Геофизический «діалект» мови математики

Геофизический «діалект» мови математики

В.Н. Страхів.

Объединенный інститут фізики Землі їм. О.Ю. Шмідта РАН, р. Москва.

1. У 1995р. у статті «Геофізика і математика», див. [1], автор вперше висловлювався так твердження: математика є мовою науки загалом, але кожна конкретна наука повинна «розмовляти» у власному (специфічному) діалекті цього языка.

2. У XX столітті впровадження математичних методів у геофизику («освоєння мови математики») йшло у основному шляхом запозичення готових результатів і методів, насамперед із математичної фізики та теорії некоректно поставлених завдань, але й з теорії ймовірностей і математичної статистики, обчислювальної математики, теорії диференціальних та інтегральних рівнянь.

Однако, на думку автора, епоха розробки методів порушення й вирішення завдань, виникаючих до геофізики на етапі інтерпретації даних спостережень різних елементів фізичних полів, з урахуванням запозичення результатів і методів, розроблених у різних розділах математики, закінчилася. Слід усвідомити справжню суть «геофізичного діалекту» мови математики розпочати формування принципово нової математичної геофізики.

3. Над зазначеними загальними міркуваннями автор розмірковував останні 5 років; важливий етап у формуванні його розуміння суті «геофізичного діалекту» мови математики перебував у усвідомленні недоліків (з його термінології - «дефектності») класичних конструкцій аддитивной параметровой регуляризації конечномерных лінійних некоректних завдань (стаття «Критичний аналіз класичної теорії лінійних некоректних завдань», див. [2]).

4. Щоб краще (точніше й глибше) зрозуміти сутність «геофізичного діалекту» мови математики, доцільно в основі взяти основні установки, з одного боку — математичної фізики та класичної теорії некоректно поставлених завдань (ототожнюючи ці установки з установками математики цілому), з другого боку — нової математичної геофізики (яка перебуває, на думку автора, ще процес становлення).

При цьому доцільним представляється виділення наступних трьох типів установок:

I) які стосуються вибору базових математичних теорій щодо фізичних полів, до ідейним постановкам завдань і способам дослідження;

II) які стосуються обліку апріорній інформації про властивості шуканого рішення і перешкод у вхідних даних — у разі некоректно поставлених завдань (і - в разі конечномерных лінійних некоректних завдань);

III) які стосуються розробці про чисельні алгоритмів і тих конкретних комп’ютерних технологій вирішення завдань, що є основним робочим інструментом і які видають у розпорядження исследователей.

Ниже дається докладніша характеристика зазначених трьох типів установок (в математичної фізики й класичної теорії некоректних завдань — з одного боку, й у математичної геофізики — з іншого).

5. Почати з характеристики установок першого типу. Установки математичної фізики і теорії некоректних завдань перераховуються (тут і скрізь нижче) під буквою А, установки ж математичної геофізики — під буквою Б.

А. Використовуються виключно теорії континуальных фізичних полів, описувані диференціальними рівняннями чи системами подібних рівнянь, у приватних похідних (переважно — лінійними) для основних елементів полів (скалярних чи векторних потенціалів). Основні завдання, студійовані у межах континуальных теорій — прямі і зворотні, і навіть крайові (якщо поля залежить від часу). Основні аналітичні об'єкти, аналізовані у межах континуальных теорій фізичних полів — бесконечномерные (функції, є елементами банаховых просторів; оператори, діючі лише з функціональних просторів в інші; бесконечномерные функционалы, певні на елементах банаховых просторів, тощо.). Основні можуть бути вирішені завдання — типу операторных рівнянь в банаховых (чи більше вузько — гильбертовых) просторах, завдання перебування значень операторів (найчастіше — лінійних, але необмежених) на елементах функціональних (банаховых, гильбертовых) просторів, завдання мінімізації (умовні і безумовні) бесконечномерных функционалов. Використовується класифікація розв’язуваних (бесконечномерных) завдань на коректно і некоректно поставлені. Основні позиції, використовувані під час аналізу завдань: 1) проблема існування рішень завдань за певних (бесконечномерных) даних; 2) проблема одиничності рішень завдань; 3) проблема стійкості рішень завдань. Основні результати досліджень завдань: а) теореми існування, одиничності і стійкості - для коректно поставлених завдань; б) теореми умовного існування, умовної одиничності й умовною стійкості - для некоректно поставлених завдань; в) теореми регуляризації (збіжності) для методів рішення некоректних завдань.

