Математическое моделювання польоту лижника при стрибку з трампліна

Математическое моделювання польоту лижника при стрибку з трамплина

Бакалаврскую роботу виконав студент групи ММ-93 Подгаец А.Р.

Пермский державний технічний университет

Кафедра математичного моделювання систем і процессов

Пермь 1997

1. Введение

" Досягнення лыжников-прыгунов на змаганнях будь-якого рангу, чи це всесоюзні чи змагання, першості світу чи олімпійські игры, предопределены всієї історією стрибків на лижах — творчим працею учених, тренерів, самих спортсменів. Кількаразове повалення «законодавців стилю », усталених поглядів на «канони «техніки завжди знаменувало собою «новий «етап, який відразу ставав «пройденим », в розвитку. … Постійне вдосконалення спортивної техніки, модернізація спортивних споруд (профілів трамплінів) — ось основні умови високих набутків у стрибках на лижах. «.

(Грозин Є. А., «Стрибки з трамлина »).

Этот вид спорту — стрибки на лижах з трампліна — з’явився і в світлі наприкінці ХІХ століття скандинавських країн і північ від Росії. Це з «молодих «видів спорту, які народилися в еру науково-технічної революції. Треба сказати і те, що змагання стрибунів представляють смертельну загрозу для новачка. З іншого боку, стрибки на лижах з трампліна пов’язані лише з силою м’язів, реакцією і удачею, але й тонким розрахунком, заснованим на знанні фізичних законів природи й можливостей людини. Зважаючи на це, очікується, що це вид спорту потребуватиме підтримки з боку науки.

Первые роботи, присвячені стрибків на лижах ставляться до 1924 року. Їх автор — норвежець Р. Штрауман — і стрибун Тулін Тамс відомі у спортивному світі, як творці «норвезького стилю «стрибків із трампліна. Цей рік ознаменував прихід на спортивний Олімп норвезьких стрибунів, виборюючи призові місця трохи майже незалежності до середини 1950;х років. До 1954 року належить наступна наукових пошуків, результатом їхньої афери став «фінський стиль », вперше продемострированный на сучасних Олімпійських іграх стрибуном Тауно Луиро. Наприкінці 50-х ставляться роботи радянських учених Андрєєва В.А., Ниремберга Г. Р., Химичева М. А. і Нагірного В.Е. і такі стрибунів як М. Каменський, До. Цакадзе, М. Шамов. У початку 60-х спортивні перемоги дістаються спортсменам з НДР, що їх безсумнівно теж не стоїть колектив тренерів та закордонних вчених. До 1969 року належить феноменальне події історії стрибків на лижах з трампліна. Під час змагань «Тиждень польотів «м. Планица (Югославія) попередній світові рекорди — 141 метр — був побитий шість разів. Новим світовим рекордом став стрибок на 165 метров.

Этот успіх сколихнув хвилю нових наукових досліджень про в усіх країнах. Наприкінці 80-х років — початку 90-х на спортивної арені з’явився V-стиль, з яким пов’язані нові успіхи і достижения.

Каждый стиль — це своя техніка стрибка, яка спирається науковий досвід. Хочеться сподіватися, що це робота послужить, а то й є ще однією сходинкою у тому сходженні, так хоча б заділом для майбутньої роботи, принесущей реально значимі для російських спортсменів плоды.

1.1. Огляд литературы

Как і це зазначалося, дана робота, ясна річ, перестав бути першою у області моделювання стрибків. Понад те, вона в чому спирається на досвід наших предшественников.

В своєї книзі «Стрибки з трамлина «[1], що вийшла 1971 року, Е. А. Грозин розглядає послідовно все стадії стрибка: розгін, політ та приземлення. У роботі детально розглянутий сам політ, складена математична модель, яка використовує коефіцієнти аеродинамічного опору, отримані з експериментів в аеродинамічній трубі, і кинограммы стрибків. Розібрані різні техніки стрибка, популярні в 50-ті, 60-ті роки і показано перевага других над першими. Автор розглядає також розгін та приземлення, але комплексного дослідження не проводить, тобто, наприклад, під час аналізу приземлення до уваги береться посадкова швидкість, яка обумовлена всім попереднім рухом лижника. Вказані лише очевидні кордону нею і знаходять способи гасіння. Діяльність є і математичним викладкам, і практичним радам. Безсумнівно, цю книжку спромоглася принести багато користі прыгунам — і справді принесла. Позитивною стороною книжки є розгляд всіх стадій стрибка, що маємо присутній поки що тільки в моїх планах на будущее.

