Формула повної ймовірності

Формула повної вероятности.

Пусть є група подій H1, H2,…, Hn, що має такими свойствами:

1) усі події попарно несумісні: Hi Hj =Æ; і, j=1,2,…, n; i¹j;

2) їх об'єднання утворює простір елементарних фіналів W:

.

W=.

Рис. 8.

І тут говоритимемо, що H1, H2,…, Hn утворюють повну групу подій. Такі події іноді називають гипотезами.

Пусть, А — деяке подія: А Ì W (діаграма Венна представлена малюнку 8). Тоді має місце формула повної вероятности:

P (A) = P (A/ H1) P (H1) + P (A/ H2) P (H2) + …+ P (A/ Hn) P (Hn) =.

Доказательство. Вочевидь: A = , причому всі події (і = 1,2,…, n) попарно несумісні. Звідси по теоремі складання ймовірностей получаем.

P (A) = P () + P () +…+ P (.

Если врахувати, що у теоремі множення P ()= P (A/Hi)P (Hi) (i=1,2,…, n), те з останньої формули легко отримати наведену вище формулу повної вероятности.

Пример. У магазині продаються електролампи виробництва трьох заводів, причому частка першого заводу — 30%, другого — 50%, третього — 20%. Шлюб у тому продукції становить відповідно 5%, 3% і 2%. Яка можливість те, що випадково обрана у книгарні лампа виявилася бракованной.

Пусть подія H1 у тому, що обрана лампа зроблена першою заводі, H2 другою, H3 — третьому заводі. Очевидно:

P (H1) = 3/10, P (H2) = 5/10, P (H3) = 2/10.

Пусть подія, А у тому, що обрана лампа виявилася бракованою; A/Hi означає подія, яке у тому, що обрано бракована лампа з ламп, вироблених на i заводі. З умови завдання следует:

P (A/H1) = 5/10; P (A/H2) = 3/10; P (A/H3) = 2/10.

По формулі повної ймовірності получаем.

.

Формула Байеса Пусть H1, H2,…, Hn — повна група подій і АÌW — деяке подія. Тоді формулі для умовної вероятности.

(*).

Здесь P (Hk /A) — умовна ймовірність події (гіпотези) Hk чи можливість, що Hk реалізується за умови, що подія, А произошло.

По теоремі множення ймовірностей чисельник формули (*) можна в виде.

P = P= P (A /Hk) P (Hk).

Для уявлення знаменника формули (*) можна використовувати формулу повної вероятности.

P (A).

Теперь з (*) можна отримати роботу формулу, звану формулою Байеса:

.

По формулі Байєса обчислюється ймовірність реалізації гіпотези Hk за умови, що подія, А сталося. Формулу Байєса ще називають формулою ймовірності гіпотез. Можливість P (Hk) називають апріорній ймовірністю гіпотези Hk, а ймовірність P (Hk /A) -апостеріорної вероятностью.

Пример. Розглянемо наведену вище завдання про электролампах, лише змінимо питання завдання. Нехай покупець купив электролампу у цьому магазині, і її виявилася бракованою. Знайти можливість, що ця лампа виготовлено другою заводі. Розмір P (H2) = 0,5 у разі це завжди апріорна ймовірність події, який перебуває у цьому, що куплена лампа виготовлено на другому заводі. Отримавши інформацію у тому, що куплена лампа бракована, ми можемо поправити нашу оцінку можливості виготовлення цієї лампи другою заводі, зрозумівши апостериорную ймовірність цього события.

Выпишем формулу Байєса при цьому случая.

.

Из цієї формули отримуємо: P (H2 /A) = 15/34. Як бачимо, отримана інформація привела до того що, що ймовірність даного нас події виявляється нижче апріорній вероятности.

Задачи з решениями.

1.В першої урні 7 білих хусток і 3 чорних кулі, на другий — 8 білих хусток і 2 чорних. При перевезенні з першої урни на другу урну перекотилися два кулі. Потому, мов у другий урні перемішалися, з неї викотився кулю. Знайти можливість, що выкатившийся з другої урни кулю белый.

Пусть подія Н1 у тому, що з першого урни на другу перекотилися два білих кулі, подія Н2 у тому, що перекотилися два чорних кулі, а подія Н3 у тому, що перекотилися кулі різного кольору. Можна обчислити ймовірності Р (Н1)==7/15, Р (Н2)==1/15, Р (Н3)==7/15 (під час вирішення завдання корисно перевірити виконання необхідна умова ).

Если реалізувалася гіпотеза Н1, то на другий урні виявилося 10 білих хусток і 2 чорних кулі. Означимо через, А подія, що полягає у цьому, що з другої урни викотився білий кулю. Тоді Р (А/Н1)==5/33. Якщо реалізувалася гіпотеза Н2, то у другий урні виявилося 8 білих хусток і 4 чорних кулі, і Р (А/Н2)==4/33. Легко показати, що Р (А/Н3)==3/22. Нині можна скористатися формулою повної вероятности:

Р (А)=(5/33)x (7/15)+(4/33) (1/15)+(3/22) (7/15)=47/330.

