, х2, х3, х4, отримуємо базисне ненегативне рішення x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=208, x6=107, x7=181.

(13) перші чотири компоненти якого визначають виробничу програму x1=0, x2=0, x3=0, x4=0.

(14) з якої ми поки що не виробляємо. З висловлювання (8) видно, що нині найвигідніше починати виробляти продукцію четвертого виду, оскільки прибуток на одиницю продукції тут найбільша. Чим більший випуск у цій продукції, то більше вписувалося прибуток. З’ясуємо де, до яких пір наші ресурси дозволяють збільшити випуск саме цієї продукції. І тому доведеться записати системі рівнянь (11) загальне решение.

[pic] (15) Ми зберігаємо загалом рішенні х1=х2=х3=0 і збільшуємо лише х4. При цьому базисних змінних повинні залишатися неотрицательными, що призводить до системі неравенств.

[pic] чи [pic] тобто. 0 (х4 ([pic].

Дамо х4 найбільше значення х4 =181/5, яку вона може прийняти при нульових значеннях інших вільних невідомих, і підставимо їх у (15). Отримуємо системі рівнянь (11) приватне ненегативне рішення х1=0, х2=0, х3=0, х4=[pic]; x5=27; x6=[pic]; x7=0.

(16) Неважко переконатися, що це рішення є новим базисним неотрицательным рішенням системи лінійних алгебраїчних рівнянь (11), щоб одержати якого вистачило б прийняти у системі (11) невідому х4 за розрізнювальну перейти до новому предпочитаемому виду цією системою, зберігши праві частини рівнянь неотрицательными, навіщо за що дозволяє рівняння ми маємо прийняти третє, так как.

[pic].

а що дозволяє елементом буде а34=5. Застосувавши відомі формули винятку, отримуємо системі рівнянь (11) новий предпочитаемый эквивалент.

x1 + 2×2 + 2×3 + x5.

— x7 = 27.

[pic]x1 + [pic]x2 — [pic]x3 + x6 ;

[pic]x7 = [pic] (17).

[pic]x1 + [pic] x2 + [pic]x3 + x4 + [pic]x7 = [pic].

Прирівнявши нанівець вільні перемінні х1, х2, х3, х7, отримуємо базисне ненегативне рішення, збігалася з (16), причому перші чотири компоненти його визначають нову виробничу програму х1=0, х2=0, х3=0, х4=[pic].

(18) Досліджуємо, чи є цю програму найкращою, тобто. забезпечує вона найбільшу прибуток. І тому висловимо функцію прибутку (8) через нові вільні перемінні х1, х2, х3, х7. З останнього рівняння системи (17) висловлюємо базисну зміну х4 через що вільні та підставляємо в (8). Отримуємо [pic].

[pic] (19).

Бачимо, що ваша програма (18) перестав бути найкращою, оскільки прибуток буде зростати, коли ми почнемо виготовляти чи першу, чи другу, чи третю продукцію, але це найбільш швидко функція z зростає за умов зростання х1. Тому приймаємо х1 у системі (17) за розрізнювальну невідому, знаходимо що дозволяє рівняння по.

[pic] (20) і виключаємо х1 із усіх рівнянь системи (17), крім першого рівняння. Одержимо наступний предпочитаемый еквівалент системи умов, який визначить системі (11) нове базисне ненегативне рішення вже третю виробничу програму, на дослідження якого ми доведеться висловити функцію (19) через нові вільні перемінні, видаливши звідти зміну х1, що стала базисної. Ми бачили вище, як це робиться (видаляли х4 з (8)). Важливо звернути увагу, що це видалення можна виконати дуже просто. Уявімо співвідношення (8) як уравнения.

— 36×1 — 14×2 — 25×3 — 50×4 = 0 — z.

(21) і припишемо його до системи (11). Виходить допоміжна система уравнений.

[pic] (22).

Нагадаємо, що розрізнювальну невідому у системі (11) ми вибрали х4. Цією перемінної у тому рівнянні системи (22) відповідає найменший негативний коефіцієнт (4=-50. Потім ми знайшли що дозволяє елемент а34=5 і виключили невідому х4 із усіх рівнянь системи (11), крім третього. Далі ми мусили х4 виключати і з функції (8). Тепер це можна зробити досить легко, якщо оцінити систему рівнянь (22). Вочевидь, досить помножити третє рівняння системи (22) на 10 і додати до четвертому; получим.

— 6×1 — 4×2 — 5×3 — 10×4 = 1810 — z.

(23) Отже, ми перетворювали допоміжну систему рівнянь (22) до виду x1 + 2×2 + 2×3 + x5 — x7.

= 27.

[pic]x1 + [pic]x2 — [pic]x3 + x6 — [pic]x7.

= [pic] (24).

[pic]x1 + [pic] x2 + [pic]x3 + x4 +.

[pic]x7 = [pic].

— 6×1 — 4×2 — 5×3 +10×7 =.

1810 — z Перші три рівняння цією системою представляють певний предпочитаемый еквівалент (17) системи рівнянь (11) визначають базисне ненегативне рішення (16) і виробничу програму (18), та якщо з останнього рівняння системи (24) виходить вираз (19) функції мети через вільні перемінні. Вочевидь, якщо є хоча б тільки негативний коефіцієнт (j при який-небудь перемінної xj у тому рівнянні системи (24), то виробничу програму перестав бути найкращою і далі продовжувати процес її покращення. З допомогою (19) ми з’ясували, що можна починати виробляти продукцію першого виду, тобто. фактично ми знайшли у останньому рівнянні системи (24) найменший негативний коефіцієнт min ((j0, x4>0. Поэтому.

4y1 + 2y2 + 3y3 — 36 = 0.

5y1 + 2y2 + 5y3 — 50 = 0 Якщо ж до уваги, що другий ресурс був надлишковим і, відповідно до тієї ж теоремі двоїстості, її двоїста оцінка дорівнює нулю у2=0, то дійшли системі уравнений.

4y1 + 3y3 — 36 = 0.

5y1 + 5y3 — 50 = 0 звідки слід у1=6, у3=4.

Отже, отримали двоїсті оцінки ресурсов.

у1=6; у2=0; у3=4,.

(4).

причем загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює 1972.

Зауважимо, що ухвалено рішення (4) був ще у останньої рядку останньої симплексной таблиці вихідної завдання. Важливий економічний сенс двоїстих оцінок. Наприклад, двоїста оцінка третього ресурсу у3=4 показує, що додавання однієї одиниці третього ресурсу забезпечить приріст прибутку на 4 единицы.

(6. Завдання про (расшивке вузьких місць производства (.

За виконання оптимальної виробничої програми не перший і третій ресурси використовуються повністю, тобто. утворюють (вузькі місця виробництва (. Будемо їх замовляти додатково. Нехай T (t1,t2,t3) — вектор додаткових обсягів ресурсів. Оскільки ми будемо використовувати знайдені двоїсті оцінки ресурсів, те має виконуватися условие.

H + Q-1T [pic] 0.

Завдання у тому, щоб знайти вектор

T (t1, 0, t3), максимізує сумарний приріст прибыли.

W = 6t1 + 4t3.

(1) за умови збереження двоїстих оцінок ресурсів (і, отже, структури виробничої программы).

[pic] припускаючи, що можна сподіватися отримати додатково трохи більше 1/3 обсягу ресурсу кожного вида.

[pic] [pic] [pic] (3) причому за змістом завдання t1 [pic] 0, t3.

[pic] 0. (4).

Переписавши нерівності (2) і (3) в виде:

[pic].

дійшли завданню ЛЗ: максимізувати (1) за умов (5), (6) і (4).

Це завдання легко вирішити графічно: див. рис. 1. Програма (розшивки (має вигляд t1=[pic], t2=0, t3=[pic].

и приріст прибутку становитиме 519[pic].

Зведення результатів приведено в таблице.

Таблиця 1 |сj |36 |14 |25 |50 |b |x4+i |yi |ti | | |4 |3 |4 |5 |208 |0 |6 |46 5/12| |aij|2 |5 |0 |2 |107 |13 |0 |0 | | |3 |1 |2 |5 |181 |0 |4 |60 1/3 | |xj |27 |0 |0 |20 |1972 | | |519 2/3| |(j |0 |8 |7 |0 | | | | |.

(7. Транспортна завдання лінійного программирования.

Транспортна завдання формулюється так. Однорідний продукт, зосереджений в m пунктах виробництва (зберігання) у кількості а1, А2,…, аm одиниць, необхідно розподілити між n пунктами споживання, яким необхідно відповідно b1, b2,…, bn одиниць. Вартість перевезення одиниці продукту з i-го пункту відправлення в j-ый пункт призначення дорівнює сij й всім маршрутів. Необхідно скласти план перевезень, у якому запити всіх пунктів споживання було б задоволені з допомогою наявних продуктів в пунктах виробництва та загальні транспортні витрати з доставки продуктів були мінімальними. Означимо через хij кількість вантажу, планованого до перевезення від i-го постачальника j-му споживачеві. За наявності балансу виробництва та потребления.

