Скалярная проекція гиперкомплексных чисел

Скалярная проекція гиперкомплексных чисел

Каратаев Е.А.

При першій же його спробі розгляду гиперкомплексных чисел як підставу для відповідної геометрії виникає бажання знайти у гиперкомплексных числах аналоги геометричних понять. І з перших труднощів стає пошук аналога скалярного твори. Якщо геометрії є проекція відрізка, в векторної алгебрі є скалярне твір, то чому йому це поняття відповідає гиперкомплексных числах?

Стремление до спільності визначення наштовхується на цілий ряд понять, які опинилися запроваджені у «класичному підході як, кажуть студенти, «підгонки». І скалярне твір, і поєднання, як з’ясувалося, ввели в математику аксіоматично і теореми, использоваашие їх визначення, природним чином засвідчили їхню властивості, що випливають однозначним чином, з визначення.

Классическая форма (билинейная форма) було використано, наприклад, в теоремі Гурвіца і тих самим було запроваджено обмеження на набір аналізованих алгебр. Подальші спроби розвитку теорії гиперкомплексных алгебр пішли за шляху розгляду властивостей алгебр, які виникають шляхом подвоєння і видів використання цих властивостей, а, по шляху розгляду алгебр над полями з усе глибшої їх структуризацією.

Мне хотілося до кінця з’ясувати питання — що аналогом скалярного твори на гиперкомплексных числах і, порівнявши два підходу, з’ясувати, де перебувають білих плям класичного підходу. І скромно припустити напрям досліджень, що може дати, можливо, корисні у техніці і фізиці результати.

Скалярное ж твір у «класичній геометрії, обумовлений як билинейной форми, до гиперкомплексным числам не підходить у випадку, оскільки автоматично означає і висунув вимогу билинейности квадрата модуля. А таких вимог відповідає менша частина алгебр. Інші мають визначення 4-го ступеня модуля в вигляді 4-х лінійної форми, чи, можливо, ще більше високого порядку.

В цій статті й робиться спроба відшукання формально загального визначення скалярного твори на формі, допускає його застосування до таких алгебрам з 4-х лінійними формами.

1. Класичний подход..

Возьмем на площині два вектора.

.

.

Обозначим кінці даних векторів відповідно через X і Y. З формули для відстані між двома точками маємо:

.

.

.

откуда слід.

(1).

Из цього рівності, з урахуванням теорему Піфагора, легко побачити, що необхідним і достатня умова перпендикулярности і є.

.

Заметим, що й це ж міркування застосувати до векторах не так на площині, а просторі, одержимо умова перпендикулярности в аналогічної формі:

.

Формула (1) викликає думку пов’язати з кожної парою векторів і на площині число.

(2).

а у просторі - число.

(2').

Это число в геометрії називають скалярним твором векторів і і позначають (x, y). Зауважимо, що довжина довільного вектора x виражається через скалярне твір. Як-от, у разі площині.

.

а у разі простору.

.

Вышеприведенный хід міркувань узятий із книжки [1] і є свого роду зразком. Зазначу ще раз, що скалярне твір вводиться з урахуванням теореми Піфагора, а чи не навпаки, що інколи намагаються довести ледачі студенти.

К основним властивостями скалярного твори відносять:

1) , причому (x, x) лише за x = 0.

2) (x, y) = (y, x).

3) (x, ky) = k (x, y) де k — будь-яке дійсне число.

4) (x, y+z)=(x, y)+(x, z).

При будь-якому узагальненні, як пишуть Кантор і Солодовников, поняття скалярного твори на n — мірний випадок бажано, щоб властивості 1) — 4) зберегли силу. Через це приймемо таке визначення.

Определение. Говоритимемо, що у n — мірному векторном просторі An поставлено скалярне твір, якщо кожним двом векторах x і y зіставлять деяке дійсне число — позначимо його (x, y) — отже виконані властивості 1), 2), 3), 4). Кількість (x, y) називатимемо скалярним твором вектора x на вектор y.

В загальнішому вигляді скалярне твір окреслюється.

.

где — базисні вектора.

Величины.

.

являются постійними числами, залежними тільки від обраного базису. Отже, якщо обраний базис, то.

.