Вопросам моделювання стрибка з трампліна присвячені роботи Л. П. Ремизова [2,3]. Перша з них, опублікований у радянському журналі «Теорія і практика фізичної культури «в 1973 року, справляє враження чи вибірки, чи попередніх результатів для другий роботи, опублікованій десятиліттям згодом у міжнародному журналі з біомеханіки. Відмінність вражаюча: 2 сторінки — і повномасштабне дослідження, у тому числі у себе та ці 2 сторінки. Обидві статті присвячені віднайденню оптимальної траєкторії польоту лыжника-прыгуна з допомогою принципу максимуму Понтрягина. Схил гори приземлення заданий деякою функцією, як і і коефіцієнти аеродинамічного опору, і завдання вирішується в такий узагальненої постановці майже кінця. Природно, що аналітичне рішення поставленого завдання знайти дуже важко, й у кожного виду функцій завдання вирішується чисельно. У обох статтях використовуються коефіцієнти аеродинамічного опору, отримані Грозиным в 1971 року, тобто ці роботи також проведено для давно застарілих способів стрибка. Їх результатами з’явився висновок, що кут атаки стрибуна має залишатися постійним, як вважалося раніше, а повільно зростати у польоті. Зараз ми бачимо плоди цього й інших схожих досліджень, у інструкціях зі стрибків з трампліна, в якому йшлося, що стрибун повинен поступово розпрямлятися і піднімати лижі. Отже, дана робота є вимушені проведення такої ж дослідження сучасних способів прыжка.

Наконец, в останню коротко зупинимося назовсім нової статті [4], опублікованій 1997 року у журналі «Теорія і практика фізичної культури «кількома авторами із міста Великі Луки. Одне з них, будучи математиком, демонструє оригінальний математичний метод розрахунку дальності стрибка з залученням теорії функцій комплексного змінного. Наприкінці статті виведено формула, що дозволяє легко обраховувати дальність стрибка, виходячи з даних про прыгуне, трампліні і вітрі. Мету поставлено хороша: дати тренеру й конструкторові можливість легко розраховувати дальність стрибка, не вдаючись у фізичні складності. Однак у роботі допущено помилку під час запису рівнянь руху — не так враховано швидкість вітру. Не досліджується залежність аеродинамічних коефіцієнтів від кута атаки і держава сама коефіцієнти, узяті з [1], відповідають старим способам стрибка. Кут вильоту стрибуна позитивний, тоді як таких трамплінів роблять по меншою мірою вже тридцять років. Також швидкість вітру вважається постійної по модулю й спрямуванню у будь-якій точці траєкторії лыжника.

Во всіх розглянутих роботах не аналізується посадкова швидкість лижника, а тим часом травми у цьому виді спорту трапляються як при приземленні «вгору тормашками », а й за начебто нормальної посадці. Також в жодній роботі не враховано вплив вітру у околицях трамплинной горы.

2. Концептуальна постановка задачи

2.1. Геометричні елементи трамплинов

Трамплины створюються під певну дальність польоту стрибунів, яку обчислюють як відстань від точки старту до точки приземлення схилом. Трампліни діляться за дальності п’ять категорий:

маленькие трампліни 20−45 м средние трампліни 50−70 м нормальные трампліни 75−90 м большие трампліни 105−120 м трамплины для польотів 145−185 м Соревнования у Росії проводяться, зазвичай, великих трамплінах, а міжнародні змагання — на трамплінах для польотів. А, щоб лижник, що йде на рекорд, не розбився, полетівши межі схилу приземлення чи недолетев до нього, існують спеціальні формули і норми до розрахунку геометричних параметрів трамплинов.

.