[pic] (1) математична модель транспортної завдання матиме такий вигляд: знайти план перевозок.

Х = (хij), і = 1, m; j = 1, n здатний мінімізувати загальну вартість всіх перевозок.

[pic] (2) за умови, що із будь-якої пункту виробництва вивозиться весь продукт.

[pic] (3) будь-якому споживачеві доставляється необхідну кількість груза.

[pic] (4) причому за змістом завдання х11 > 0 ,... ., xmn > 0.

(5).

Аби вирішити транспортної завдання найчастіше застосовується метод потенціалів. Нехай вихідні ці завдання мають вигляд А (а1, А2, а3) = (54; 60; 63); В (b1, b2, b3, b4) = (41; 50; 44; 30); З = [pic] [pic] [pic][pic][pic] Загальний обсяги виробництва (аi = 55+60+63 = 178 більше, потрібно всім споживачам (bi = 42+50+44+30 = 166, тобто. маємо відкриту модель транспортної завдання. Для перетворення їх у закриту вводимо фіктивний пункт споживання з обсягом споживання 178−166 = 12 одиниць, причому тарифи на перевезення у цей пункт умовимося вважати рівними нулю, пам’ятаючи, що перемінні, що додаються лівого частинам нерівностей для перетворення на рівняння, входить у функцію цілі з нульовими коефіцієнтами. Перше базисне дозволене рішення легко побудувати за правилом (северозахідного угла (.

| |b1 =41 |b2 |b3 =44|b4 |b5 | | |Споживання | |=50 | |=30 |=12 | | |Виробництво | | | | | | | | а1 =54 | 41 |13 | | | |p1 =0 | | a2 =60 | |37 |23 | | | p2 =| | a3 =63 | * | |21 |30 |12 | p3 =| | |q1 = |q2 = |q3 = |q4 = |q5 = | |.

Слід пам’ятати, що у будь-який транспортної таблиці можна відновити відповідний предпочитаемый еквівалент системи рівнянь (3), (4), а таблиці записані лише праві частини рівнянь, причому номер клітини показує, яка невідома у відповідній рівнянні є базисної. Позаяк у системі (3), (4) рівно m + n — 1 лінійно незалежних рівнянь, то будь-який транспортної таблиці має бути m + n — 1 зайнятих клітин. Означимо через.

([pic]) вектор симплексных множників чи потенціалів. Тогда.

(ij = (Aij — сij і = 1, m; j = 1, n звідки следует.

(ij = pi + qj — cij і = 1, m; j = 1, n.

(6) Одне з потенціалів можна вибрати довільно, позаяк у системі (3), (4) одне рівняння лінійно залежить від інших. Поклавши, що р1 = 0. Інші потенціали знаходимо з умови, що з базисних клітин [pic]. У цьому разі получаем.

(11 = 0, p1 + q1 — c11 = 0, 0+q1 -1 = 0, q1 = 1.

(12 = 0, p1 + q2 — c12 = 0, 0+q2 -4 = 0, q2 = 4.

(22 = 0, p2 + q2 — c22 = 0, р2 +4−6 = 0, р2 = 2.

и т.д., одержимо: q3=0, p3=6, q4= 1, q5= -6. Потім за формулі (6) обчислюємо оцінки всіх вільних клеток:

(21 = p2 + q5 — c21 = 2+1−3 = 0.

(31 = p3 + q1 — c31 = 6+1−2 = 5.

(32 = 5; (13 = -3; (14 = -1; (24 = -2; (15 = -6; (25 = -4. Знаходимо найбільшу позитивну оцінку max ([pic]) = 5 = [pic] Для знайденою вільної клітини 31 будуємо цикл перерахунку — замкнуту ламану лінію, сусідні ланки якої взаємно перпендикулярні, самі ланки рівнобіжні рядкам і столбцам таблиці, одне з вершин перебуває у даної вільної клітині, проте інші - в зайнятих клітинах. Це буде 31−11−12- 22−23−33. Виконуємо перерозподіл поставок вздовж циклу пересчета.

|41 |13 | | |41-(|13+(| | |20 |34 | | | |37 |23 | | |37-(|23+(| | |16 |44 | | | |21 | |(| |21-(| |21 | | |.

[pic]= 21 Отримуємо друге базисне дозволене решение:

| |b1 =41 | b2 |b3 =44|b4 | | | |bj | |=50 | |=30 |b5=12 | | | ai | | | | | | | | а1 =54 | 20 |34 | | * | |p1 =0 | | a2 =60 | |16 |44 | | | | | | | | | | |p2 =2 | | a3 =63 | 21 | | |30 |12 | p3 =1| | |q1 =1 |q2 = 4|q3 = 0 |q4 = 6|q5= -1| |.

Знаходимо нові потенціали, нові оцінки. Найбільшу позитивну оцінку матиме вільна клітина 14. Для неї будуємо цикл перерахунку 14−11−31−34 виробляємо перераспределение.

|20 | | |20-(|(| | |20 | |21 |30 | |21+(|30-(| |42 |10 |.

(max = 20 й одержуємо третє базисне дозволене рішення. Продовжуємо процес до ті пір, доки то дійдемо таблиці, на яку все.

(ij (0 і = 1, m; j = 1, n.

Читачеві не буде важко перевірити, що оптимальним базисне дозволене решение.

[pic] [pic] [pic] [pic].

(8. Динамічний программирование.

Розподіл капітальних вложений.

Динамічний програмування — це обчислювальний метод на вирішення завдань управління певної структури. Це завдання з n перемінними подається як многошаговый процес прийняття рішень. На кожен крок визначається екстремум функції тільки від однієї переменной.

Ознайомлення з методом динамічного програмування найпростіше розпочати з розгляду нелінійної завдання розподілу ресурсів між підприємствами одного виробничого об'єднання чи галузі. Для визначеності можна вважати, йдеться розподілу капітальних вложений.

Припустимо, що n пунктів, де потрібно побудувати чи реконструювати підприємства галузі, навіщо виділено b рублів. Означимо через fi (xi) приріст потужності чи прибутку на j-м підприємстві, коли вона отримає xi рублів капітальних вкладень. Потрібна знайти таке розподіл (x1,x2, …, xn) капітальних вкладень між підприємствами, яке максимизирует сумарний приріст потужності чи прибыли.

z = f1(x1) + f2(х2) + … + fn (xn) при обмеження із загальної сумі капітальних вложений.

x1 + x2 + … + xn = b причому вважатимемо, що це перемінні xj приймають аж цілі неотрицательные значення xj = 0, чи 1, чи 2, чи 3, …

Функції fj (xj) ми вважаємо заданими, помітивши, що їх визначення — досить трудомістка економічна задача.

Скористаємося методом динамічного програмування на вирішення цієї задачи.

Введемо параметр гніву й визначимо функцію стану. За параметр стану (приймемо кількість рублів, виділених кільком підприємствам, а функцію стану Fk (() визначимо як максимальну прибуток на перших k підприємствах, якщо вони отримують (рублів. Параметр (може змінюватися від 0 до b. Якщо з (рублів k-е підприємство отримає xk рублів, то яке було це значення, інші (- xk рублів природно розподілити між підприємствами від першого до (К-1)-го те щоб отримали максимальна прибуток Fk-1((- xk). Тоді прибуток k підприємств дорівнюватиме fk (xk) + Fk-1((- xk). Треба вибрати таке значення xk між 0 і (, щоб ця суму максимальної, і ми дійшли рекуррентному соотношению.

Fk (()=max{fk (xk) + Fk-1((-xk)}.

0 (xk ((для k = 2, 3, 4, …, n. Якщо ж k=1, то.

F1(() = f1(().

Розглянемо конкретний приклад. Нехай виробниче об'єднання полягає з чотирьох підприємств (n=4). Загальна сума капітальних вкладень дорівнює 700 тис. рублів (b=700), виділені підприємствам суми кратні 100 тис. рублів. Значення функцій fj (xj) наведені у таблиці 1, де, наприклад, число 88 означає, що й третє підприємство отримає 600 тис. крб. капітальних вкладень, то приріст прибутку у цьому підприємстві становитиме 88 тис. руб.

Таблиця I.

[pic].

Насамперед заповнюємо табл. 2. Значення f2(x2) складаємо зі значеннями F1((- x2) = f1((- x2) і кожної північно-східній діагоналі знаходимо найбільше, яке відзначаємо зірочкою і указуємо відповідне значення [pic]. Заповнюємо таблицю 3.

Продовжуючи процес, табулируем функції F3((), [pic](() тощо. У табл. 6 заповнюємо тільки один діагональ для значення (= 700. Найбільше на цієї диагонали:

Zmax = 155 тис. крб., причому четвертому підприємству має бути виділено х*4 = [pic]4 (700) = 300 тис. крб. Перед інших трьох підприємств залишається 400 тис. крб. З табл. 5 видно, що третьому підприємству має бути виділено x*3 = [pic]3 (700-x*4) = [pic]3 (400) = 200 тис. крб. Продовжуючи зворотний процес, знаходимо x*2 = [pic]2 (700 — x*4 — x*3) = [pic]2 (200) = 100 тис. крб. Перед першого підприємства залишається x*1 = 700 — x*4 — x*3 — x*2 = 100 тис. руб.