Процедуры дискретизації просторових змінних, відповідно дискретизації диференційних рівнянь задіяні лише в локальному варіанті - при розробці про чисельні методів рішення крайових (начально-краевых) завдань. Загальна методологія аппроксимационного підходу під час вирішення основних (бесконечномерных) завдань не формулюється. Створення комп’ютерних технологій вирішення завдань не вважається головним.

Б. Поруч із теоріями континуальных фізичних полів використовуються також теорії дискретних фізичних полів (які виникають при дискретизації всього тривимірного евклидова простору, і навіть при конечномерной апроксимації диференційних рівнянь); у своїй замість крайових умов використовуються конструкції регуляризації. Результати, отримані у межах математичної фізики для конечномерных аналітичних об'єктів і завдань (теореми одиничності, теореми збіжності тощо.) використовують у обмежений обсяг. Основне значення надається розробці єдиного аппроксимационного підходи до побудові рішень бесконечномерных завдань, тобто. переходу від бесконечномерных об'єктів і завдань до конечномерным, яким надається визначальне значення. Розв’язувані конечномерные завдання також поділяються на коректно і некоректно поставлені, основне значення надається проблемі перебування наближених рішень лінійних некоректно поставлених завдань, тобто. перебування наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближеними даними. При цьому головна мета всіх теоретичних побудов є створення ефективних комп’ютерних технологій.

6. Переходимо до характеристиці установок другого типу.

А. У математичної фізики й класичної теорії некоректних завдань, хоч і приймається, що рішення некоректних завдань можна отримати лише за використанні так званої апріорній (додаткової) інформації про властивості шуканого рішення і перешкод у вхідних даних, проте це приймається стратегія використання мінімальних обсягів апріорній інформації. Саме, використовується лише та завжди апріорна інформація, що забезпечує факт регулярності запропонованих (розроблюваних) методів, тобто. збіжності рішень до точним за незначного зниження інтенсивності перешкод (в прийнятих метриках) нанівець. У цьому основні розроблювані методи ставляться до бесконечномерным завданням, на конечномерные вони поширюються без різних змін.

Проблема підвищення точності й діють надійності одержуваних рішень з допомогою використання максимально можливих обсягів апріорній інформації з суті не розглядається.

Б. У математичної геофізики основне значення надається проблемі отримання максимально надійних і точних рішень конечномерных завдань, і - завдань перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближеними даними. У зв’язку з цим у розгляд вводиться масу різноманітних (за типами перешкод у вхідних даних, за наявними обсягам апріорній інформації про перешкодах) постановок некоректних завдань. Як самостійної (має принципове значення) розглядається завдання перебування різних характеристик перешкод безпосередньо за тими заданим (з спостережень) величинам, якими шукаються вирішення завдань.

7. Далі переходимо до характеристикам установок третього типу.

А. У межах математичної фізики та класичної теорії некоректних завдань проблема створення про чисельні алгоритмів і найефективніших комп’ютерних технологій не сприймається як має принципове значення. Це правда сказати, суто технічна проблема, що у кожному конкретному випадку повинно вирішуватися по-своєму. Ніяка загальна методологія, з урахуванням якого має розроблятися проблема створення про чисельні алгоритмів і найефективніших комп’ютерних технологій, не створюється.

Б. У межах ж математичної геофізики аналізованої проблемі надається першочергового значення. Стверджується, що у розроблюваних про чисельні алгоритми і комп’ютерних технологіях передусім мають реалізовуватися установки загальної методології інтерпретації геофізичних даних, і - концепція методообразующих ідей [3]. Останні мають ієрархічне будова, на верхньому рівні фундаментальних ідей останніх лише п’ять:

1) ідея використання аналітичних аппроксимаций (досліджуваних функцій, рівнянь і завдань);

2) ідея критериальности (використання таких спеціальних критеріїв, яких мають задовольняти шукані рішення);

3) ідея алгебраизации (бажано вирішення завдань шукати як вирішення однієї, або деякою сукупності, систем лінійних алгебраїчних рівнянь);

4) ідея узгодження безлічі допустимих рішень (через наявність невизначеності в використовуваної апріорній інформації число допустимих — які суперечать апріорній інформації - рішень то, можливо ціле безліч; але користувачеві бажано мати у остаточному підсумку лише одне рішення, звідси — необхідність в конструюванні остаточного рішення щодо безлічі допустимих);

5) ідея використання методів розпізнавання образів — у межах як розроблюваних про чисельні алгоритмів, і створюваних комп’ютерних технологий.