Рис. 1. Основні геометричні елементи трамплина Трамплин складається з ділянки для розгону й столу відриву, від якого лижники йдуть у вільний політ. Стіл відриву нахилений до горизонталі під невеликим негативним кутом, зазвичай від -6О до -12О. Тут власне трамплін закінчується, проте, що далі, називається горою приземлення чи трамплинной горою. Висота столу відриву над схилом гори приземлення звичайно позначається і як від 2% до 4% від максимальної дальності, обозначаемой . Трамплинная гора складається з трьох ділянок: ділянки неопрацьованого схилу довжиною і завширшки , ділянки приземлення — прямого ділянки схилу, що становить з горизонталлю негативний кут , рівний відповідно до ухвалених нормам від -25О до -40О, і ділянки гальмування. Ділянка гальмування зазвичай має профіль, плавно закругляющийся вгору. Відстань за горизонталлю від канта відриву — крайньої точки столу відриву — до точки максимальної дальності позначається . Цією буквою позначається також критична точка — кінець ділянки приземления.

2.2. Власне концептуальна постановка

Кратко мета даної роботи таке: «як стрибнути, щоб полетіти подалі і розбитися? «Змінюючи умови та вимоги під час відриву, відносне становище ніг, рук і корпуси, атлет може контролювати траєкторію свого польоту в повітрі, керуючи кутом атаки. Завдання формулюється так: як повинен лижник управляти своєю тілом, щоб приземлитися настільки далеко, наскільки можна, і навіть мати прийнятну посадкову скорость.

Если старт й захоплює політ проходять нормально, то практично неможливо приземлитися раніше початку схилу приземлення. Але є інша небезпека. Лижник закінчує політ із швидкістю, яку треба погасити. На це є злегка закругляющийся ділянку гальмування. Але якщо стрибун перелітає критичну точку, він серйозно ризикує, оскільки далі схил закруглюється вгору, і кут, під яким його траєкторія наближається до схилу, становитиме не 5−10О, а значно більше. Тому приземлення ральше чи пізніше спеціально створеного при цьому ділянки приземлення у разі неможливо, тоді як у другому — неприпустимо. Паралельна схилу складова швидкості гаситься при подальшому русі лижника по зкругленному схилу. Найбільшу небезпека при приземленні є складова швидкості, перпендикулярна схилу, бо за занадто великий нормальної швидкості крім великих ударних навантажень також є ризик впасти — тим більше, зараз приземлення лижник має швидкість кілька десятків км/год. Тому нормальна до схилу складова посадкової швидкості має перевищувати 7 м/с, а бажано повинна бути 3−5 м/с.

3. Математична постановка задачи

3.1. Предположения

Ось абсцис спрямована убік польоту лижників паралельно обрію, вісь ординат — вгору вінця столу відриву, званий кантом відриву. Початок координат розміщено отже абсциса точки старту і ордината критичної позначки  — кінця ділянки приземлення — рівні нулю. Якщо ні бічного вітру та інших обурень, центр мас лижника описує криву в вертикальної площині, тобто завдання польоту можна як двухмерную.

Очевидно, стрибун може змінювати свої аеродинамічні параметри, куди впливають такі факторы:

кинетический момент системи прыгун-лыжи щодо осі, перпендирулярной площині малюнка і що проходить через центр мас системи, в останній момент відриву й у полете;

изменение моменту інерції системи щодо тієї самої осі в полете;

различные активні і реактивні ефекти, пов’язані з обертанням різних частин тіла внаслідок роботи м’язів.

Результаты багатьох досліджень кинограмм [1, 5] доводять відносну статичність становища кожної стрибуна у польоті. Це спрощує опис картини переміщень і швидкостей системи прыгун-лыжи і дозволяє вживати індивідуальні експериментальні характеристики, одержувані в аеродинамічній трубі. Завдяки цього було введено припущення щодо незмінності пози лижника в полете.

Весь стрибок може бути розбитий чотирма фази: злет, угруповання, власне політ та прискорення підготовки до приземленню. Першу фазу триває приблизно 0.3 з, друга -0.8−0.9 з, третя — 0.3−0.6 з. Решту часу поза лижника мало змінюється — див. мал.2 [1].