Отже, найкращим є що розподіл капітальних вкладень на підприємствах: x*1 =100; x*2 =100; x*3 = 200; x*4 = 300.

Воно забезпечує виробничому об'єднанню найбільший воможный приріст прибутку 155 тис. руб.

Студентові рекомендується перевірити виконання рівності f1(x*1) + f2(x*2) + f3(x*3) + f4(x*4) = z max.

Таблиця 2.

| |(- x2 | 0 100 200 300 400 500 600 | | | |700 | |x2 |F1((- x2) | 0 20 34 46 53 55 | | |f2(x2) |60 60 | |0 |0 | 0 20* 34 46 53 55 | | | |60 60 | |100 |18 | 18 38* 52* 64 71 73 | | | |78 | |200 |29 | 29 49 63 75 82 84 | |300 |45 | 45 65* 79 91 98 | |400 |62 | 62 82* 96 108 | |500 |78 | 78 98* 112* | |600 |90 | 90 110 | |700 |98 | 98 | | | |. |.

Таблиця 3 |(| 0 100 200 300 400 500 600 | | |700 | |F2(() | 0 20 38 52 65 82 | | |98 112 | |([pic](() | 0 0 100 100 300 400 500| | |500 |.

Таблиця 4 | |(- x3 | 0 100 200 300 400 500 600 | | | |700 | |x3 |F2((- x3) | 0 20 38 52 65 82 | | |f3(x3) |98 112 | |0 |0 | 0 20 38 52 65 82 | | | |98 112 | |100 |25 | 25* 45* 63* 77 90 107 123 | |200 |41 | 41 61 79* 93 106 123 | |300 |52 | 52 72 94* 112 126 | |400 |74 | 74 94* 112* 126* | |500 |82 | 82 102 120 | |600 |88 | 88 106 | |700 |90 | 90 | | | |. |.

Таблиця 5 |(| 0 100 200 300 400 500 600 | | |700 | |F3(() | 0 25 45 63 79 94 | | |112 126 | |[pic](() | 0 100 100 100 200 400 400| | |400 |.

Таблиця 6 | |(- x4 | 0 100 200 300 400 500 600 | | | |700 | |x4 |F3((- x4) | 0 25 45 63 79 94 | | |f4(x4) |112 126 | |0 |0 | | | | |126 | |100 |30 | | | | |142 | |200 |52 | | | | |146 | |300 |76 | 155* | |400 |90 | 153 | |500 |104 | 149 | |600 |116 | 141 | |700 |125 | 125 | | | |. |.

(9. Динамічна завдання управління виробництвом і які запасами.

Підприємство виробляє партіями деякі вироби. Припустимо, що його одержало замовлення n місяців. Розміри замовлень значно змінюються від місяці місяцю. Тому іноді краще виконувати однієї партією замовлення кількамісячної, та був зберігати вироби, поки вони знадобляться, ніж виконувати замовлення той саме місяць, коли це замовлення має бути відправлений. Необхідно скласти план виробництва на зазначені n місяців від урахуванням витрат за виробництво і збереження виробів. Означимо: xj — число виробів, які вироблялися jі місяць; yj — величина запасу до початку j го місяці (їх кількість зовсім позбавлений виробів, вирощених jм місяці); dj — число виробів, що їх отгружены в jі місяць; fj (xj, yj+1) — зберігання і виробництво виробів на jм месяце.

Вважатимемо, що величини запасів до початку першого місяця y1 і до кінця останнього yn+1 заданы.

Завдання у тому, щоб знайти план производства.

(x1, x2, …, xn).

(1).

компоненты якого задовольняють умовам матеріального баланса.

xj + yj — dj = yj+1 j = 1, n (2).

и мінімізують сумарні витрати за весь запланований период.

[pic] (3) причому за змістом задачи.

xj (0, yj (0, j = 1, n (4).

Перш ніж розпочати вирішення поставленого завдання, зауважимо, що з будь-якого місяці j величина yj+1 запасу наприкінці місяця має відповідати ограничениям.

0 (yj+1 (dj+1 + dj+2 + … + dn.

(5).

т.е. обсяг готової продукції xj на етапі j може бути настільки великий, що запас yj+1 задовольняє попит усім наступні етапи, але з має сенсу мати yj+1 більше сумарного попиту усіх наступних етапах. З іншого боку, з співвідношень (2) і (4) безпосередньо слід, що змінна xj має відповідати ограничениям.

0 (xj (dj + yj+1 (6).

Варто зазначити, що перемінні xj, yj можуть лише цілі неотрицательные значення, тобто. ми маємо завдання целочисленного нелінійного программирования.

Будемо вирішувати проблему (1)-(6) методом динамічного программирования.

Введемо параметр гніву й складемо функцію состояния.

За параметр стану (приймемо готівковий запас наприкінці kго месяца.

(= yk+1 (7).

а функцію стану Fk (() визначимо як мінімальних витрат за перші k місяців і під час умови (5).

[pic] (8).

где мінімум з неотрицательным цілим значенням x1,…, xk, що задовольняє умовам xj + yj — dj = yj+1 j = 1, k-1 (9) xk + yk — dk = ((10).

Учитывая, что.

[pic] (11).

и величина запасу yk до кінця (k-1) періоду, з рівняння (10), дорівнює yk = (+ dk — xk (12).

приходим до рекуррентному соотношению.

[pic] (13) де мінімум з єдиною перемінної xk, яка, відповідно до (6) може змінюватися в пределах.

0 (xk (dk + ((14).

принимая цілі значення, причому верхня межа залежить від значень параметра стану, мінливого в пределах.

0 (((dk+1 + dk+2 + … + dn (15).

а індекс k може приймати значення k = 2, 3, 4, …, n.

(16).

Если k=1, то.

F1((= y2) = min f1(x1, () (17) x1 де x1 = (+ d1 — y1 (18).

0(((d2 + d3 + … + dn (19) тобто. на початковому етапі знають при фіксованому рівні y1 вихідного запасу кожному значенням параметра (тільки одне значення перемінної x1, кілька зменшує обсяг вычислений.

Застосувавши відому обчислювальну процедуру динамічного програмування, на останньому кроці (при k = n) знаходимо значення останньої компоненти xn* оптимального рішення, інші ж компоненти визначаємо как.

[pic] (20).

Розглянемо докладніше функції витрат fj (xj, yj+1) і рекуррентные співвідношення. Пусть.

(j (xj) = axj2 + bxj + c.

(j (xj) — видатки виробництво (закупівлю) xj одиниць своєї продукції етапі j; hj — зберігання одиниці запасу, переходить з етапу j в етап j+1. Тоді видатки виробництво і збереження на етапі j равны.

fj (xj, yj+1) = (j (xj) + hj yj+1 = axj2 + bxj + з + hj yj+1.

(21).

Виведені раніше рекуррентные співвідношення динамічного програмування на вирішення завдання управління виробництвом і які запасами у разі приймають вид:

[pic] (22) де k = 2, 3, …, n.

(23).

0 (yk+1 (dk+1 + dk+1 + … + dn.

(24).

0 (xk (dk + yk+1 (25) yk = yk+1 + dk — xk (26) Якщо ж k=1, то.

[pic].

Залишається помітити, що корисно позначити вираження у фігурних дужках через.

(k (xk, yk+1) = axj2 + bxj + з + hkyk+1 + Fk-1(yk).

(31).

и записати рекуррентное співвідношення (22) в виде.

Fk ((=yk+1) = min (k (xk, yk+1) (32) xk де мінімум з целочисленной перемінної xk, задовольняє умові (25).

Приклад. Розглянемо трехэтапную систему управління запасами з дискретної продукцією і динамічним детермінованим спросом.

Нехай попит (заявки) споживачів на форумі нашу продукцію становлять: на перший етап d1=3 одиниці, другого — d2=2, втретє - d3=4 одиниці. До початку першим етапом складі є лише 2 одиниці виробленої продукції, тобто. початковий рівень запасу дорівнює y1=2. Витрати за зберігання одиниці виробленої продукції різними етапах різняться становлять відповідно h1=1, h2=3, h3=2. Витрати виробництва xj одиниць своєї продукції j-м етапі визначаються функцией.

(j (xj) = xj2 + 5xj + 2 [pic].

(33).

т.е. а=1; b=5; с=2. Потрібна вказати, скільки одиниць своєї продукції окремих етапах слід, щоб заявки споживачів задоволені, а наші загальні видатки виробництво і збереження на три етапу були найменшими. Вихідні ці завдання можна коротко записати однієї строкой:

d1 d2 d3 a b з h1 h2 h3 y1.

1 2 4 1 5 2 1 3.

2 2.