В математичної геофізики принципово важливим приймається використання методів розпізнавання образів — як із формуванні тих обсягів апріорній інформації, а далі вона використовують у алгоритми перебування шуканих рішень некоректних завдань, і під час аналізу ходу обчислювального процесу, при управлінні цим ходом.

8. Слід підкреслити і інших важливих позицій, якими є принципову відмінність між установками математичної фізики та теорії некоректно поставлених завдань — з одного боку, і будівництва нової математичної фізики — з іншого. Цих позицій вісім.

а) У математичної геофізики фундаментальне значення має тут проблема комплексного використання даних кількох геофізичних методів — з метою побудови найнадійніших і точних моделей будівлі земних надр, і навіть які протікають в них геодинамических процесів. У математичної фізики й класичної теорії некоректних завдань то цієї проблеми сутнісно не розглядається.

б) У низці геофізичних методів (гравиметрия, магнитометрия, геоэлектрика) найважливіше значення має тут проблема побудови метрологічних лінійних аппроксимаций функцій, що описують елементи досліджуваних фізичних полів на Землі і її зовнішності. Такі аналітичні апроксимації повинні будуватися безпосередньо за даними вимірів різних характеристик зовнішніх полів — у кінцевому числі точок, довільно розташованих лежить на поверхні Землі і її зовнішності. Розв’язання даної проблеми дозволить принципово змінити інформаційну основу геофізики — аналітичні апроксимації повинні замінити карти. У межах математичної фізики та класичної теорії некоректних завдань проблема побудови аналітичних аппроксимаций елементів фізичних полів по суті не розглядається.

в) Створювані у межах математичної геофізики алгоритми вирішення завдань (відповідно — реалізують їх комп’ютерні технології) організуються так, щоб виходили деякі внутрішні оцінки надійності і точності одержуваних рішень. Такі оцінки виявляються можливими адже й дані спостережень, і що є завжди апріорна інформація поділяються на частини: по-перше, безпосередньо яка у обчислювальному процесі, тобто. у процесі перебування шуканого виконання завдання, а по-друге, не яка у обчислювальному процесі, але яка у спеціальних процедурах оцінки точності й діють надійності отриманих рішень (інакше — контрольні дані). При отриманні незадовільних оцінок процедура знаходження рішення завдання повинна повторюватися — за іншої організації використовуваних даних, і апріорній інформації. Така переорганизация процедури знаходження рішення може здійснюватися кілька разів. Зрозуміло, у межах математичної фізики та теорії некоректних завдань такого роду аспекти перебування рішень завдань не розглядаються зовсім.

г) У межах математичної фізики розглядається ціле безліч моделей перешкод у вхідних даних, які не розглядаються у «класичній теорії некоректних завдань. По-перше, це моделі мультипликативно-аддитивных перешкод, у своїй кожна гілка складових цієї моделі характеризується цілим набором числових величин. По-друге, це моделі перешкод різнорідних і разноточных, тобто. з «блокової характеристикою». Інакше висловлюючись, вектор перешкоди наділяється блокової структурою, й у блок (парциальный вектор перешкоди) наділяється власними (різними) характеристиками перешкоди. Використовується ще й низку інших моделей перешкод у вхідних даних розв’язуваних завдань.

д) У математичної геофізики використовується принципово новий метод перебування аналітичних аппроксимаций елементів фізичних полів — метод інтегральних уявлень, покликаного замінити класичний метод інтегральних рівнянь. У цьому найважливішим приватним випадком цього є метод лінійних інтегральних уявлень. Дані методи, див. [3,4], створено саме у математичної геофізики, де вони розроблялися в математичної фізики й класичної теорії некоректних завдань.