Вышеприведенное класичне визначення скалярного твори зіграло у математиці свого роду роль фундаменту, і вельми міцного і ґрунтовнішого. І великому жалю такий назву успіхів у финслеровых геометриях, коли величина вектора визначається не через билинейную форму, а ще через n — лінійну.

2. Геометрична трактування проекции..

Для запровадження визначення скалярного твори на формі, припустимою до використанню, розглянемо принцип формування проекції і спробуємо її формалізувати. Зазначимо звичні вектора в 2-х чи 3-х мірному просторі.

.

Проекцией назвемо величину, рівну відстані з початку координат до точки перетину вектора A з перпендикуляром, збудованим нею з точки B. Тепер уявімо собі, що простір — цей простір компонент гиперкомплексного числа, і отже побудувати перпендикуляр ми що поспіль не можемо, оскільки це поняття ще визначено.

Теперь повернемо обидва наших аектора те щоб вектор A припала на одній з осей. І тут проекція вектора B на вектор A визначається особливо просто — треба взяти компоненту, відповідну осі X, і це величина і буде проекцією.

Для здобуття права цей методу працював у довільно взятій системі гиперкомплексных чисел Кэли — Діксона, виберемо як такий цільової осі для доворота справжню вісь, що у будь-який алгебрі Кэли — Діксона визначено справжня компонента.

Отметим те що, що поворот має здійснюватися у площині, що проходить через справжню вісь і ми можемо використати механізм скалярно — просторових поворотів, описаний у роботі [2]. Що стосується використання алгебр, коммутативных по множенню, поворот може бути здійснений як і, як у звичайній комплексної площині, шляхом простого множення на оператор повороту.

3. Скалярная проекція гиперкомплексных чисел..

Будем шукати оператор повороту як.

.

Будучи застосованим до вектору A, такого повороту має дати дійсне число:

.

Несложно бачити, що цьому рівнянню задовольняє рішення.

.

.

Или, інакше кажучи, сам вектор A і задає оператор повороту, який слід його повернути, щоб отримати дійсне число.

Применив цей оператор повороту до вектору B, одержимо:

.

И у тому, щоб отримати проекцію, взяти справжню частина вектора B' і започаткувати відповідну нормировку, оскільки зазначеним поворотом ми спотворили величину модуля вектора B.

.

К числу дуже важливих властивостей скалярного твори належить:

.

Поэтому, намагаючись знайти для гиперкомплексных чисел повну аналогію скалярному твору, не будемо використовувати нормировок. І тут певне вище правило виглядає як:

.

И для випадку A = B перетворюється на.

.

Перечислим вкотре властивості скалярного твори на класичному варіанті і знайдемо відповідності у разі гиперкомплексных чисел:

1) , причому (x, x) лише за x = 0.

2) (x, y) = (y, x).

3) (x, ky) = k (x, y) де k — будь-яке дійсне число.

4) (x, y+z)=(x, y)+(x, z).

Для першого властивості вищенаведене правило побудови проекції не підходить, оскільки.

.

.

Поскольку для тих алгебр, котрим то, можливо негативним числом, число завжди позитивно, але виняток становить умова.

(x, x) = 0 лише за x = 0.

Тут варто зробити застереження, що у гиперкомплексных алгебрах випадок ідеалів зовсім перестав бути винятком, для скалярной проекції гиперкомплексных чисел цілком імовірно зняти ця умова і розв’язати.

при .

Рассмотрим друге властивість скалярного твори.

(x, y) = (y, x).

В разі побудови аналогій у нашому випадку слід довести, що.

.

Для цього доведемо проміжні рівності:

a) .

b) .

Для докази рівності a) розглянемо коефіцієнти таблиці твори мнимих одиниць на алгебрах Кэли — Діксона:

.

где через є такі удавані одиниці гиперкомплексной алгебри, — коефіцієнти творів. Всім гиперкомплексных алгебр Кэли — Діксона, певних як і таблицею творів, виконується.

.

.

при .

Таким чином, у творі в дійсною частини будуть може бути лише парні ступеня при , а непарних нічого очікувати.

Обозначив через елемент алгебри, алгебраїчно у поєднанні елементу X, а ще через — поєднання шляхом зміни знаків в усіх коефіцієнтів при мнимих одиницях, одержимо:

.

.

