Розв"язання задач на застосування векторів (реферат)

Тема: Розв’язання задач на застосування векторів.

Мета. Навчитися застосовувати вектори до розв’язання аналітичних, геометричних прикладних задач.

Задачі аналітичного характеру.

1.Довести, що $$$$ АВС рівнобедрений, прямокутний, якщо А (1−0), В (1−3), С (4−3).

Розв’язання

Знайти довжини сторін.

$$\text{АВ}=\sqrt{(1-1{)}^2+(3-0{)}^2}=3$$.

$$\text{ВС}=\sqrt{(4-1{)}^2+(3-3{)}^2}=3$$.

$$\text{АС}=\sqrt{(4-1{)}^2+(9+9{)}^2}=3\sqrt{2}$$.

Оскільки АВ=ВС, то $$$$

АСВ — рівнобедрений.

.

$${\text{АВ}}^2+{\text{ВС}}^2={\text{АС}}^2$$.

$$3^2+3^2=(3\sqrt{2}{)}^2$$.

18=18, виконується теорема Піфагора, а значить $$$$ АСВ — прямокутний.

Отже, $$$$ АСВ — рівнобедрений і прямокутний.

2.Дано вершити чотирикутника А (6- -1), В (5- 1), С (1- 2) і Д (2—4). Довести, що АС+ВД.

Задачі геометричного характеру.

1. 1.Знайти довжини діагоналей паралелограма, побудованого на векторах:

$$\stackrel{}{а}=6\stackrel{}{і}+3\stackrel{}{j}-3\stackrel{}{k}$$ і $$в=6\stackrel{}{і}+2\stackrel{}{j}-6\stackrel{}{k}$$.

В С.

$$\stackrel{}{a}$$.

$$$$.

А $$\stackrel{}{в}$$ Д.

Розв’язання

З геометричної точки зору.

$$\stackrel{}{\text{АВ}}=\stackrel{}{\text{АВ}}+\stackrel{}{\text{АД}}=\stackrel{}{а}+\stackrel{}{в}$$.

$$$$ $$\stackrel{}{\text{АС}}=(6\stackrel{}{і}+3\stackrel{}{j}-3\stackrel{}{k})+(3\stackrel{}{i}-2\stackrel{}{j}+6\stackrel{}{k})=9\stackrel{}{i}+\stackrel{}{j}+3\stackrel{}{k}$$.

$$\stackrel{}{\text{АC}}(9-1-3)$$.

$$(\stackrel{}{\text{АС}})=\sqrt{9^2+1^2+3^2}=\sqrt{\text{81}+1=9}=\sqrt{\text{91}}$$ (лін. од.).

$$\stackrel{}{\text{ДВ}}=\stackrel{}{\text{АВ}}-\stackrel{}{\text{АД}}=\stackrel{}{а}-\stackrel{}{в}$$.

$$$$ $$\stackrel{}{\text{ДВ}}=(6\stackrel{}{і}+3\stackrel{}{j}-3\stackrel{}{k})-(3\stackrel{}{i}-2\stackrel{}{j}+6\stackrel{}{k})=3\stackrel{}{i}+5\stackrel{}{j}-9\stackrel{}{k}$$.

$$$$ $$\stackrel{}{\text{ДВ}}(3-5--9)$$.

$$(\stackrel{}{\text{ДВ}})=\sqrt{3^2+5^2+(-9{)}^2}=\sqrt{9+\text{25}+\text{81}=9}=\sqrt{\text{115}}$$ (лін. од.).

2.Довести, що квадрат діагоналі прямокутного паралепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Задачі прикладного характеру.

1. 1.Знайти рівнодійну двох сил $$\stackrel{}{|F_1|}=5H$$, $$\stackrel{}{|F_2|}=7H$$, кут між ними 60о.

Розв’язання

$$\stackrel{}{F_1}$$.

$$\stackrel{}{F_2}$$.

$$\stackrel{}{R}=\stackrel{}{F_1}+\stackrel{}{F_2}$$.

$$(\stackrel{}{R}{)}^2=(\stackrel{}{F_{}}+\stackrel{}{F_2}{)}^2={|\stackrel{}{F_1}|}^2+2|\stackrel{}{F_1}||\stackrel{}{F_2}|\text{cos}+{|\stackrel{}{F_2}|}^2$$.

$${|\stackrel{}{R}|}^2=5^2+257\frac{1}{2}+7^2=\text{25}+\text{35}+\text{49}=\text{119}$$.

$$R=\sqrt{\text{119}}\text{10},\text{44}(H)$$.

1. 2.Обчислити роботу, яку виконує сила $$\stackrel{}{F}(6--2)$$, якщо точка її прикладення, рахуючись прямолінійно, переміщається з точки А9−3- 4) в т. В (-1- 3).

Відповідь: А=14 Дж.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. 1.В паралелограмі ОАСВ $$\stackrel{}{\text{OA}}=\stackrel{}{i}+\stackrel{}{j}$$, $$\stackrel{}{\text{OB}}=-\stackrel{}{i}+2\stackrel{}{j}+2\stackrel{}{k}$$. Знайти його діагоналі.

Відповідь: 3,61- 3.

1. 2.Обчислити площу $$$$ АСВ, якщо, А (1- 1- 1), В (2- 3- 4), С (4- 3- 2).

Відповідь: 4,9 кв.од.

1. 3.Під дією сили $$\stackrel{}{F}$$ матеріальна точка переміщується з положення, А в положення В.

Знайти роботу сили $$\stackrel{}{F}$$, якщо відомо, що $$\stackrel{}{|F_1|}=\mathrm{3,4}H,|\stackrel{}{\text{AB}}|=\mathrm{8,1}м$$, а величина кута $$(\stackrel{}{F},\stackrel{}{\text{AB}})$$ =60оС.

Відповідь: 13,8 Дж.