е) У межах математичної геофізики найважливішої обчислювальної проблемою визнається проблема перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближеними даними, великий (P=NM=108−109) і надвеликої (P=NM 1010) розмірності (тут N — число рівнянь у системі, М — число які підлягають визначенню невідомих — компонент вектора x). Через це у ній запропонований низку принципово нових конструктивних ідей, використовуваних розробки алгоритмів перебування шуканих рішень лінійних систем, див. [5−21]. Тут насамперед слід відзначити ідею редукції систем до канонічної формі (у якій вектор правій частині системи має лише одну ненулевую компоненту), ідею редукції систем в канонічної формі до вирішення одного рівняння з одного невідомої, ідею адаптивної регуляризації (заснованої на використанні спеціальних — про кореляційних ортогональних перетворень матриць систем (прим. автора: тут особливо слід підкреслити те що, у межах тієї нову теорію регуляризації систем лінійних алгебраїчних рівнянь, яка розробляється автором в останні роки, див. [ ], використання нових ортогональних перетворень (не розглядали до цього часу обчислювальної лінійної алгебрі) має у деякому сенсі визначальне значення.)) і чимало інших конструктивних ідей, на яких але немає можливості зупинятися. Створені у межах математичної геофізики нові алгоритми перебування наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь є новими й у обчислювальної лінійної алгебри.

ж) У межах нової математичної геофізики розробляється принципово новий підхід до вирішення зворотних геофізичних завдань, передусім — в гравиметрии і магнитометрии, у якому зайвими у вирішенні складних (по аналітиці) прямих завдань. (Нагадаємо тут, що його метод рішення зворотних завдань геофізики полягає в багаторазовому варьировании моделей досліджуваної геологічне середовище вулканічний, рішенні відповідних завдань кожної з моделей і зіставленні вирахуваних — кожної моделі - величин з цими спостережень.) У межах нового підходу, що у рамках теорій дискретних фізичних полів, використовуються два прийому:

во-первых, прийом побудови еквівалентних розподілів джерел полів,.

во-вторых, прийом перетворення прийнятих модельних джерел поля була в відповідні їм еквівалентні.

В час виникає важливе завдання впровадження нового підходу в практику інтерпретації геофізичних даних, передусім — даних гравітаційних і магнітних спостережень.

3) Математична геофізика і класична теорія некоректних завдань є «прив'язаними» до додатків до якогось конкретної науці. Їх місія — розробка основних теоретичних положень, які можуть опинитися (по суті - повинні!) використовуватися найрізноманітніших науках. Саме у цьому і полягає мотивація тих які у математичної фізики й класичної теорії некоректних завдань і наведених вище установок (трьох типів) і який природним чином відрізняються (зобов'язані відрізнятися!) від установок (нової) математичної геофізики. Справді, математична геофізика, з цієї автором переформулировке класичного вислову Клаузевіца (прим. автора: Речь про наступному вислові: «Війна є продовження політики іншими засобами».), має суто підлегле значення: «Математична геофізика є реалізація установок загальної методології інтерпретації геофізичних даних засобами математики».

Именно цим визначається розбіжність у загальних установках, саме цим визначаються дані вище сім додаткових позицій, саме тут полягає восьма позиція.

9. На закінчення автор би підкреслити ще три моменту.

Первый момент. Наведені вище затвердження, ідучи міркування ще стали «звичним», ще сформували новий стереотип мислення геофізиків, котрі займаються питаннями теорії та практики інтерпретації геофізичних даних. Необхідна сумлінна праця у цьому напрямі.

Второй момент. Викладені у роботі ідеї будь-коли стануть ефективним засобом вирішення завдань геофізики, якби основі нічого очікувати створено (з єдиного плану!) відповідні комп’ютерні технології. Потрібна спеціальна (високого рівня, бажано — державного) Програма створення таких технологій.

Третий момент. Викладені у роботі ідеї не зможе бути швидко впроваджено у свідомість кола геофизиков-производственников, якщо вона буде (притому самим найшвидшим чином) впроваджено у вище геофізичне освіту. Схоже впровадження вимагає цілого ряду заходів, і - написання принципово нових підручників.

Автор сподівається, що висловлені їм міркування, затвердження, ідучи пропозиції стануть обговорення зі сторінок геофізичних журналів.

Обстоятельная конкретизація, на власне математичному плані, які у роботі положень цих та тверджень, буде надано у серії наступних робіт автора.

Список литературы

1. Страхів В.М. Геофізика і математика // Фізика Землі. 1995. № 12. С.4−23.

2. Страхів В. М. Критичний аналіз класичної теорії лінійних некоректних завдань // Геофізика. 1999. № 3. С.3−9.

3. Страхів В. М. Три парадигми теоретично та практиці інтерпретації потенційних полів (аналіз минулого й прогноз майбутнього) // Вісті секції наук Землю РАПН. 1999. № 2. С.95−135.