Скориставшись рекуррентными співвідношеннями, послідовно обчислюємо F1 ((= y2), F2 ((= y3), …, Fk ((= yk+1), … і знаходимо [pic]1 ((= y2), [pic]2 ((= y3), …, ([pic]k ((= yk+1), …

Поклавши k = 1. Відповідно до (27) имеем.

[pic] (34).

Візьмімо до уваги, що до (28) параметр стану (= у2 може приймати цілі значення на отрезке.

0 [pic] у2 [pic] d2 + d3.

0 [pic] y2 [pic] 2 + 4 тобто. у2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

У цьому, власне кажучи, кожному значенням параметра стану повинна відповідати певна область зміни перемінної x1, характеризуемая умовою (29).

0 [pic] х1 [pic] 3 + у2.

Проте, першому етапі обсяги виробництва х1 може бути менше одиниці, оскільки попит d1 = 3, а вихідний запас у1 = 2. Понад те, з балансового рівняння х1 + у1 — d1 = у2 безпосередньо слід, що міра виробництва пов’язане з значенням параметра стану (= у2 співвідношенням x1 = y2 + d1 — y1 = y2 + 3 — 2 = y2 +1 (35).

У цьому полягає особливість першим етапом. Якщо заданий рівень запасу до початку першим етапом, то кожному значенням у2 відповідає єдине значення х1 і потому.

F1((= y2) = (1 (x1, y2).

Надаючи у2 різні цілі значення від 0 доі враховуючи (35), знаходимо y2 = 0, x1 = 0+1 = 1, (1 (1;0) = 12 + 5(1 + 2 + 1(0 = 8 y2 = 1, x1 = 1+1 = 2, (1 (2;1) = 22 + 5(2 + 2 + 1(1 = 17 тощо. Значення функції стану F1(() представлені у табл. 1.

Таблиця 1 |(= y2 |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 | |F1 ((= y2) |8 |17 |28 |41 |56 |73 |92 | |x1((=y2) |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |.

Переходимо до другого етапу. Гадаємо k = 2 і табулируем функцію F2((= y3) з допомогою співвідношення (32).

[pic] (37).

Здесь мінімум з єдиною перемінної х2, яка може змінюватися, відповідно до (25), в пределах.

0 (x2 (d2 + y3 чи 0 (x2 (2 + y3 (38).

где верхня межа залежить від параметра стану (= у3, який, відповідно до (15), приймає значення на отрезке.

0 (y3 (d3, тобто. 0 (y3 (4.

(39).

а аргумент у2 у тому слагаемом справа у відсотковому співвідношенні (37) пов’язані з х2 і у3 балансовими рівнянням x2 + y2 — d2 = y3 звідки слід y2 = y3 + d2 — x2 = y3 + 2 — x2 (40).

Придавая параметру стану різні значення від 0 до запланованих 4, будемо послідовно обраховувати (2 (x2, (), та був визначати F2(() і [pic]2(().

Поклавши, наприклад (= у3 = 2. Тоді, відповідно до (38),.

0 (x2 (4,.

т.е. змінна х2 може приймати значення: 0, 1, 2, 3, 4, і кожному значенням х2 відповідає певне значення у2, вычисляемое за такою формулою (40): у2 = 4 — х2.

Послідовно знаходимо: якщо x2 = 0, то y2 = 4−0 = 4, (2 (0,2) = 02 + 5(0 + 2 + 3(2 + F1(4) = 8 + 56 = 64, x2 = 1, y2 = 4−1 = 3, (2 (1,2) = 12 + 5(1 + 2 + 3(2 + F1(3) = 14 + 41 = 55, x2 = 2, y2 = 4−2 =2, (2 (2,2) = 22 + 5(2 + 2 + 3(2 + F1(2) = 22 + 28 = 50, x2 = 3, y2 = 4−3 = 1, (2 (3,2) = 32 + 5(3 + 2 + 3(2 + F1(1) = 32 + 17 = 49*, x2 = 4, y2 = 4−4 = 0, (2 (3,2) = 42 + 5(4 + 2 + 3(2 + F1(0) = 44 + 8 = 52. Найкоротший з отриманих значень (2 є F2 (2), т. е.

F2 ((= y3 = 2) = min (2 (x2,2) = min (64, 55, 50, 49, 52) = 49, x2 причому мінімум характеризується значенні х2, равном.

([pic]2 ((= y3 = 2) = 3.

Аналогічно для значення параметра (= у3 = 3, провівши необхідні обчислення, найдем.

F2 ((= y3 = 3) = 63; ([pic]2 ((= y3 = 3) = 3.

Процес табулирования функції F2 ((= y3) приведено у табл. 2, а результати табулирования зведені в табл. 3.

Таблиця 3.

|(= у3 |0 |1 |2 |3 |4 | |F2 ((= y3) |24 |36 |49 |63 |78 | |[pic]((= |2 |2 |3 |3 |4 | |y3) | | | | | |.

Переходимо до наступного етапу. Гадаємо k=3 і табулируем функцію F3 ((= y4):

[pic].

Обчислюємо значення функції стану тільки одному значення аргументу (= у4 = 0, бо хочемо залишати продукцію у запас наприкінці досліджуваного періоду. Процес обчислень приведено у табл. 4. Получаем.

F3 ((= y4) = min (3 (x3,0) = min (80, 71, 65, 62, 62) = 62, x3 причому мінімум характеризується двох значеннях перемінної х3, равных.

([pic]3 ((= y4 = 0) = 3 чи ([pic]3 ((= y4 = 0) = 4.

Отже, ми маємо як мінімальні загальні видатки виробництво і збереження продукції, а й останню компоненту оптимального рішення. Вона равна.

[pic]= 3 чи [pic]= 4.

Розглянемо випадок, коли на останньому етапі плануємо випускати три одиниці продукции.

[pic]= 3.

Інші компоненти оптимального рішення знайдемо зі звичайних правилам методу динамічного програмування. Щоб знайти передостанню компоненту, врахуємо, що х3 + у3 — d3 = y4 или.

3 + у3 — 4 = 0, звідки у3 = 1.

З таблиці (3) значень [pic] находим.

[pic].

Аналогічно, продовжуючи рухатися у напрямку і врахувавши, що х2 + у2 — d2 = y3.

|[pic] |[pic] |[pic] |xk |yk = yk+1 + dk — |(k (xk, yk+1) =(k (xk) + hkyk+1 + Fk-1(yk) | | | | | |xk | | |0 (y3 (d3 |(= y3 |0 (x2 (d2 + y3 |x2 |y2 = y3 + d2 — x2 |(2(x2, y3) = a[pic] + bx + з + h2y3 + F1(y2)| |0 (y3 (4 |(= y3 |0 (x2 (2 + y3 |x2 |y2 = y3 + 3 — x2 |[pic] | | |y3 = 0 |0 (x2 (2 |x2 = 0|y2 = 2−0 = 2 |(2(0;0) = 02 + 5(0 + 2 + 3(0 + F1(2) =2+28 | | | | | |y2 = 2- 1 = 1 |=30 | | | | |x2 = 1|y2 = 2−2 = 0 |(2(1;0) = 12 + 5(1 + 2 +3(0 + F1(1)=8+17 =25| | | | | | | | | | | |x2 = 2| |(2(2;0) = 22 +5(2 + 2 + 3(0 +F1(0) =16+8=24*| | |y3 = 1 |0 (x2 (3 |x2 = 0|y2 = 3 — 0 = 3 |(2(0;1) = 02 + 5(0 + 2 + 3(1 + F1(3) = | | | | | |y2 = 3−1 = 2 |5+41=46 | | | | |x2 = 1|y2 = 3−2 = 1 |(2(1;1) = 12 + 5(1 + 2 + 3(1 + F1(2) =11+28 | | | | | |y2 = 3−3 = 0 |=39 | | | | |x2 = 2| |(2(2;1) = 22 + 5(2 + 2 + 3(1 + F1(1)=19+17 | | | | | | |=36* | | | | |x2 = 3| |(2(3;1) = 32 + 5(3 + 2 + 3(1 + F1(0)=29+8 | | | | | | |=37 | | |y3 = 2 |…|…|…|…| | | |… |. |… |… | | |y3 = 3 |0 (x2 (5 |x2 = 0|y2 = 5 — 0 = 5 |(2(0;3) = 02 + 5(0 + 2 + 3(3 + F1(5) = | | | | | |y2 = 5 — 1 = 4 |11+73=84 | | | | |x2 = 1|y2 = 5 — 2 = 3 |(2(1;3) = 12 + 5(1 + 2 + 3(3 + F1(4) =17+56 | | | | | |y2 = 5 — 3 = 2 |=73 | | | | |x2 = 2|y2 = 5 — 4 = 1 |(2(2;3) = 22 + 5(2 + 2 + 3(3 + F1(3)=25+41 | | | | | |y2 = 5 — 5 = 0 |=66 | | | | |x2 = 3| |(2(3;3) = 32 + 5(3 + 2 + 3(3 + F1(2)=35+28 | | | | | | |=63* | | | | |x2 = 4| |(2(4;3) = 42 + 5(4 + 2 + 3(3 + F1(1)=47+17 | | | | | | |=64 | | | | |x2 = 5| |(2(5;3) = 52 + 5(5 + 2 + 3(3 + F1(0)=61+8 | | | | | | |=69 | | |y3 = 4 |0 (x2 (6 |x2 = 0|y2 = 6 — 0 = 6 |(2(0;4) = 02 + 5(0 + 2 + 3(4 + F1(6) = | | | | | |y2 = 6 — 1 = 5 |14+92=106 | | | | |x2 = 1|y2 = 6 — 2 = 4 |(2(1;4) = 12 + 5(1 + 2 + 3(4 + F1(5) =20+73 | | | | | |y2 = 6 — 3 = 3 |=93 | | | | |x2 = 2|y2 = 6 — 4 = 2 |(2(2;4) = 22 + 5(2 + 2 + 3(4 + F1(4)=28+56 | | | | | |y2 = 6 — 5 = 1 |=84 | | | | |x2 = 3|y2 = 6 — 6 = 0 |(2(3;4) = 32 + 5(3 + 2 + 3(4 + F1(3)=38+41 | | | | | | |=79 | | | | |x2 = 4| |(2(4;4) = 42 + 5(4 + 2 + 3(4 + F1(2)=50+28 | | | | | | |=78* | | | | |x2 = 5| |(2(5;4) = 52 + 5(5 + 2 + 3(4 + F1(1)=64+17 | | | | | | |=81 | | | | |x2 = 6| |(2(6;4) = 62 + 5(6 + 2 + 3(4 + F1(0)=80+8 | | | | | | |=88 |.

