Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва (реферат)

Реферат на тему:

Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва.

Pозглядається відкрита динамічна система (модель) В. Леонтьєва стан якої в кожен момент часу t визначається nвимірним вектором.

х (t)= (x1(t), x2(t),…, xn (t)), який характеризує валовий випуск економіки з n галузями. Збалансована система динамічних рівняннь «витрат-випуску» .

В. Леонтьєва має вигляд.

x — A ~o — $$\stackrel{}{B}$$ [ d ~o (t) / d t) ] =), (1).

де x = (x 1, x2,…, x n) — означає вектор валового випуску економіки з n галузями , — Аматриця Леонтьєва, А=(a ij) — nматриця, яка описує структуру міжгалузевих зв’язків- $$\stackrel{}{B}$$ =(bij) — n — матриця яка характеризує структуру основного капіталу, основних фондівy (t) — вектор кінцевого попиту (вектор споживання) [1].

Динамічна модель витратвипуску (1) може бути представлена як система керування [2].

$$\frac{\text{dx}(t)}{\text{dt}}$$ = Аx (t) +В u (t), (2).

" aa А= $$\stackrel{}{B}$$ $${}^{-1}$$ B= - $$\stackrel{}{B^{-1}}$$ — ~n^i^a`a `i`a`od`e" o" y, u (t) — функція керу-вання.Задача оптимального керування динамічною системою В. Леонтьєва полягає в тому, щоб на даному скінченному проміжку часу ($$t_0,t_1$$) знайти такий вектор керування u (t) із Rn $$$$ при якому система (2) переходить із заданого початкового стану x (t0)=x0 в заданий кінцевий (запланований) стан x (t1)=x1 за час Т=t1-t0. При цьому випуклий функціонал — інтеграл достатку.

$$I(u)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{}}{e}^{-(t-t_0)}W(u(t))\text{dt}$$ (3).

досягає свого максимального значення. Необхідно відмітити, що в функціоналі (3) $$e^{-(t-t_0)}$$

є множник дисконтинування, який свідчить про те, що негайне споживання важливіше ніж в майбутньому, W (u (t)) — функція корисності [ 3 ].

.

Таким чином, керована динамічна система В. Леонтьєва дозволяє дати прогноз розвитку всіх галузей економіки так, щоб за певний період часу досягти заданого рівня їх росту.

Покладемо.

$$x_u^0(t)=\underset{t{}_0}{\overset{t}{}}{e}^{-(t-t_o)}W(u(t))\text{dt}$$ (4).

і розглянемо розв’язок $$x{}_u{}^{}(t)=(x_u^0(t),x{}_u(t))$$ в $$R^{n+1}$$ вимірному просторі для кожного керування u (t). Нехай К — сукупність кінцевих точок траекторії $$x{}_u{}^{}(t_1)=(x_u^0(t_1),x{}_u(t_1))$$ в $$R^{n+1}$$ вимірному просторі, які відповідають довільним допустимим керуванням u (t), t є (t0, t1). Якщо система керована, то множина К випукла та замкнута [4]. При цьому необхідно врахувати природні обмеження: споживання невідємне $$u(t)$$ і змінюється в межах від $$U_1$$ до $$U_2$$, де $$U_1,U_2$$ -деякі задані додатні числа.

Розглянемо керовану автономну систему в $$R^n$$ загального вигляду.

$$\frac{{\text{dy}}_i(t)}{\text{dt}}=f_i(y_1(t),y_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(t),u_1(t),u_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},u_n(t))$$, (5).

i=1,…, n.

або у векторній формі $$\frac{\text{dy}(t)}{\text{dt}}=f(y(t),u(t))$$

де y (t)={y1(t), y2(t),…, yn (t)}-вектор координат стану, u (t)={u1(t), u2(t),…, un (t)}-вектор керування, $$y(t{}_0)=y{}_0$$ вектор початкових умов.

.

Якщо вести заміну змінних вектора стану системи (2) $$$$ $$x{}_i(t)=e^{y_i(t)},$$ де $$y_i(t)$$ нові змінні, при цьому $$x_i(t)>=\mathrm{1,}$$ i=1,…, n, то вона набуває вигляду (5) з правими частинами.

$$f_i(y_1(t),y_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(t),u_1(t),u_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},u_n(t))=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ik}}{e}^{y_k(t)-y_i(t)}+$$.

$$+\underset{k=1}{\overset{n}{}}{e}^{-y_i(t)}{b}_{\text{ik}}{u}_k(t)$$

. (6).

.

Зазначимо, що система (1), а також (2) має додатній зростаючий розв’язок, якщо функція керування u (t) змінюється в межах від $$u_1$$ до $$u_2$$ таким чином, що $$z(t)>=u_2>=u_1>=\mathrm{0,}$$ для довільних t $$[t_0,t_1]$$, де $$z(t)=x(t)-\text{Ax}(t)\text{.}$$ При цьому споживання у (t)=u (t) невід'ємне і не перевищує випуск.

