Знаходження екстремуму функції від багатьох змінних (реферат)

Реферат на тему:

Знаходження екстремуму функції.

від багатьох змінних.

Означення. Точка $$\frac{\text{dx}}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsin}x+C$$ називається точкою максимуму (мінімуму) функції $$z=f\left(x,y\right)$$, якщо існує окіл точки $$\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\text{ln}|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$ такий, що для всіх точок цього околу виконується нерівність $${\left(\frac{x^4}{4}+C\right)}^{}=4\frac{x^3}{4}+0+x^3$$ (відповідно $$\frac{\text{dx}}{\sqrt[4]{x}}=x^{-1/4}\text{dx}=\frac{x^{3/4}}{3/4}=\frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3}+C$$).

За аналогією із функцією від однієї змінної, для функції від двох змінних $$4^{x-1}\text{dx}=\frac{4^{x-1}}{\text{ln}4}+C$$ маємо такі необхідні умови екстремуму:

$$\text{kf}(x)\text{dx}=kf(x)\text{dx}$$ (6.3).

Як і раніше, ці умови не обов’язково є достатніми.

Отже, відшукання екстремумів функції від багатьох змінних $$y=f(x_1,\text{.}\text{.}\text{.}\text{.},x_n)$$ полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь.

$$[f(x)+g(x)]\text{dx}=f(x)\text{dx}+g(x)\text{dx}$$ ,.

розв’язати її, знайшовши критичні (стаціонарні) точки $$f(x)\text{dx}=f((t)){}^{\text{'}}(t)\text{dt}$$, які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму.

Означення.

Вектор $$\text{udv}=uv+\text{vdu}$$ (6.4).

називається градієнтом функції $$3^{\frac{x}{4}}\text{dx}=3^{t}4\text{dt}=43^t\text{dt}=4\frac{3^t}{\text{ln}3}+C=4\frac{3^{\frac{x}{4}}}{\text{ln}3}+C$$ .

Очевидно, що градієнт задає напрям найшвидшого зростання функції $$\frac{\text{dx}}{\sqrt[4]{2x}}$$ .

Очевидно також, що необхідну умову екстремуму можна записати так: $$\frac{\text{dx}}{\sqrt[4]{2x}}=\frac{1}{2}\frac{\text{dt}}{\sqrt[4]{t}}=\frac{1}{2}{t}^{-1/4}\text{dt}=\frac{1}{2}\frac{4}{3}{t}^{3/4}+C=\frac{2}{3}\sqrt[4]{(2x{)}^3}+C$$ .

Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох змінних.

Теорема (без доведення).

Нехай функція $$f(x,y)$$ визначена в деякому околі точки $$x\sqrt[3]{x+1}\text{dx}$$ і f0, y0)= f0, y0)=0. Нехай A= fxx (x0,y0), B = fxy (x0,y0) та C = fyy (x0,y0) неперервні. Тоді при AC-B2 > 0 у точці (x0,y0) функція має екстремум (при A<0 — максимум, при A>0 — мінімум).

При AC-B2<0 екстремуму немає (перегин, сідлова точка, тощо).

Зазначимо, що невиконання достатніх умов не означає того, що екстремуму немає.

Приклад. Знайти екстремум функції z = x3+y3−3xy.

Маємо $$x\sqrt[3]{x+1}\text{dx}=(t^3-1)t3t^2\text{dt}=3t^6\text{dt}-3t^3\text{dt}=$$ $$=\frac{3}{7}{t}^7-\frac{3}{4}{t}^4+C=\frac{3}{7}\sqrt[3]{x+1}-\frac{3}{4}(\sqrt[3]{x+1}{)}^4+C$$.

Розв’язуємо систему $$\text{sin}4\text{xdx}=-\frac{1}{4}\text{cos}4x+C$$ ,.

звідки знаходимо дві критичні (стаціонарні) точки: M0=(0,0) та M1(1,1).

Обчислюємо другі частинні похідні:

$$x^3\text{ln}\text{xdx}$$ — $$\text{du}=\frac{\text{dx}}{x}-v=x^3\text{dx}=\frac{x^4}{4}$$ — $$C=\frac{{}^{2}z}{y^2}=6y$$ .

У точці M0=(0,0) маємо: A=0, B= -3, C=0, отже, AC-B2 = -9<0, тобто екстремуму немає.

У точці M1(1,1) маємо: A=6, B= -3, C=6, отже, AC-B2=27>0,.

A=6>0.

Функція z = z (x, y) має мінімум у точці (1,1) .

Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n (n>2) змінних y=f (x1…xn).

Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю Гессе).

$$x^3\text{ln}\text{xdx}=\text{ln}x\frac{x^4}{4}-\frac{x^4}{4}\frac{\text{dx}}{x}=\frac{x^4\text{ln}x}{4}-\frac{1}{4}{x}^3\text{dx}=\frac{x^4\text{ln}x}{4}-\frac{1}{\text{16}}{x}^4+C$$ .

Означення. Матриця H=H (x1…xn) називається додатно визначеною в точці ($${\text{xe}}^{2x}\text{dx}$$), якщо визначники M1>0, M2>0,…, Mn>0, де.

M1 = $${\text{xe}}^{2x}\text{dx}=\frac{1}{2}{\text{xe}}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{2x}\text{dx}=\frac{1}{2}{\text{xe}}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$$ ;

$$\begin{array}{c}\frac{x+3}{x^2-8x+\text{25}}\text{dx}=\frac{x+3}{(x-4{)}^2+9}\text{dx}\begin{array}{c}(\text{заміна}x-4=t)\\ \\ \frac{t+7}{t^2+9}\end{array}\text{dt}=\\ \end{array}$$ ;

… (6.5).

$$\begin{array}{c}=\frac{\text{tdt}}{t^2+9}+7\frac{\text{dt}}{t^2+9}=\frac{1}{2}\frac{2\text{tdt}}{t^2+9}+7\frac{\text{dt}}{t^2+9}\begin{array}{c}(\text{заміна}{t}^2+9=u)\\ \\ \frac{1}{2}\frac{\text{du}}{u}+7\frac{\text{dt}}{t^2+9}\end{array}=\\ \end{array}$$ .

Означення. Матриця H=H (x1…xn) називається від'ємно визначеною, якщо M1>0, M2<0, M3>0,…,(-1)nMn>0.

У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними.

Правильно й таке: матриця є від'ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є від'ємними.

Теорема .

Нехай функція z = f (x1…xn) визначена в околі точки ($$=\frac{1}{2}\text{ln}|u|+\frac{7}{3}\text{arctg}\frac{t}{3}+C=\frac{1}{2}\text{ln}|t^2+9|+\frac{7}{3}\text{arctg}\frac{t}{3}+C=$$) і $$=\frac{1}{2}\text{ln}|(x-4{)}^2+9|+\frac{7}{3}\text{arctg}\frac{x-4}{3}+C$$ .

Тоді в разі додатної визначеності матриці Гессе (A>0, AC-B2>0, …) в точці ($$x_1^0\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n^0$$) функція z = f (x1…xn) має мінімум, а в разі від'ємної (A<0, AC-B2>0, …) — максимум.

Зазначимо, що задача відшукання найбільшого і найменшого значення функції від багатьох змінних у деякій замкнутій області відрізняється від задачі знаходження екстремумів. Спеціальні методи вивчають в курсі «Математичне програмування» .