|[pic] |[pic] |[pic] |xk |yk = yk+1 + dk — |(k (xk, yk+1) = (k (xk) + hkyk+1 + Fk-1(yk) | | | | | |xk | | |0 (y4 (0 |(= y4 |0 (x3 (d3 + y4 |x3 |y3 = y4 + d3 — x3 |(3(x3, y4) = a[pic] + bx3 + з + h3y4 + | | | | | | |F2(y3) | | y4 = 0 |(= y4 |0 (x3 (4 |x3 |y3 = y4 + 4 — x3 |[pic] | | |y4 = 0 |0 (x3 (4 |x3 = 0 |y3 = 4−0 = 4 |(3(0;0) = 02 + 5(0 + 2 + 2(0 + | | | | |x3 = 1 |y3 = 4- 1 = 3 |F2(4)=2+78=80 | | | | |x3 = 2 |y3 = 4−2 = 2 |(3(1;0) = 12 + 5(1 + 2 + 2(0 + | | | | |x3 = 3 |y3 = 4−3 = 1 |F2(3)=8+63=71 | | | | |x3 = 4 |y3 = 4−4 = 0 |(3(2;0) = 22 + 5(2 + 2 + 2(0 + | | | | | | |F2(2)=16+49=65 | | | | | | |(3(3;0) = 32 + 5(3 + 2 + 2(0 + | | | | | | |F2(1)=26+36=62* | | | | | | |(3(4;0) = 42 + 5(4 + 2 + 2(0 + | | | | | | |F2(0)=38+24=62* |.

Самопроверка результатов.

Таблиця 5 |Етапи |січень |лютий |березень |Разом за 3 місяці | |Маємо продукції до початку місяці, прим. |у1 = 2 |у2 = 1 |у3 = 1 |у1 = 2 | |Виконуємо впродовж місяця, прим. |х1 = 2 |х2 = 2 |х3 = 3 |х1+ х2+ х3 = 7 | |Відпускаємо замовникам, прим. |d1 = 3 |d2 = 2 |d3 = 4 |d1+ d2+ d3 = 9 | |Залишок наприкінці місяця (бережемо протягом |у2 = 1 |у3 = 1 |у4 = 0 | | |поточного місяці), прим. | | | | | |Витрати виробництва, крб. |((х1)=16|((х2)=16|((х3)=26|((х1) + ((х2) + ((х3) = 58 | |Витрати для зберігання, крб. |h1у2 = 1|h2у3 = 3|0 |h1у2 + h2у3 = 4 | или.

2 + у2 — 2 = 1, отримуємо у2 = 1; з таблиці (2) значень х1(() находим.

[pic]. Отже, оптимальний план виробництва має вигляд х1 = 2×2 = 3×3 = 3, а мінімальні загальні витрати становлять 62 единицы.

Корисна самоперевірка отриманого результату. І тому по вихідним даним і знайденому плану виробництва заповнюємо таблицю 5 й переконуємося, що заявки споживачів кожному етапі виконуються у1 + х1 (d1 у2 + х2 (d2 у3 + х3 (d3.

2 + 2 (3 1 + 2 (2 1 + 3 (4 І що сумарний обсяги виробництва і наявного до початку першим етапом запасу продукції дорівнює сумарною потреби у1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3.

2 + 2 + 2 + 3 = 3 + 2 + 4 і характеризується найменших можливих витратах виробництво та зберігання продукции.

((х1) + ((х2) + ((х3) + h1у2 + h2у3 = F3(y4=0).

16 + 16 + 26 + 1 + 4 = 62.

Студентові рекомендується знайти іншу варіант оптимальної виробничої програми, коли на останньому етапі передбачається зробити 4 одиниці продукції, і такий самий виконати самопроверку.

§ 10. Матрична модель виробничої програми предприятия.

Підприємство складається з n цехів. Кожен цех продукує тільки одна частка продукції. Нехай j-й цех випускає xj одиниць продукції, у тому числі yj одиниць відправляє межі підприємства як товарну продукцію, а залишається частина використовується іншими цехами предприятия.

Нехай ajk — у продукції j-го цеху, расходуемое виробництва одиниці виробленої продукції k-го цеху. Числа aij утворюють матрицю, А коефіцієнтів прямих витрат, звану структурної. Виробнича програма підприємства представляється вектором X (x1, …, xn), а випуск товарної продукції - вектором У (у1, …, уn). Очевидно,.

(Є - А) Х = У чи Х = (Є - А)-1 у.е.лементи будь-якого шпальти матриці (Є - А)-1, званої матрицею коефіцієнтів повних витрат, показують витрати всіх цехів, необхідних забезпечення випуску одиниці товарного продукту того цеху, номер якого збігаються з номером даного столбца.

При заданому векторі У випуску товарної продукції легко визначити виробничу програму Х і наоборот.

Доповнимо структурну матрицю, А матрицею У коефіцієнтів прямих витрат, одержуваних із боку сировини, напівфабрикатів тощо. Вочевидь, витрати одержуваних із боку матеріалів визначаються елементами матриці P. S, где.

У = (Є - А)-1У = P. S Знаючи знизили сировини й ринкові ціни готової продукції, можна підрахувати прибыль.

§ 11. Матрична гра як конкуренції, та сотрудничества.

Нехай гравці - Перший, і Другий, грають у матричну гру з матрицею [pic]. Нехай стратегія Першого є [pic], а Другого — [pic]. Тоді виграш Першого є випадкова величина (с.в.) [pic] із низкою распределения:

|[pic] |[pic]| |… | |[pic]| |… | |[pic]| | |[pic]| |… | |[pic]| |… | |[pic]|.

Математичне очікування цієї с.в., тобто. [pic] є середній виграш Першого. Нехай [pic] є дисперсія цієї с.в. Природно назвати середнє квадратическое відхилення с.в. [pic], тобто. [pic] ризиком для Першого при грі зі стратегіями [pic]. Оскільки виграш Першого є програш для Другого, то [pic] є випадковий програш Другого й [pic] цілком природно може бути ризиком ігри робилися із такими стратегіями й у Второго.

Припустимо спочатку, що гравці стурбовані лише максимизацией середнього доходу за партію гри — звичайна ціль десь у таких іграх. Тоді гравці будуть бавитися зі своїми оптимальними стратегіями: [pic] - Перший гравець і [pic] - Второй.

Математичне очікування з. в. [pic] називається ціною гри, позначимо її [pic].

Але що назвати ризиком всієї игры?

Обчислимо дисперсию виграшу Першого при оптимальних стратегіях игроков.

[pic].

Оскільки [pic], а ще через [pic] сума позначена [pic]. Зауважимо, що сумарно [pic] можна лише ті складові, які мають [pic].

Зауважимо тепер, що й Перший з стратегією [pic], а Другий відповідає [pic]-й чистої стратегією, то виграш першого, є с.в. із низкою распределения:

|[pic] |[pic]| |… | |[pic]| |… | |[pic]| | |[pic]| |… | |[pic]| |… | |[pic]|.

Якщо [pic] є оптимальна стратегія Першого, а [pic], те з теорії матричних ігор з травня нульової сумою відомо, що виграш Першого при таких стратегіях як і дорівнює ціні гри [pic], а дисперсія виграшу Першого у своїй дорівнює [pic], тобто дорівнює [pic]. Отже, що приміром із ризиком виграшу Першого, можна було зрозуміти, порівнявши дисперсию при оптимальних стратегіях [pic] і дисперсию [pic] чи величини [pic] і [pic]. Нехай [pic] Як неважко зрозуміти, якщо серед [pic] є різні числа, то [pic].

