Велика теорема Ферма

Великая теорема Ферма

Реферат підготував: Петров А. А.,

ГОРОДСКОЙ КЛАСИЧНИЙ ЛИЦЕЙ

9Б клас (физ-мат)

г. Кемерово — 1998

Биография Ферма

Пьер Ферма жив з 1601 по 1665 рік. Був він сином однієї з численних торговців мови у Франції, отримав юридичну освіту і спочатку адвокатом, а згодом став би навіть радником парламенту. Службові його обов’язки, далекі по змісту від математичних наук, залишали йому досить дозвілля, який Ферма і присвячував занять математичними дослідженнями. Завдяки своїм природним схильностям і наполегливості, необхідної під час роботи над питаннями математики, Ферма домігся великих успіхів у найрізноманітніших її областях. Та не математикою був він сильний: у галузі фізики, наприклад, їм сформульований основний принцип геометричній оптики, відомий під назвою «Принципа Ферма».

Ферма своїми роботами сприяв розвитку нових галузей у математиці: математичного аналізу, аналітичної геометрії (разом з Декартом), теорії вероятностей.

Главным внеском Ферма в алгебру стала розвинена їм теорія сполук чи, як її ще називають, комбінаторика. Окремі завдання теорії сполук було вирішено вже у давнини греками і індійцями, але наукова постановка цих питань виникла лише XVII столітті у роботах Ферма та її сучасника, знаменитого французького філософа, математика і фізика Блеза Паскаля. З основ комбінаторики, ці дві науковців світу й стали початком нової математичної науці, званої теорією ймовірностей, яка дістала у вісімнадцятому сторіччі значну теоретичну базу, при цьому він почала одержувати все більшого поширення і використовуватися в різних галузях науку й практичної діяльності. Насамперед, у неї застосовна до питань страхування, кому надалі область її застосування все розширювалася і расширялась.

Много уваги Ферма також приділяв і питання магічних квадратах. Ці квадрати спочатку стали відомі індійцям і арабам, і лише за доби середньовіччя вони з’явились в Західної Європи. Різні математики зацікавилися дослідженнями їх властивостей, це сприяло розвитку деяких математичних теорій. Ще Мезириак знайшов способи складання магічних квадратів з нечётным числом клітин, а потім уже Ферма поширив ідею складання магічних квадратів на простір, т. е. поставив запитання про впорядкування кубів, які мають властивостями, аналогічними властивостями магічних квадратов.

Хотя Ферма вніс великий внесок у розвиток теорії алгебраїчних чисел, доведення його доказів майже щодо одного разі знайдено були (доказ Великий теореми Ферма для n=4 — виняток, т. до. в рукописах він був). Деякі констатації, зроблені Ферма, були й узагалі помилковими, але теореми, повні докази яких, як стверджував Ферма, у нього були, все згодом було доведено (основний внесок у доказ яких вніс Эйлер). Але й одне виняток — приємне виняток — це Велика теорема Ферма:

История Великий теореми Ферма Большой популярністю в усьому світі користується «Велика теорема Ферма» (вона ж — «Велика» чи «Последняя»).

Великой теоремою Ферма називається то висновок, зроблена їм під час читанні виданій Мезириаком «Арифметики» Диофанта. На полях цієї книжки, не хочуть місця, де йдеться про рішення рівняння виду x2 + y2 = z2, Ферма написав: «Тим більше що, цілком неможливо розкласти повний куб у сумі кубів, четверту ступінь — у сумі четвёртых ступенів, взагалі якусь ступінь — у сумі ступенів з тим самим показником. Я знайшов воістину дивовижне доказ цього припущення, але тут замало місця, що його помістити». Це становище Ферма тепер формулюється як теорема наступного вигляді: «Рівняння xn + yn = zn може бути вирішили зробити раціональних числах щодо x, y і z при цілих значеннях показника n, великих 2» (загальновідомо, що з n=2 такі числа існують, наприклад, 3, 4, 5 — числа, які, якщо є довжинами сторін, утворюють знаменитий трикутник Піфагора). Справедливість цієї теореми підтверджується багатьом окремі випадки (у своїй не знайдено жодного спростування), проте досі пір вона доведено загалом, хоча їй цікавилися і її намагалися довести багато великі математики (в «Історії теорії чисел» Діксона прореферировано більш трьохсот робіт по цій проблемі). У 1907 року у місті Дармштадті у Німеччині помер математик Вольфскель, котрий заповів 100 000 марок тому, хто дасть повне доказ теореми. Негайно сотні й тисячі людей, спонукуваних самим прагненням до наживи, стали бомбардувати наукові нашого суспільства та журнали своїми рукописами, нібито що містять доказ теореми Ферма. Тільки Гёттингенское математичне суспільство за перші роки після оголошення заповіту Вольфскеля надійшло понад тисячі «рішень». Але премія ця досі нікому не видана через відсутність справжнього докази Великий теореми Ферма.

