Параметри інтегралів

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли (результати у випадках «a» i «б» перевірити диференціюванням).

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Завдання 2. Обчислити площу фігури, обмежену вказаними лініями, ??= 4 — 3??. Виконати рисунок.

Завдання 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку:

???+ 2??? = 2?

Завдання 4. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння

??" - 2??? + 5? = 5 — 4? +2

який задовольняє початкові умови:

??(0) = 0, ???(0) = 2.

Завдання 5. Дослідити на збіжність числові ряди а)

б) в)

інтеграл диференційний рівняння числовий

Завдання 6. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду й дослідити його збіжність на кінцях інтервалу.

Вирішення завдання 1

а) Знайдемо методом підстановки. Замінюємо .

Отже,

??

2???=2???

???=???

=+??=

б) Знайдемо методом інтегрування частинами:

??=??

???=???

???=???

??=;

Отже,=??(- -= -??+=-??

в)

Розкладемо підінтегральну функцію на прості дроби:

= + +

1= ???(??+1) + ??(??+1)+ ???

1=??? + ??? + ??? + ?? + ???

1=(??+??)??? + (??+??)?? + ??

Тоді,

Тоді, + + = - ???|??| - + ???|??+1| +??

г) = =

Замінюємо, тоді

Розкладемо підінтегральну функцію на прості дроби:

= (1)

Зводимо до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники:

1 = ???(???-1)+??(???-1)+???(??+1)+???(??-1)

1 = ??? — ??? + ??? — ?? +??? + ??? + ??? — ??

1 = (??+??+??)??? + (??+??)??? + (-??)??+ (-??-??)

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях лівої та правої частини:

?? =- ;

?? = -?? =

??=0

Підставляємо знайдені значення у тотожність (1):

=

Тоді, = - ???|??-1| +

+ ???|??+1|+?? = - ???|-1| + ???|+1|+??.

Вирішення завдання 2

??= 4 — 3??; ?? -?

Знайдемо точки перетину параболи і прямої із системи їхніх рівнянь

? =±2 ?

Отже, точки перетину будуть (-2;10);(2;-2)

Зробимо малюнок. Знайдемо вершину параболи із рівняння

??'=(???-3??)'=2??-3=0

C (1,5;-2,25) — вершина параболи.

Вітки параболи направлені вгору, тому фігура знизу обмежена параболою, а зверху — прямою, тому:

Площа такої фігури:

??=

Оскільки функція парна, тому

Відповідь: Площа фігури, обмежена вказаними лініями, ??= 4 — 3? складає

Вирішення завдання 3

??'+2???=2?

Дане рівняння є лінійним, тому його розв’язок будемо шукати методом Бернуллі, тобто невідому функцію ?? будемо шукати у вигляді добутку двох невідомих функцій ??(??)та ??(??):

??=??· ??? ??'= ??'??+??'??

Підставляємо в рівняння:

??'??+??'??+2???=2?

Виносимо за дужки ??:

??'??+??(??'+2???)=2?

Нехай ??'+2???=0 (1)

Тоді ??'??=2??(2)

Розв’яжемо рівняння (1):

??'+2???=0

?? 2???? ? ??? ?? = - ?

? ?? =

Тоді рівняння (2)? ??'? ??'=2?? ??==???+?? ?

? ??=???+??

Тоді, =??· ??= (???+??) — загальний розв’язок.

Відповідь: Загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку ???+ 2??? = 2? становить (???+??).

Вирішення завдання 4

??" - 2??? + 5? = 5 — 4? +2

??(0) = 0, ???(0) = 2.

Дане рівняння є неоднорідним ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.

Його загальний розв’язок:

Знайдемо загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння:

Зробимо заміну

Складемо характеристичне рівняння:

Знайдемо його корені:

Тоді, ()=.

Шукаємо частинний розв’язок за виглядом правої частини:

Знайдемо похідні:

Підставимо їх в початкове рівняння:

??" - 2??? + 5? = 5 — 4? +2

Одержимо:

Прирівнюємо коефіцієнти при відповідних степенях обох частин рівняння:

Тоді,

Тоді,=+…

Знайдемо його похідну:

=++2?

Підставимо в та в його похідну початкові умови Де ,

Тоді,?

Підставимо значення сталих в і одержимо частинний розв’язок:

Відповідь: Частинний розв’язок диференціального рівняння

??" - 2??? + 5? = 5 — 4? +2, який задовольняє початкові умови: ??(0) = 0, ???(0) = 2 складає .

Вирішення завдання 5

а) — це числовий рід з додатніми членами. Його збіжність перевіряється за необхідною ознакою:

Якщо границя загального члена, то ряд розбіжний.

Обчислюємо =12 ?0, тому ряд розбіжний.

б)

Збіжність перевіримо за ознакою порівняння.

Підберемо ряд, який обмежує даний ряд зверху або знизу.

Очевидно, що при ?? буде

Розглянемо ряд із загальним членом Члени цього ряду утворюють нескінченно спадну геометричну прогресію із знаменником .

Тому за ознакою Даламбера ряд — збіжний.

Оскільки, члени досліджуваного ряду менші членів збіжного ряду, то даний ряд теж збіжний.

в) -це ряд Лейбніца.

Його збіжність перевіряється за ознакою Лейбніца.

1) Члени ряду повинні спадати по модулю.

Дійсно,

2) Загальний член ряду має прямувати до нуля:

.

Обидві умови виконуються, тому за ознакою Лейбніца даний ряд збігається.

Вирішення завдання 6

За умовою, загальний член цього ряду

Знайдемо наступний член Знайдемо границю їхнього відношення і накладемо умові, що вона :

Із нерівності знайдемо межі для ??:

— інтервал збіжності данного ряду.

Перевіримо ряд на збіжність на кінцях цього інтервалу:

1) ??, тоді .

Ряд з таким загальним членом є знакозмінним рядом Лейбніца, тому його збіжність перевіряють за ознакою Лейбніца:

1) виконується

2) виконується Тому ряд збіжний, і тому належить до області збіжності данного ряду.

3), тоді

Ряд перевіряється на збіжність за інтегральною ознакою:

Оскільки, функція ??(??) — неперервна і спадна на інтервалі [1;, то існує невласний інтеграл

Оскільки, невласний інтеграл розбіжний, то даний ряд теж розбіжний. Тому точка не належить до області збіжності початкового степеневого ряду.

- область збіжності.