Нині можна зробити такий вывод:

Трішки відійшовши від міста своєї оптимальної стратегії (дивіться нижче Приклад) і в такий спосіб майже зменшивши свій виграш, Перший може значно зменшити свій ризик. У цьому зменшується і зростає ризик Другого, що відповідає і його интересам.

Суто математично можна сказати, що у описаної ситуації ризик виграшу Першого залежить від його стратегії непрерывно.

Розглянемо докладно приклад матричної ігри робилися із матрицею [pic]. Як відомо, загальний випадок у околиці оптимальних стратегій гравців зводиться до аналізу такий игры.

Приклад. Нехай матриця гри є [pic]. Графічне розв’язання цієї гри показано малюнку 1. [pic].

Ціна гри [pic], оптимальні стратегії гравців є [pic], [pic]. Дисперсія виграшу Першого при оптимальних стратегіях [pic], т. е. ризик гри становить близько 1. Далі обчислення дають [pic], [pic]; [pic],[pic] Приблизна, але досить точна залежність ризику Першого у малій околиці його оптимальної стратегії показано на рис. 2.

Як очевидно з рис. 2 при відході Першого від міста своєї оптимальної стратегії вправо, т. е. зі збільшенням ймовірності x вибору їм 1-ї рядки. Другий починає відповідати 1-ї чистої стратегією і соціальний ризик Першого стрибком збільшується до [pic], а при відході Першого від міста своєї оптимальної стратегії вліво Другий переходить зважується на власну 2-у чисту стратегію і соціальний ризик Першого стрибком знижується до [pic].

Аналогічне правильно, і щодо Другого. Коротко повторимо. Приблизна, але досить точна залежність ризику Другого у малій околиці його оптимальної стратегії показано на рис. 3. Як очевидно з рис. 3 при відході другого від міста своєї оптимальної стратегії вправо, т. е. зі збільшенням ймовірності у вибору їм 1-ї рядки Перший починає відповідати 2-ї чистої стратегією і зростає ризик Другого стрибком зменшується до [pic], а при відході другого від міста своєї оптимальної стратегії вліво Перший переходить зважується на власну 1-шу чисту стратегію і зростає ризик Другого стрибком збільшується до [pic].

Нехай [pic]. Цю величину і може бути ризиком всієї гри. Проте грати вже з таким ризиком можна лише за злагоді обох сторін. Для аналізованої гри [pic] і гравці задля досягнення такого ризику мають відігравати так: Перший з своєї оптимальної стратегією [pic] 3,5), а Другий повинен використовувати 2-у чисту стратегию.

(12. Аналіз дохідності і ризику фінансових операций.

Фінансовій називається операція, початкова й кінцеве стану якої мають грошову оцінку і чітку мету проведення якої в максимізації доходу — різниці між кінцевої і початковій оценками.

Майже завжди фінансові операції проводять у умовах невизначеності і тому їх результат передбачити неможливо заздалегідь. Тому фінансові операції рискованны, тобто. за її проведенні можливі як прибуток і збиток (або дуже велике прибуток за порівнянню з тим, потім сподівалися що проводили цю операцию).

Як оцінити операцію з погляду її дохідності і риска?

Є кілька різних способів. Найпоширенішим є уявлення доходу операції як випадкової розміру й оцінка ризику операції як середнього квадратического відхилення цього випадкового дохода.

Розглянемо якусь операцію, дохід якого є випадкова величина Q. Середній очікуваний прибуток (Q — це математичне очікування с.в. Q: [pic], де pi є можливість отримати дохід qi. А середнє квадратическое відхилення (СКО) [pic] - це міра незібраності можливих значень доходу навколо середнього очікуваного доходу. Цілком розумно вважати (кількісної мірою ризику операції, і позначити r. Нагадаємо, що дисперсия.

D[Q] = M [(Q — (Q)2] = M [Q2] - (Q2.

Розглянемо чотири операції Q1, Q2, Q3, Q, 4. Знайдемо середні очікувані доходи (Qi й ризики ri операций.

Лави розподілу, середні очікувані доходи і доходи риски:

|Q1 |: |5 |2 |8 |4 |(Q1 = 29/6 (4.81 |r1 (1.77| | | |½ |1/6 |1/6 |1/6 | | | | | | | | | | | | |Q2 |: |2 |3 |4 |12 |(Q2 = 25/6 (4.16 |r2 (3.57| | | |½ |1/6 |1/6 |1/6 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Q3 |: |8 |5 |3 |10 |(Q3 = 7 |r3 (2.30| | | |½ |1/6 |1/6 |1/6 | | | | | | | | | | | | |Q4 |: |1 |4 |2 |8 |(Q4 = 17/6 (2.81 |r4 (2.54| | | |½ |1/6 |1/6 |1/6 | | |.

Нагадаємо, як знаходити (Q і r.

(Q1 =(qipi = 5*½+2*1/6+8*1/6+4*1/6=29/6 j r1 = M [Q21 ] - (Q1)2; M [Q21] = 25*½+4*1/6+64*1/6+16*1/6=159/6;

Q21 = 841/36; D [Q1] = (159*6−841)/36 = 113/36; [pic].

Завдамо середні очікувані доходи (Q й ризики r на площину — дохід відкладаємо за горизонталлю, а ризики за вертикаллю (див. рис.):

Отримали 4 точки. Чим правіше точка ((Q, r), тим паче дохідна операція, ніж точка вище — тим паче вона ризикована. Отже, потрібно вибирати точку правіше і від. Крапка ((Q (, r () домінує точку ((Q, r) якщо (Q (((Q і r ((r. У нашому випадку 1-ша операція домінує 2-у, 3-тя домінує 2-гу і 3-тя домінує 4-ту. Але 1-ша і 3-тя операції непорівнянні - дохідність 3-й більше, а й ризик її теж больше.

Крапка, не доминируемая ніхто інший називається оптимальної по Парето, а безліч всіх таких точок називається безліччю оптимальності по Парето. Легко бачити, що з розглянутих операцій треба обирати кращу, то її неодмінно треба вибрати з операцій, оптимальних по Парето.

Для перебування кращої операції іноді застосовують підходящу взвешивающую формулу, яка для пар ((Q, r) дає одне число, за яким визначають кращу операцію. Наприклад, нехай взвешивающая формула є ((Q)= 2(Q — r. Тоді получаем:

((Q1)= 2*4.81−1.77 = 7.85; ((Q2)= 4.75; ((Q3)= 11.70; ((Q4)= 3.08.

Очевидно, що 3-тя операція — найкраща, а 4-та — худшая.

(13. Завдання формування оптимального портфеля цінних бумаг.

На фінансовому ринку обертається, зазвичай, безліч цінних паперів: державні цінних паперів, акції приватних фірм, векселі тощо. Цінна папір засвідчує можливість отримання деякого доходу. У випадку власник отримає певний випадковий дохід. З характеристик цінних паперів найбільш значимі дві: ефективність яких і ризикованість. Ефективність E є певний узагальнений показник доходу чи прибутку. Вважатимемо E випадкової величиною, її математичне очікування є mЕ. При дослідженні ринку дисперсию зазвичай називають варіацією V і ризикованість зазвичай ототожнюється із Середнім Квадратическим Відхиленням. Отже, V=D[E]= M[(EmЕ)2 ] і (=[pic]. Розглянемо спільне завдання розподілу капіталу, який учасник ринку хоче витратити для придбання цінних паперів, з різного виду цінних паперів. Нехай xi — частка капіталу, витрачена на закупівлю цінних паперів i-го виду. Нехай Ei — ефективність (вважатимуться, дохід за певний період часу) цінних паперів i-го виду, що стоять одну грошову одиницю. Через Vij будемо позначати ковариацию цінних паперів i-го і jго видів (чи кореляційний момент Kij). Нехай mi — математичне очікування ефективності Ei і (і = [pic], де Vii — варіація чи дисперсія цієї ефективності Ei. Ризикованість цінних паперів i-го виду ототожнимо зі середнім квадратическим відхиленням (i.

Набір цінних паперів, утримуваних учасника ринку, називається його портфелем. Ефективність портфеля (в найпростішому разі це дохід, принесений цінними паперами портфеля за який-небудь проміжок часу), власне кажучи, є випадкова величина, позначимо її через Eр, тоді очікуване значення цієї ефективності mp =M[Ep]=[pic]. Дисперсія портфеля є D[Ep ]= [pic]. Величина [pic] можна назвати ризиком портфеля. Зазвичай D[Ep] позначається Vp. Отже, висловили ефективність яких і ризик портфеля через ефективності складових його цінних паперів та його ковариации. Кожен власник портфеля цінних паперів стикається з дилемою: хочеться мати ефективність побільше, а ризик менше. Та оскільки «не можна впіймати двох зайців відразу », необхідно зробити певний вибір між ефективністю і ризиком. Математична формалізація завдання формування оптимального портфеля така: Знайти xi, що мінімізують варіацію ефективності портфеля.