4. Страхів В. М. Про побудові аналітичних аппроксимаций аномальних гравітаційних і магнітних полів // Основні проблеми теорії інтерпретації гравітаційних і магнітних аномалій. М.: ОИФЗ РАН, 1999. С.65−125.

5. Страхів В. М. Загальна теорія перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближено заданими правими частинами і матрицями, які виникають за рішенні завдань геофізики // Питання теорії та практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів. М.: ОИФЗ РАН, 1997.С.38−42.

6. Страхів В. М. Математичний апарат, використовуваний при конструюванні алгоритмів перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що виникають у завданнях гравиметрии і магнитометрии // Питання теорії та практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.43−75.

7. Страхів В.М. Екстремальні завдання, непараметрическая регуляризация і фільтрація теоретично перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближено заданими правими частинами і матрицями // Питання теорії та практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.76−88.

8. Страхів В.М. Узагальнені QR-алгоритмы перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближено заданої правої частиною, які виникають за рішенні лінійних завдань гравиметрии і магнитометрии // Питання теорії та практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.87−88.

9. Страхів В. М. Третя парадигма теоретично та практиці інтерпретації потенційних полів (гравітаційних і магнітних аномалій). Ч. III // Электр. науч.-инф. журн. «Вісник ОГГГГН РАН», № 1(3) «1998, М.:ОИФЗ РАН, 1998.

URL: internet.

10. Страхів В.М., Страхів А.В. Основні методи перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які виникають за рішенні завдань гравиметрии і магнитометрии. I. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 40 з.

11. Страхів В.М., Страхів А.В. Основні методи перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які виникають за рішенні завдань гравиметрии і магнитометрии. II. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 52 з.

12. Страхів В.М., Страхів А. В. До теорії регуляризації лінійних некоректних завдань гравиметрии і магнитометрии. Ч. I // Электр. науч.-инф. журн. «Вісник ОГГГГН РАН», № 1(7) «1999, М.:ОИФЗ РАН, 1999.

URL: internet.

13. Страхів В.М., Страхів А. В. До теорії регуляризації лінійних некоректних завдань гравиметрии і магнитометрии. Ч. II // Электр. науч.-инф. журн. «Вісник ОГГГГН РАН», № 3(9) «1999, М.:ОИФЗ РАН, 1999.

URL: internet.

14. Страхів В.М., Страхів А. В. Про рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближено заданої правої частиною, які виникають за рішенні завдань гравиметрии і магнитометрии. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 68 з.

15. Страхів В.М., Страхів А. В. Про рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які виникають за рішенні завдань гравиметрии і магнитометрии. 1. Редукція до систем в канонічної формі // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 4. С.545−548.

16. Страхів В.М., Страхів А. В. Про рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які виникають за рішенні завдань гравиметрии і магнитометрии. 2. Методи рішення систем в канонічної формі // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 5. С.683−686.

17. Страхів В.М., Страхів А. В. Аппроксимационный підхід до вирішення завдань гравиметрии і магнитометрии. I. Основна обчислювальна проблема — регуляризация систем лінійних алгебраїчних рівнянь // Російський часопис наук Землю. Т.1, № 4, липень 1999. С.271−299.

18. Страхів В.М., Страхів А. В. Аппроксимационный підхід до вирішення завдань гравиметрии і магнитометрии. II. Нові методи перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближено заданої правої частиною // Російський часопис наук Землю. Т.1, № 5, вересень 1999. С.353−400.

19. Страхів В. М. Основи нову теорію регуляризації систем лінійних аналітичних рівнянь з наближеними даними // Питання теорії та практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів: матеріали 27-ї сесії Міжнародного семінару їм. Д. Г. Успенського, Москва, 31 січня — 4 лютого 2000 р. М.: ОИФЗ РАН, 2000. С.178−179.

20. Страхів В. М. Субоптимальные алгоритми перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які виникають за рішенні завдань гравиметрии і магнитометрии // Докл. РАН. 2000. Т.373, № 4.

21. Страхів В.М., Страхів А. В. Метод блокового координатного спуску перебування стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближено заданої правої частиною великий і надвеликої розмірності, які виникають за рішенні завдань гравиметрии і магнитометрии // Докл. РАН. 2000.