Элементарного докази Великої теореми Ферма немає на одне показника n ¹ 4.

Случай, коли n = 3, було доведено Эйлером ще 1768 року. І тому зажадав ще чимало років, щоб теорія, якої необгрунтовано користувався Эйлер при своєму доказі, було доведено Гауссом.

Доказательство теореми Ферма для випадку, коли n = 5, запропонували в 1825 року майже одночасно Лежен Дирихле і Лежандр. Своє доказ Дирихле опублікував 1828 року, але його було дуже складним, й у 1912 року і його спростив Племель.

Для наступного простого показника n = 7 теорема Ферма було доведено лише 1839 року Ламі. Доказ Ламо було майже відразу ж потрапляє вдосконалене Лебегом.

В 1847 року Ламо оголосив, що йому вдалося знайти доказ теореми Ферма всім простих показників n ³ 3. Метод Ламо був дуже далеке розвиток ідей Эйлера і грунтувався на арифметичних властивості чисел. Проте ж Лиувилль знайшов у міркуваннях Ламі серйозний прогалину, ніж спростував цей доказ. Ламі змушений був визнати свою ошибку.

На ЕОМ, користуючись ідеями Куммера і Вандивера довели справедливість теореми Ферма для всіх простих показників n < 100 000.

Доказательство леми 1 (Жермен) Если твір двох взаємно простих натуральних чисел є n-ой ступенем, то кожен із сомножителей також n-ой степенью:

ab = cn; НОД (a; b) = 1; a, b Î N.

Доказать: a = xn; b = yn.

Доказательство: Якщо розкласти cn на прості множники, то: cn = d1 * … * d1 * d2 * … * d2 * … * dm * … * dm, де кожного множника по n. Якщо ж розкласти на прості множники числа a і b, то із чисел d1 … dm підуть до a, якісь — до b, причому однакові піти й туди, і туди що неспроможні через те, що НОД (a; b) = 1, т. е. a є твором n-х ступенів якихось простих чисел, і b також — твір n-х ступенів якихось чисел, отже: a = xn; b = yn.

Доказательство леми 2 (вспомогательной).

x2 + y2 = z2(1).

Если (x; y; z) — рішення, то (y; x; z) також рішенням, оскільки x і y симетричні у цьому рівнянні. Припустимо, що z = 2k, тоді z2 = 4k, Якщо ж z = 2k — 1, то z2 = (2k — 1)2 = 4k2 — 4k + 1 = 4(k2 — k) + 1, отже, хоча одне з чисел x і y чётно, т. до. якби обидва вони були нечётными, то x2 + y2 = (2k — 1)2 + (2d — 1)2 = 4k2 — 4k + 1 + 4d2 — 4d + 1 = 4(k2 + d2 — k — d) + 2, чого не може, т. до. x2 + y2 = z2. З іншого боку (±x; ±y; ±z) є також рішенням рівняння, т. до. x2 = (-x)2; y2 = (-y)2; z2 = (-z)2.

Из цих зауважень безпосередньо слід, що мені досить знайти лише які з позитивних чисел примітивні рішення (x; y; z) рівняння (1), т. е. виключимо все наступні рішення: (±x; ±y; ±z), крім (x; y; z), (y, x, z), котрим x = 2a.

Лемма 2: «Будь-яке що складається з позитивних чисел примітивне рішення (x, y, z) рівняння (1), котрій x = 2a, виражається формулами:

x = 2mn; y = m2 — n2; z = m2 + n2,.

где n < m, НОД (m; n) = 1, m і n — числа різною чётности".