Vp = [pic], за умови, що забезпечується заданий значення очікуваної ефективності портфеля mp, тобто. mp =[pic]. оскільки xi — частки, то сумі вони мають складати единицу:

[pic]=1. Рішення (оптимальне) це завдання позначимо *. Якщо x*i >0, це означає рекомендацію вкласти частку x*i готівкового капіталу цінних паперів i-го виду. Якщо ж x*i 7 .

Можна довести, що ризик оптимального портфеля залежно з його дохідності за наявності безризикових паперів дорівнює [pic], де [pic].

Постановку завдання формування оптимального портфеля (1) можна словами сформулювати так:

Сформувати портфель мінімального ризику із усіх мають ефективність щонайменше заданной.

Але так само природна і завдання формування портфеля максимальної ефективності із усіх мають ризик трохи більше заданого, тобто. знайти [pic], максимизирующие очікувану ефективність портфеля.

[pic] за умови, що забезпечується значення ризику портфеля трохи більше заданого, т. е.

[pic] оскільки [pic] - частки, то сумі вони мають складати одиницю: [pic].

Коли ринку є безрисковые папери, то такій постановці завдання формування такої оптимального портфеля має рішення, дуже схожа на (2): Оптимальний значення часткою [pic] ризикових паперів есть.

[pic] (3).

Можна довести, що ефективність портфеля максимальній ефективності залежно від заданого його ризику [pic] дорівнює [pic].

§ 14. Прийняття рішень на умовах неопределенности.

Припустимо, що ЛПР (Обличчя, Яка Набирає Рішення) розглядає кілька можливих рішень [pic]. Ситуація невизначена, зрозуміло, що є котрійсь із варіантів [pic]. Якщо приймуть [pic]-e рішення, а ситуація є [pic]-я, то фірма, очолювана ЛПР, отримає дохід [pic]. Матриця [pic] називається матрицею наслідків (можливих рішень). І який рішення потрібно ухвалити ЛПР? У цій ситуації повної невизначеності можуть бути висловлені лише ті рекомендації попереднього характеру. Не неодмінно будуть прийнято ЛПР. Багато чого залежатиме, наприклад, з його схильність до ризику. Але як оцінити ризик в даної схеме?

Припустимо, хочемо оцінити ризик, що несе [pic]-e рішення. Нам невідома реальна загроза. Але коли її знали, то вибрали б найкраще рішення, тобто. яке приносить найбільший дохід. Тобто. якщо є [pic]-я, було б ухвалено рішення, дає дохід [pic].

Отже, приймаючи [pic]-e рішення ми ризикуємо отримати не [pic], лише [pic], отже прийняття [pic]-го рішення несе ризик недобрати [pic]. Матриця [pic] називається матрицею рисков.

Приклад 1. Нехай матриця наслідків є [pic].

Складемо матрицю ризиків. Маємо [pic] Отже, матриця ризиків есть.

[pic].

А. Прийняття рішень на умовах повної неопределенности.

Не усе випадкове можна «виміряти «ймовірністю. Невизначеність — більш широке поняття. Невизначеність того, який цифрою вгору ляже гральний кубик відрізняється від невизначеності того, якою буде стан російської економіки через 15 років. Коротко кажучи, унікальні поодинокі випадкові явища пов’язані з невизначеністю, масові випадкові явища обов’язково допускають деяких закономірностей вероятностного характера.

Ситуація повної невизначеності характеризується відсутністю який би то не було додаткової інформації. Які існують правила-рекомендации прийняття рішень у цій ситуации?

Правило Вальда (правило крайнього песимізму). Розглядаючи [pic]-e рішення будемо думати, що у насправді ситуація складається сама погана, тобто. дає самий малий дохід [pic].

Але тепер уже виберемо рішення [pic] з найбільшим [pic]. Отже, правило Вальда рекомендує ухвалити будь-яке рішення [pic], таке что.

[pic].

Так було в вищевказаному прикладі, маємо [pic]Теперь з чисел 2,2,3,1 знаходимо максимальне. Це — 3. Отже, правило Вальда рекомендує прийняти 3-тє решение.

Правило Сэвиджа (правило мінімального ризику). При застосуванні цього правила аналізується матриця ризиків [pic]. Розглядаючи [pic]-e рішення будемо думати, що у насправді складається ситуація максимального ризику [pic].

Але тепер уже виберемо рішення [pic] з найменшою [pic]. Отже, правило Сэвиджа рекомендує прийняти зважене рішення [pic], таке что.

[pic].

Так було в вищевказаному прикладі, маємо [pic] Тепер із чисел 8,6,5,7 знаходимо мінімальне. Це — 5. Отже правило Сэвиджа рекомендує прийняти 3- е решение.

Правило Гурвіца (взвешивающее песимістичний і оптимістичний підходи до ситуації). Приймається рішення [pic], у якому досягається максимум.

[pic] де [pic]. Значення [pic] вибирається з суб'єктивних міркувань. Якщо [pic] наближається до 1, то правило Гурвіца наближається до правилу Вальда, з наближенням [pic] до 0, правило Гурвіца наближається до правилу «рожевого оптимізму «(угадайте самі, що це що означає). У вищевказаному прикладі при [pic] правило Гурвіца рекомендує 2-ге решение.

У. Прийняття рішень на умовах часткової неопределенности.

Припустимо, що у аналізованої схемою відомі ймовірності [pic] те, що реальна загроза розвивається за варіанту [pic]. Саме таке становище називається часткової невизначеністю. Як тут приймати рішення? Можна вибрати один з наступних правил.

Правило максимізації середнього очікуваного доходу. Доход, отримуваний фірмою при реалізації [pic]-го рішення, є випадкової величиною [pic] із низкою розподілу |[pi| |… | |[pi| |з] | | | |з] | |[pi| |… | |[pi| |з] | | | |з] |.

Математичне очікування [pic] це і є середній очікуваний прибуток, обозначаемый також [pic]. Отже, правило рекомендує ухвалити будь-яке рішення, яке приносить максимальний середній очікуваний доход.

Припустимо, що у схемою з попереднього п. ймовірності є (½, 1/6, 1/6, 1/6). Тоді [pic].

Максимальний середній очікуваний прибуток дорівнює 7, відповідає 3-у решению.

Правило мінімізації середнього очікуваного ризику. Ризик фірми при реалізації [pic]-го рішення, є випадкової величиною [pic] із низкою распределения.

|[pi| |… | |[pi| |з] | | | |з] | |[pi| |… | |[pi| |з] | | | |з] |.

Математичне очікування [pic] це і є середній очікуваний ризик, обозначаемый також [pic]. Правило рекомендує прийняти зважене рішення, після якої робляться мінімальний середній очікуваний риск.

Обчислимо середні очікувані ризики при зазначених вище ймовірності. Отримуємо [pic] Мінімальний середній очікуваний ризик дорівнює 7/6, відповідає 3-у решению.

Завдамо середні очікувані доходи [pic]и середні очікувані ризики [pic] на площину — дохід відкладаємо за вертикаллю, а ризики за горизонталлю (см. рис.):

Отримали 4 точки. Що точка [pic].

[pic], тим паче дохідна операція, .Q3 ніж точка правіше — тим паче вона ризикована. Отже, потрібно вибирати точку вищою, і лівіше. Крапка [pic] .Q1 домінує точку [pic], якщо [pic] .Q2 і [pic] хоча б одна з этих.

.Q4 нерівностей суворе. У нашому случае.

3-тя операція домінує все остальные.

[pic].

Крапка, не доминируемая ніхто інший називається оптимальної по Парето, а безліч всіх таких точок називається безліччю оптимальності по Парето. Легко бачити, що з розглянутих операцій треба вибрати кращу, що його неодмінно треба вибрати з операцій, оптимальних по Парето. У нашому разі, безліч Парето, тобто. оптимальних по Парето операцій, полягає тільки з однієї 3-й операции.

Для перебування кращої операції іноді застосовують підходящу взвешивающую формулу, яка для пар [pic] дає одне число, за яким визначають кращу операцію. Наприклад, нехай взвешивающая формула є [pic]. Тоді отримуємо: [pic].

[pic]. Очевидно, що 3-тя операція — найкраща, а 4-та — худшая.

З. Правило Лапласа.

Іноді за умов повної невизначеності застосовують правило Лапласа равновозможности, коли всі ймовірності [pic] вважають рівними. Після цього можна вибрати якесь із двох наведених вище правил-рекомендаций прийняття решений.

§ 15. Математико-статистичний аналіз данных.

про діяльність виробничого економічного объекта.