Розглянемо функціонал.

$$(t{}_1)=-\underset{t_0}{\overset{t_1}{}}{e}^{-(t-t_0)}W(u(t))\text{dt}+\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k(e^{y_k(t_1)}-e^{y_{1k}}),$$ (7).

де $${}_k$$ — множники Лагранжа, які визначаються граничними умовами на правому кінці фазової траекторії.

Нехай $${}_1(t),{}_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},{}_{n+1}(t)$$ -допоміжні змінні що задовільняють систему рівняннь.

$$\frac{{\mathit{d}}_i(t)}{\text{dt}}=-\underset{k=1}{\overset{n+1}{}}$$ $$\frac{f_k(y,u)}{y_i}{}_k(t),$$ i=1,2,…, n+1, (8).

та граничним умовам.

$${}_i(t_1)=-\frac{}{y_i}(t_1)$$, і=1, 2,…, n+1, (9).

де $$\frac{{\text{dy}}_{n+1}(t)}{\text{dt}}=f_{n+1}(y,u)=e^{-(t-t_0)}W(u)$$ .

Для оптимального керування u (t), оптимального вектора стану y (t), який описується системою (5) з правими частинами (6) функціонал $$$$ має мінімальне значення, а функція ГамільтонаПонтрягіна досягає максимуму по відношенню до свого керування на всьому проміжку часу $$t_0<=t<=t_{1\text{.}}$$.

Функція ГамільтонаПонтрягіна має вигляд.

$$H(y(t),(t),u(t))=e^{-(t-t_0)}W(u(t))+\underset{k=1}{\overset{n+1}{}}{}_k(t)f_k(y(t),u(t))$$ (10).

$$$$ Пряму та спряжену систему можна записати як.

$$\frac{\text{dy}(t)}{\text{dt}}=\frac{H}{}$$, $$\frac{\mathit{d}(t)}{\text{dt}}=-\frac{H}{y}$$. (11).

Оптимальне керування знаходиться з умови.

$$\frac{H(y,,u)}{u}=e^{-(t-t_0)}{w}^{\text{'}}(u)+B^{}u=\mathrm{0,}$$.

$$B^{}=(\frac{}{}{e}^{y_i(t)}{b}_{\text{ik}}{)}_{i,k=1}^n,$$.

$$u_{о}(t)=\text{kU}+\text{Usign}[-P^{-1}(e^{(t-t_o)}{B}^T\stackrel{}{{}^T}(t)+a^T)]$$, якщо $$u_2=\text{kU}<=u(t)<=U=u_1,$$ де W (u) квадратична функція корисності $$W(u)=a^{T}u+u^T\text{Pu}$$, матриця Р від'ємно визначена, вектор $$a^T+u^{T}P0$$ додатній, а к $$$$ 1- деякий коофіцієнт пропорційності .

Функції $$y(t)$$ та $$(t)$$ задовільняють рівнянням $$\frac{{\text{dy}}_i(t)}{\text{dt}}=f_i(y(t),u_0(t))$$, $$\frac{{\mathit{d}}_i(t)}{\text{dt}}=-\underset{k=1}{\overset{n}{}}$$ $$\frac{f_k(y,u)}{y_i}{}_k(t)$$

i=1,2,…n,.

.

$${}_{n+1}(t_1)=-\mathrm{1,}$$ (12).

з граничними умовами: $$y(t_0)=y_0,y(t_1)=y_1,$$ $$(t_1)=-{\mathit{}}^{{}_{y(t_1)}}\text{.}$$.

Необхідно відмітити, що, іноді, для розв’язку поставленної задачі, більш зручною може бути заміна $$x_i(t)=\sqrt{y_i(t)}$$, і=1,…, n.

Для визначення оптимального керування небхідно розв’язати двохточкову крайову задачу, тобто треба знайти $$(t_0)={}_o$$ таким чином, щоб основна змінна за час T =t1 -t0 перейшла з стану y (t0)=y0 в стан y (t1)=y1 в силу рівняннь (12).

Література.

1. 1.В. Леонтьев «Исследование структуры американской економики. Теоретический и эмпирический анализ по схеме затратывыпуск», Москва. Госстатиздат, 1938.

2. 2.А. В. Виноградська, В.В. Рішина «Керування спектром динамічнї системи витратвипуску моделі В. Леонтьєва». Вісник Київського університету, № 2, 1999.

1. 3О. І. Пономаренко, М. О. Перестюк, В. М. Бурим «Основи математичної економіки», Київ. «Інформтехніка», 1995.

4. .Э. Б. Ли, Л. Маркус." Основы теории оптимального управления", Москва. «Наука», 1972.