Доказательство: Нехай (x; y; z) — довільне, що складається з позитивних чисел примітивне рішення рівняння (1), де x = 2a. З рівняння 4a2 + y2 = z2 слід (z — y)(z + y) = 4k2. Чётность чисел z — y і z + y збігаються і твір їх одно 4k2, отже, z — y і z + y чётные. Нехай z + y = 2b; z — y = 2c, де b і з позитивні, т. до. y < z, з рівняння (1). Кожен загальний дільник l чисел b і з є й загальним делителем z = b + з і y = b — c.

НОД (y; z) = 1, т. до. (x; y; z) — примітивне рішення рівняння (1), отже, НОД (b; з) = 1. З іншого боку 4a2 = x2 = z2 — y2 = (z — y)(z + y) = 4bc, т. е. a2 = bc. Отже, відповідно до лемме 1, применённой випадку, коли n = 2, є такі взаємно прості позитивні числа різною чётности m і n, що b = m2; з = n2. Тоді a2 = (mn)2, т. е. a = mn и.

x = 2a = 2mn; y = b — з = m2 — n2; z = b + з = m2 + n2.

Для завершення докази залишається тільки додати, що n < m, т. до. x, y > 0.

Доказательство теореми Ферма для показника 4.

x4 + y4 = z4.

Докажем ще більш загальний случай:

«Уравнение.

x4 + y4 = z2(2).

не має рішень на цілих відмінних нуля числах".

Доказательство: Припустимо, що є рішення рівняння (2) у цілих відмінних нуля числах. Зрозуміло, що, не втрачаючи спільності, ми можемо вважати, що його складається з попарно взаємно простих позитивних чисел (якщо (x; y; z) розв’язує рівняння (2), то, відразу ж потрапити видно, що (lx; ly; lz) є також його рішенням). Позаяк у будь-якому безлічі натуральних чисел існує найменше із них, але серед всіх таких рішень знайдеться рішення (x; y; z) з найменшою z. Розглянемо саме це решение:

Так ж, як і при доказі леми 2 негайно доводиться, що зі чисел x і y має бути чётным. Припустимо, що чётно число x. Це також спільності не ограничивает.

Так як числа x2, y2 і z позитивні і взаємно прості, а число x2 чётно, відповідно до лемме 2, існують такі взаємно прості числа m і n < m різною чётности, що x2 = 2mn; y2 = m2 — n2; z2 = m2 + n2. Якщо m = 2k і n = 2f +1, то y = 4(k2 — f2 — f — 1) + 3, що організувати неможливо, бо, як вище вже було зазначено, будь-який квадрат повинен мати вид 4k + 1, чи 4k. Отже, m — нечётно, а n — чётно.

Пусть n = 2q. Тоді x2 = 4mq і тому mq = (x/2)2. Оскільки НОД (m; q) = 1, а x чётно, то, з леми 1, m = z12; q = t2, де z1 і t — деякі цілі взаємно прості позитивні числа. Зокрема, рівняння y2 = m2 — n2 той самий, як і y2 = (z12)2 — (2t2)2, т. е. (2t2)2 + y2 = (z12)2.

Так як НОД (t; z1) = 1, чи до цьому нерівності знову застосовна лема 2. Отже, є такі позитивні взаємно прості числа a і b 0.

Таким чином, припущення щодо існування в записаного вище рівняння (2) цілочислових рішень призводить до суперечності. Отже, це рівняння немає рішень у цілих відмінних нуля числах.

Примечания до доказательствам Доказательство леми 1 тут дано чи, відомого ще з середньовіччя, бо, що придумав сам, яке засноване більшою мірою на логічних висновках. Теорему Ферма для показника 4 (і всі що додаються його докази леми) — це єдина теорема, доведена тут, т. до. доказ її вважається елементарним, т. е. заснованим на простих алгебраїчних перетвореннях чисел, відомим ще індусам. Доказ то було тут слід, т. до. ще у Ферма він був, лише у іншій форме.

Во Франції не недавно з’явилася книга, що є, начебто, повним доказом Великої теореми Ферма, проте у ній використано стільки нових у математиці абстрактних понять, що перевірити ці праці, крім автора, хто б может.

Список литературы

М. М. Постніков «Теорему Ферма», М., 1978.

Б. У. Болгарський «Нариси з історії математики», Мінськ, 1979.

М. Я. Выгодский «Довідник по елементарної математиці», М., 1974.

Сеть Internet.

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.