Мета математико-статистического аналізу даних, характеризуючих поведінка досліджуваного економічного об'єкта, у тому, щоб виявити тенденції зміни випуску продукції і на використовуваних ресурсів, встановити залежність між випуском та реальними витратами ресурсів немає і за цими тенденціям і залежностям знайти прогнози випуску на найближчу перспективу. Виявлення тенденцій встановлення залежностей між випуском і ресурсами здійснюється з допомогою методів екстраполяції часових рядів і регресійного аналізу, досліджуваних знає «Теорія ймовірностей і математична статистика «[ ]. Розрахунки по регрессионным моделям доцільно виконувати на персональних ЕОМ з допомогою пакетів прикладних програм, що мають у собі програми множинної лінійної регресії (наприклад, Statistica for Windows, Statgraf, SAS), проте можливе їхнє виконання на науковому калькуляторі по формулам регресійного аналізу, наведеним у [ ]. Техніку проведення розрахунків й отримання прогнозів покажемо з прикладу дослідження економіки США. Вихідні дані для розрахунків, узяті з наступних джерел: Economic Report of the President, 1995, Wash, 1995; Statistical Abstract of the USA, 1995, Wash, 1995, наведені у наступній таблиці. Валовий внутрішній продукт, (у цінах 1987 р.), основні виробничі фонди (у цінах 1987 р.) і кількість зайнятих в 1960;1995 рр. |№ |Рік |ВВП |ОПФ |Кількість | |в.п.| |(млрд. |(млрд. |зайнятих | | | |дол.) |дол.) |(млрд. чол.)| | | |Xt |Kt | | | | | | |Lt | |1 |1960 |1986,9 |5596,9 |65,8 | |2 |1961 |2035,7 |5685,6 |65,7 | |3 |1962 |2140,5 |5849,8 |66,7 | |4 |1963 |2234,2 |6098,9 |67,8 | |5 |1964 |2357,4 |6336,1 |69,3 | |6 |1965 |2493,3 |6621,5 |71,1 | |7 |1966 |2635,7 |6921,8 |72,9 | |8 |1967 |2705,6 |7237,0 |74,4 | |9 |1968 |2816,0 |7434,0 |75,9 | |10 |1969 |2891,0 |8062,0 |77,9 | |11 |1970 |2889,5 |8416,8 |78,7 | |12 |1971 |2978,2 |8596,7 |79,4 | |13 |1972 |3133,2 |9533,6 |82,2 | |14 |1973 |3298,5 |9718,1 |85,1 | |15 |1974 |3283,5 |9455,7 |86,8 | |16 |1975 |3250,2 |9493,2 |85,8 | |17 |1976 |3414,0 |9620,9 |88,8 | |18 |1977 |3568,2 |9755,9 |92,0 | |19 |1978 |3738,8 |11 217,1 |96,0 | |20 |1979 |3848,6 |12 117,0 |98,8 | |21 |1980 |3824,4 |11 691,4 |99,3 | |22 |1981 |3883,1 |11 987,8 |100,4 | |23 |1982 |3794,5 |10 717,1 |99,5 | |24 |1983 |3938,5 |10 849,2 |100,8 | |25 |1984 |4177,5 |11 989,2 |105,0 | |28 |1987 |4544,5 |13 063,7 |112,4 | |29 |1988 |4724,0 |13 382,5 |115,0 | |30 |1989 |4854,2 |13 838,9 |117,3 | |31 |1990 |5002,5 |15 411,8 |117,9 | |32 |1991 |4881,6 |14 295,5 |116,9 | |33 |1992 |4984,1 |14 252,1 |117,6 | |34 |1993 |5139,9 |14 412,5 |119,3 | |35 |1994 |5372,0 |15 319,8 |123,1 | |36 |1995 |5604,1 |15 939,2 |126,7 |.

а) Аналіз тенденцій зміни та прогнозування ВВП, ОПФ і кількості зайнятих. Аналіз тенденції зміни та прогнозування покажемо з прикладу ВВП. Якщо має місце лінійний тренд, то модель зміни ВВП набирає вигляду [pic],.

где [pic] - лінійний (щодо часу) тренд, [pic] - середнє ВВП (значення тренду) при t=0 ([pic] (x1 — [pic]), [pic] - середньорічний приріст ВВП, (t — відхилення фактичного значення ВВП від тренда.

Оцінки коефіцієнтів тренду наведені у [ ] і мають вид.

[pic].

Виконавши розрахунки на ЕОМ з допомогою зазначених ППП, або безпосередньо підставивши значення тимчасового низки ВВП (узяті з таблиці) за останні два формули, отримуємо оцінки коефіцієнтів тренду [pic] = 1854,1 — оцінка середнього значення ВВП 1959 р. (млрд. дол.) [pic] = 96,66 — оцінка середньорічного приросту ВВП (млрд. дол.), тим самим з оцінкою тренду Хt = 1854,1 + 96,66(t.

Прогноз здійснюємо за такою формулою (підставляємо майбутні значення часу у рівняння тренду) [pic] зокрема, (1996)[pic] = 1854,1 + 96,66(37 = 5430,6; (1997) [pic]= 5527,3; (1998) [pic] = 5623,9.

Так само знаходимо оцінки трендів і прогнозовані значення ОПФ і кількості занятых.

[pic] = 5071,7 + 290,05t;

[pic] (1996) [pic] = 5071,7 + 290,05(37 = 15 803,6; (1997) [pic] = 16 093,6; (1998) [pic] = 16 383,7;

[pic] = 60,36 + 1,796t;

[pic] (1996) [pic] = 60,36 + 1,796(37 = 126,8; (1997) [pic] = 128,6; (1998) [pic] = 130,4.

Зауваження. Отримані прогнози засновані на даних 1960 — 1995 рр. До на даний момент вже відомі фактичні дані за 1996 — 1998 рр., тому є можливість порівняти прогнозовані значення з фактичними. На наведених нижче малюнках показані фактичні, розрахункові (по лінійному тренду) і прогнозовані значения.

Прогноз ОПФ на 1996 — 1998 г. г.

(млрд. долл.).

[pic].

Прогноз числа зайнятих на 1996;1998 г. г.

(млн. чел.).

[pic] б) Встановлення залежності ВВП від ресурсів (ОПФ і кількості зайнятих) і прогнозування ВВП з допомогою знайденою залежності. Залежність ВВП від ОПФ і кількості зайнятих постулируем у вигляді мультипликативной функції [pic], де, А — коефіцієнт нейтрального технічного прогресу, (K, (L — коефіцієнти еластичності по фондам і з праці. При накладення цієї гіпотетичної залежності на реальні дані приходимо до наступній моделі [pic] [pic] - корректировочный коефіцієнт, який наводить розрахункові (по моделі) дані до фактичним. У логарифмах ця модель набуває вигляду рівняння регресії з цими двома незалежними перемінними [pic]. Вводячи у програмі лінійної множинної регресії як значень залежною перемінної логарифми ВВП (ln Xt, t = 1,…, T), а ролі значень двох змінних логарифми ОПФ (ln Kt, t = 1,…, T) і кількості зайнятих (ln Lt, t = 1,…, T), отримуємо внаслідок роботи програми оцінки параметрів регресії [pic]. Так розрахунки на ЕОМ з допомогою ППП «Statistica for Windows «по логарифмам похідних даних дали такі результати [pic], тому ([pic]= 2,248) [pic]. Використовуючи прогнозовані значення ресурсів, отримуємо прогноз ВВП з допомогою знайденою залежність від ресурсів (1996) [pic] (1997) [pic] = 5576,7; (1998) [pic] = 5680,1. На приводимом нижче малюнку показані фактичні, розрахункові (по лінійному тренду і з мультипликативной функції) значення ВВП.

Прогноз ВВП на 1996;1998 г. г.

(млрд. долл.).

[pic].

в) Висновки із наслідків розрахунків. Як очевидно з таблиці вихідних даних економіка США в 1960;1995 рр. перебувала у стані економічного зростання, яке переривається в 1960;1961 рр., 1969;1970 рр., 1974;1975 рр., 1980;1982 рр., 1990;1992 рр. кризами і спадами виробництва. Цей економічного зростання характеризується середньорічними приростами: ВВП — на 96,7 млрд. дол., ОПФ — на 290,1 млрд. дол., числа зайнятих — на 1,8 млн. чол. Збільшення ОПФ на 1% призводить до збільшення ВВП на 0,404%, а збільшити кількість зайнятих на 1% - на 0,803%, тобто. економічного зростання був фондосберегающим. Якби тенденції збереглися, чи до кінцю 1998 р. ОПФ становили б 16 383,7 млрд. дол. (зростання проти 1995 р. на 2,8%), ВВП сягнув би в 1998 р. значень: за прогнозу по лінійному тренду — 5623,9 млрд. дол. (зростання на 0,35%), за прогнозу на мультипликативной залежності - 5680,1 (зростання на 1,4%).

———————————- [pic].

[pic].

(2).

(2).

V.

II.

I.

t3.

181 3.

208 3.

IV.

M.

III.

t1.

181 3.

1 4.

М (.

).

5 42.

;60.

1 5.

[pic].

(6).

(5).

(30).

(29).

(28).

(27).

K=2.

K=3.

2 .

3 .

1 .

4 .

r.

(Q.

Рис. 2.

1/5.

Рис. 3.

[pic].

2/5.

[pic].

[pic].

Таблиця 2.

[pic].

[pic].

Рис. 1.

[pic].

Таблиця 4.

[pic].