2. У умова завдання № 1 внесемо зміна. Нехай по тому, що з першої урни на другу перекотилися два кулі і кульки на другий урні перемішалися, з неї викотився білий кулю. Знайти можливість, що з першого урни на другу перекотилися різнобарвні шары.

Вычисления попередньої завдання підставимо в формулу Байеса.

Р (Н3/А)=Р (А/Н3)Р (Н3)/ Р (А)=(3/22)(7/15)/(47/33)=7/47.

3. У ящику лежать 20 тенісних м’ячів, зокрема 15 нові й 5 играных. Для гри вибираються 2 м’яча і після гри повертають назад. Потім для другий гри також наудачу беруться ще два м’яча. Знайти можливість, що друга гра буде проводитися новими мячами.

Обозначим через, А подія, що полягає у цьому, що друга гра здійснюватиметься новими м’ячами. Нехай гіпотеза Н1 у тому, що з першої гри було обрано дві нові м’яча, гіпотеза Н2 у тому, що з першої гри було обрано новий термін і играный м’ячі, гіпотеза Н3 у тому, що з першої гри були обрані два играных м’яча. Визначимо ймовірності гипотез:

Р (Н1)=; Р (Н2)=; Р (Н3)=.

Теперь обчислимо умовні ймовірності події А.

Р (А/Н1)=; Р (А/Н2)=; Р (А/Н3)=.

Осталось підставити результати обчислень в формулу повної вероятности.

Р (А)=.

4. Повідомлення зі супутника на грішну землю передається як бінарного коду, тобто як упорядкованого набору нулів і одиниць. Припустимо, що послання на 70% складається з нулів. Перешкоди призводять до того, що тільки 80% нулів і одиниць правильно розпізнаються приёмником. Якщо прийнято сигнал «1», то наскільки ймовірним є те, що відправлений сигнал «0»?

Пусть подія В0 у тому, що його відправлено сигнал «0», а подія В1-в тому, що його відправлено сигнал «1». Нехай подія А0 у тому, що ухвалено сигнал «0», з подія А1 — в тому, що ухвалено сигнал «1». Нас цікавить Р (В0/А1). По условию.

Р (В0)=0,7 Р (В1)=0,3.

Р (А0/ В0)=0,8 Р (А1/ В0)=0,2.

Р (А1/В0)=0,8 Р (А0/ У 1)=0,2.

По формулі Байєса получаем.

Р (В0/А1)=0,2×0,7/(0,2×0,7+0,8×03)=0,37.

5. Бригада, яка у денну зміну, виробляє виробів на майже удвічі більше, ніж бригада, яка у нічну зміну. Звідси випливає, що й вибрати випадково виріб, произведённое в цеху, те з ймовірністю 2/3"0,66 воно вироблено бригадою, працюючої днем. Це завжди апріорна ймовірність. Відомо, що бригада, працююча днем, виробляє 3% некондиційних виробів, а бригада, працююча вночі, — 7% некондиційних виробів. Нехай випадково надібране виріб виявилося некондиційним. Тоді формулі Байєса можна визначити апостериорную можливість, що це виріб вироблено денний бригадой.

P (Н1/А)=(3/100)(2/3)/((3/100)(2/3)+(7/100)(1/3))"0,632.

Как видно, апостериорная ймовірність даного нас події тут нижче апріорній вероятности.

Задачи для самостійного решения.

1) Для перевірки засвоєння лекційного матеріалу студентському групі був випадково обраний студент, і його було запропоновано тест на тему лекції. У цьому студентської групі 6 відмінників, 7 хороших у студентів і три середніх студента (за результатами минулої сесії). Було відомо, що відмінник справляється з тестом з ймовірністю 0,85, хороший студент справляється з тестом з імовірністю 0,6, а середній студент справляється з тестом з імовірністю 0,3.

а) обчислити апріорну можливість, що було протестований хороший студент;

в) обчислити можливість, що студент не впорався зі тестом;

с) обчислити можливість, що був вибраний хороший студент, якщо відомо, що студент з тестом не справился.

2) У упаковці перебувало 7 виробів першого сорти і п’яти виробів другого сорти, зовні нерозрізнених. При транспортуванні два вироби було викрадено. Після цього з упаковки витягли наудачу виріб і піддане перевірці на качество.

а) обчислити можливість, хто був викрадено вироби другого сорта;

в) обчислити можливість, що з викрадених виробів одне було першого сорти, інше другого сорта;

с) обчислити можливість, піддане перевірці виріб було другого сорта;

d) обчислити можливість, що викрадені вироби були людьми нижчого гатунку, якщо.

Ответы. 1) а) 7/16=0,4375; в) 0,3625 з) 0,482 759.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.