Інтегрування раціональних дробів (реферат)

Реферат на тему:

Інтегрування раціональних дробів Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чи­сельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд.

$$\frac{P(x)}{Q_m(x)}=\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n-1}+a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+b_2{x}^{m-2}+\text{.}\text{.}\text{.}+b_{m-1}x+b_m},$$.

де аі та bk — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, …, n;

k = 0, 1, 2, …, m.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщo $$n>=m$$ .

Якщо $$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$$ дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержа­ти заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного ра­ціонального дробу, тобто.

$$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=M_{n-m}(x)+\frac{R(x)}{Q_m(x)}$$.

Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:

I. $$\frac{A}{x-},$$ II. $$\frac{A}{(x-{)}^k}$$ $$\left(k>=\mathrm{2,}\text{ціле}\right),$$.

III. $$\frac{\text{Dx}+E}{x^2+\text{px}+q}\left(\frac{p^2}{4}-q<0\right),$$.

IV. $$\frac{\text{Gx}+F}{(x^2+\text{rx}+s{)}^l}\left(l>=\mathrm{2,}\text{ціле},\frac{r^2}{4}-s<0\right)$$.

Умова $$\frac{p^2}{4}-q<0$$ означає, що квадратний тричлен х2 + px + q не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен x2 + rx + s.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

І. $$\frac{\text{Adx}}{x-}=A\frac{d(x-)}{x-}=A|\text{ln}x-|+C$$.

ІІ. $$\frac{\text{Bdx}}{(x-{)}^k}=B(x-{)}^{-k}d(x-)=B\frac{(x-{)}^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{B}{(-k+1)(x-{)}^{k-1}}+C$$.

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочат­ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

ІІІ. $$\frac{\text{Dx}+E}{x^2+\text{px}+q}\text{dx}=\frac{\text{Dx}+E}{{\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2+q-\frac{p^2}{4}}\text{dx}=$$.

$$\left(x+\frac{p}{2}=t,\text{оскільки}x=t-\frac{p}{2},q-\frac{p^2}{4}>\mathrm{0,}\text{то}\text{dx}=\text{dt},\text{позначимо}q-\frac{p^2}{4}=k^2\right)$$.

$$=\frac{D\left(t-\frac{p}{2}\right)+E}{t^2+k^2}\text{dt}=\frac{Dt-\frac{\text{Dp}}{2}+E}{t^2+k^2}\text{dt}=D\frac{\text{tdt}}{t^2+k^2}+\frac{2E-\text{Dp}}{2}\frac{\text{dt}}{t^2+k^2}=$$.

$$D\frac{1}{2}\text{lm}|t^2+k^2|+\frac{2E-\text{Dp}}{2}\frac{1}{k}\text{arctan}\frac{t}{k}+C$$.

Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що або $$k=\sqrt{\frac{4q-p^2}{2}},$$ одержимо:

$$\begin{array}{c}\frac{\text{Dx}+E}{x^2+\text{px}+q}\text{dx}=\frac{D}{2}\text{ln}|\left(x+\frac{p^2}{2}\right)+q-\frac{p^2}{4}|+\frac{2E-\text{Dp}}{2}\frac{1}{\sqrt{4q-p^2}}x\\ \end{array}$$.

$$\text{arctan}\frac{\left(x+\frac{p}{2}\right)2}{\sqrt{4q-p^2}}+C=\frac{D}{2}\text{ln}|x^2+\text{px}+q|+\frac{2E-\text{Dp}}{\sqrt{4q-p^2}}\text{arctan}\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$$.

Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.