Сопряжение ще можна назвати фазовим сполученням, оскільки збігається фаза числа. Оскільки вираз для склала вигляді полиномиального низки, то входитимуть лише парні функції від мнимих компонентів фази числа X. Оскільки функції парні, наприклад ch чи co, то справжня частина при алгебраическом поєднанні не змінюється:

.

Для докази проміжного рівності b) розглянемо також таблицю творів мнимих одиниць алгебр Кэли — Діксона:

.

Поскольку розкривши твір ab ми матимемо гиперкомплексное число, розглянемо освіту його дійсною частини. У неї входять:

— твір дійсних частин a і b.

— твір однакових мнимих компонентів a і b.

Поскольку для алгебр Кэли — Діксона не можна отримати дійсного числа з художніх творів.

.

при .

а дві вищенаведені складові не залежить від порядку сомножителей a і b, то, отже,.

.

Для докази відповідності запропонованої форми скалярной проекції другому властивості скалярного твори просто перетворимо вираз:

.

.

Таким чином, якщо скалярному твору (x, y) зіставляти , то правило коммутативности скалярного твори виконується.

Соответствие запропонованої форми скалярной проекції третьому властивості скалярного твори перевіряється безпосередньо: якщо k — дійсне число, то.

, тому.

.

Для перевірки відповідності четвертому властивості використовуємо друге і перевіримо:

(x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x).

Распишем скалярную проекцію:

.

Поскольку для алгебр Кэли — Діксона складання визначено покомпонентно, то тут для будь-яких двох чисел a і b:

.

Таким чином, введена нами форма скалярной проекції відповідає четвертому властивості скалярного твори:

.

4. Гиперкомплексное твір як ортогональное преобразование..

В стандартному курсі векторної алгебри після введення поняття скалярного твори вводиться поняття ортогонального перетворення. Будемо слідувати класиці. Перетворення називається ортогональным, якщо скалярне твір двох векторів одно скалярному твору їх образів після перетворення. Окресливши перетворення вектора як F (x), одержимо:

(F (x), F (y)) = (x, y).

Ортогональным це перетворення називається тому, що й (x, y)=0, те й.

(F (x), F (y)) = 0.

То є якщо два вектора були ортогональны, то будуть ортогональны та його образи після цього перетворення.

Ясно, що ортогональное перетворення зберігає і довжину будь-якого вектора:

|F (x)| = |x|.

В алгебрах гиперкомплексных чисел однією з видів перетворення є твір гиперкомплексного числа x інше гиперкомплексное число a. Покажемо, у разі |a| = 1 таке твір задає ортогональное перетворення, або що.

.

и що з перетворення.

.

.

.

Для цього доведемо рівність:

Re (abc) = Re (cab):

.

.

Поэтому вираз скалярной проекції одно:

.

Поскольку , одержимо:

.

Таким чином, при завданні перетворення числа x як множення зліва на число |a|=1 ми маємо ортогональное перетворення, що зберігає модуль числа x і скалярную проекцію векторів ax і ay.

То ж можна довести для множення справа на число a, де |a|=1.

.

5. Выводы..

Нам вдалося віднайти для гиперкомплексных алгебр аналог скалярного твори, введеного в векторної алшебре. Його вдалося дати у досить загальної формі, распространимой на асоціативні гиперкомплексные алгебри Кэли — Діксона. Отримана форма цілком відповідає чотирьом основним властивостями скалярного твори. Проаналізувавши, якому саме місці міркувань відхилилися від класичного варіанта, нескладно знайти, що ми ніде не зажадали і використовували рівності:

.

Если ми б зажадали його виконання, ми природним чином звузили б набір аналізованих гиперкомплексных алгебр. Так само, як це було зроблено на теоремі Гурвіца: Будь-яка нормована алгебра з одиницею ізоморфна одній з чотирьох алгебр — дійсних чисел, комплексних чисел, кватернионов чи октав. Понад те, рівність в нього вважається очевидним.

Автор сподівається, що певна частина цієї статті може бути корисної й під час роботи з финслеровыми геометриями.

Москва, жовтень 2001.

Список литературы

1. І. Л. Кантор, А. З. Солодовников. Гиперкомплексные числа, М, Наука, 1973.

2. Є. А. Каратаев. Скалярно — просторові повороти в кватернионах, internet.