Розв"язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера (реферат)

Реферат з математики Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.

Тема: Поглибити знання студентів про методи розв’язування систем лінійних рівнянь та дати практику розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.

Вправи для розв’язування.

1. Розв’язати систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

$$\begin{array}{c}2x-3y=\text{12}\\ -4x+y=8\\ -\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

$$=|\begin{array}{cc}2& -3\\ -4& 1\end{array}|=-\text{10}$$.

$$=|\begin{array}{cc}\text{12}& -3\\ 8& 1\end{array}|=\text{36}$$.

$$=|\begin{array}{cc}2& \text{12}\\ -4& 8\end{array}|=\text{64}$$.

$$x=\frac{{}_x}{}=\frac{\text{35}}{-\text{10}}=-3\text{.}6$$.

$$y=\frac{{}_y}{}=\frac{\text{64}}{-\text{10}}=-6\text{.}4$$.

Відповідь: (-3.6- -6.4).

Завдання 2. Розв’язати системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

1. $$\begin{array}{c}-2x+4y=0\\ 5x-y=4\\ -\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 2. $$\begin{array}{c}x+5y=\text{16}\\ 4y=\text{12}\\ -\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

3. $$\begin{array}{c}3x+2y=\text{10}\\ 4x-y=6\\ -\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 4. $$\begin{array}{c}4x+2y=\text{10}\\ x-3y=2\\ -\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

5. $$\begin{array}{c}5x-2y=3\\ x-y=4\\ -\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 6. $$\begin{array}{c}4x-5y=0\\ -3x+2y=1\\ -\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

7. $$\begin{array}{c}x-2y=7\\ 4x+3y=5\\ -\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 8.

Завдання 3. Розв’язати системи двох однорідних лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

1. $$\begin{array}{c}3x+2y=0\\ 5x-3y=0\\ -\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 2.

Завдання 4. При якому значенні k система має безліч розв’язків?

.

Завдання 5. При якому значенні k система не має розв’язків?

.

6. Розв’язати системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера:

$$\begin{array}{c}2x_1+x_2-x_3=-4\\ x_1+3x_2+2x_3=3\\ 3x_1+2x_2+4x_3=-4\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

$$=|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -2& 4\end{array}|=\text{24}+2+6+9-4+8=\text{45}-$$.

$${}_1=|\begin{array}{ccc}-4& 1& -1\\ 3& 3& 2\\ -4& -2& 4\end{array}|=-\text{48}+6-8-\text{12}-\text{12}-\text{16}=-\text{90}-$$.

$${}_2=|\begin{array}{ccc}2& -4& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -4& 4\end{array}|=\text{24}+4-\text{24}+9+\text{16}+\text{16}=\text{45}-$$.

$${}_3=|\begin{array}{ccc}2& 1& -4\\ 1& 3& 3\\ 3& -2& -4\end{array}|=-\text{24}+8+9+\text{36}+4+\text{12}=\text{45}-$$.

$$x_1=-\frac{\text{90}}{\text{45}}=-2-$$.

$$x_2=\frac{\text{45}}{\text{45}}=1-$$.

$$x_3=\frac{\text{45}}{\text{45}}=1-$$.

Відповідь: (-2−1-1).

Завдання 7. Розв’язати системи рівнянь методом Крамера:

1. $$\begin{array}{c}2x-y+z=2\\ 3x+2y+2z=-2\\ x-2y+z=1-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 2. $$\begin{array}{c}x+2y+3z=5\\ 2x-y-z=1\\ x+3y+4z=6-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

3. $$\begin{array}{c}x+y+2z=1\\ x-2y+z=-1\\ x-y+2z=-1-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 4. $$\begin{array}{c}x+2y-z=2\\ 2x-3y+2z=2\\ 3x+y+z=8-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

5. $$\begin{array}{c}2x-3y+z=2\\ x+y-z=0\\ 2x-y+z=6-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 6. $$\begin{array}{c}x-y-z=0\\ x+y+2z=1\\ x-y-2z=1\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Завдання 8. Розв’язати системи лінійних рівнянь, використовуючи метод Крамера:

1. $$\begin{array}{c}2{х}_1+2{х}_2-{х}_3=-7-\\ 3{х}_1-{х}_2+2{х}_3=1-\\ 2{х}_1-{х}_2+3{х}_3=3-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 2.

3. $$\begin{array}{c}2{х}_1+3{х}_2+{х}_3=7-\\ {х}_1+4{х}_2+2{х}_3=-1-\\ {х}_1-4{х}_2=-5-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 4.

5. $$\begin{array}{c}-{х}_1+3{х}_2+5{х}_3=1-\\ 3{х}_1+{х}_2+3{х}_3=2-\\ 5{х}_1+3{х}_2-{х}_3=-3-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 6.

7. $$\begin{array}{c}{х}_1+2{х}_2-4{х}_3=1-\\ 2{х}_1+{х}_2-5{х}_3=-1-\\ {х}_1-{х}_2+{х}_3=-2-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 8. $$\begin{array}{c}-{х}_1+{х}_2+{х}_3=1-\\ {х}_1-{х}_2+{х}_3=1-\\ {х}_1+{х}_2-{х}_3=1-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

9. 10.

Вправи для самостійного розв’язування.

Завдання 1. Розв’язати системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера:

1. $$\begin{array}{c}3{х}_1+2{х}_2-{х}_3=-1-\\ {х}_1-3{х}_2+2{х}_3=8-\\ 2{х}_1-{х}_2-{х}_3=-3-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 2. $$\begin{array}{c}{х}_1+{х}_2-3{х}_3=0-\\ 2{х}_1-3{х}_2+{х}_3=-3-\\ -{х}_1+{х}_2+5{х}_3=6-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

3. 4. $$\begin{array}{c}{х}_1+{х}_2+5{х}_3=6-\\ 2{х}_1-{х}_2+2{х}_3=-\text{10}-\\ -{х}_1+2{х}_2-3{х}_3=-\text{10}-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

5. $$\begin{array}{c}3{х}_1+2{х}_2-{х}_3=-1-\\ {х}_1-3{х}_2+2{х}_3=8-\\ 2{х}_1-{х}_2-{х}_3=-3-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 6.

7. $$\begin{array}{c}{х}_1+2{х}_2-4{х}_3=1-\\ 2{х}_1+{х}_2-5{х}_3=-1-\\ {х}_1-{х}_2+{х}_3=-2-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 8. $$\begin{array}{c}2{х}_1+3{х}_2-2{х}_3=3-\\ -{х}_1+{х}_2-{х}_3=-4-\\ 3{х}_1-{х}_2+{х}_3=8-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

9. $$\begin{array}{c}2{х}_1+{х}_2-{х}_3=-4-\\ {х}_1+3{х}_2+2{х}_3=3-\\ 3{х}_1-2{х}_2+4{х}_3=-4-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 10. $$\begin{array}{c}2{х}_1-2{х}_2+3{х}_3=-1-\\ {х}_1-{х}_2+2{х}_3=-1-\\ -2{х}_1+{х}_2-2{х}_3=0-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

11. $$\begin{array}{c}2{х}_1-2{х}_2+{х}_3=-2-\\ 4{х}_1+2{х}_2+3{х}_3=-1-\\ {х}_1-3{х}_2-2{х}_3=3-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 12.

13. $$\begin{array}{c}{х}_1-2{х}_2+4{х}_3=3-\\ -{х}_1+3{х}_2-5{х}_3=-3-\\ 2{х}_1+4{х}_2-7{х}_3=-1-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 14.

15. $$\begin{array}{c}2{х}_1+{х}_2+2{х}_3=2-\\ 3{х}_1-{х}_2-{х}_3=6-\\ {\text{2x}}_1+{х}_2-{х}_3=-1-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 16.

17. $$\begin{array}{c}{х}_1+3{х}_2+{х}_3=2-\\ 2{х}_1+3{х}_2-2{х}_3=5-\\ -2x_1-{х}_2+2{х}_3=-1-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ 18. $$\begin{array}{c}{х}_1-3{х}_2+4{х}_3=-6-\\ -2{х}_1+{х}_2-3{х}_3=-3-\\ 3{х}_1-{х}_2+{х}_3=9-\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Контрольні запитання.

1. 1.Що називається системою n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими?

2. 2.Яка система лінійних рівнянь називається :

сумісною;

несумісною;

визначеною;

невизначеною?

1. 3.Записати формули Крамера. В якому випадку вони застосовуються?

2. 4.Довести формули Крамера для системи трьох рівнянь з трьома невідомими.