.

Рис. 2. Зміна кута атаки стрибуна під час прыжка.

(по осі абсцис відкладено ставлення поточної дальності до її повної дальності стрибка, по осі ординат — кут атаки тулуба в градусах за результатами середнього прыжка).

Таким чином, в основний фазі політ стрибуна близький до поступальному руху, що робить природним припущення щодо заміні розгляду стрибуна розглядом руху його центру масс.

3.2 Рівняння движения

На стрибуна у польоті діють дві основних сил: аеродинамічна сила і гравітація. Розкладемо аеродинамічну силу на дві складові - піднімальну собі силу й силу лобового опору (див. рис.3) — і запишемо другий закон Ньютона для центру мас системи лыжник-лыжи:

, (1).

где  — сила тяжести;

— маса системи прыгун-лыжи;

— прискорення центру мас системы;

— прискорення вільного падения;

 — підйомна сила;

В подібних випадках під набегающим потоком повітря розуміється швидкість повітря щодо системи лыжник-лыжи. При старих техніках стрибка (див. рис. 3), коли корпус лижника перебував на щодо великій відстані від лиж, потрібно було розглядати окремо кут атаки корпусу, ніг, рук і лиж [1], але за сучасних техніках і особливо в так званому V-стиле, коли стрибун розсовує лижі ляже з-поміж них, стаючи хіба що трикутним крилом, можна наближено вважати, що лижник і лижі перебувають у однієї площини і розглядати один кут атаки — кут атаки всієї системи в целом.

Вернемся до початку цієї глави. Для сили лобового опору (2) і піднімальної сили (3) є й інші висловлювання [6,7]:

, (9).

, (10).

где — щільність повітря, — коефіцієнт сили лобового опору,.

 — коефіцієнт піднімальної сили,  — площа миделя (площа перерізу системи прыгун-лыжи у площині, перпендикулярної набегающему потокові повітря). Якщо брати, що лижник і лижі перебувають у площині, то площа миделя при заданому вугіллі атаки визначається наступним образом:, де  — площа миделя при вугіллі атаки 900. Кут атаки складається із кутка між горизонталлю і швидкістю і кута між горизонталлю і лижами (рис. 4).

Система диференційних рівнянь (7) з аеродинамічними коефіцієнтами, вычисляемыми у кожний час по формулам (14), (15), утворює замкнуту систему рівнянь. Якщо до неї додати початкові умови (8), дана завдання буде бути завданням Коши.

В висновок наводиться порівняння реальних аеродинамічних коефіцієнтів стрибунів 60-х і поетів нашої оцінки. Криаая На рис. 6 зображує отриману нами залежність між коефіцієнтом піднімальної сили та коефіцієнтом лобового опору, а крива У — аналогічну залежність, отриману з експериментальних залежностей аеродинамічних коефіцієнтів від кута атаки [1]. Очевидно, що Німеччина вдавала залежності коефіцієнтів друг від друга слабко відрізняється, і коефіцієнт піднімальної сили у нашій стабільній роботі вище, ніж в.

.

Рис. 6. Залежність коефіцієнта піднімальної сили від коефіцієнта опору з кутом атаки як параметра (крива, А — наша оцінка, крива У — експерименти в аеродинамічній трубі на моделі стрибунів, використовують стару техніку прыжка).

.

Рис. 7. Залежність коефіцієнтів сили лобового опору і піднімальної сили від кута атаки.

экспериментах тридцятирічної давності. Це цілком узгоджується з тим, що з минулі роки стрибуни навчилися розвивати велику піднімальну силу. Також якщо взяти отримані нами графіки залежності аеродинамічних коефіцієнтів від кута атаки (рис. 7) з графіками в [1] зі сторінок 10−11, 13−14 і 15−16, видно, що Німеччина вдавала залежності сохранился.

 — сила лобового сопротивления.

.

Рис. 3. Система координат й освоєно основні сили, які діють стрибуна в полете.

Сила лобового опору спрямована дотично до траєкторії протилежно швидкості і пропорційна квадрату модуля швидкості: , (2).

а підйомна сила спрямована по нормальний до траєкторії і з модулю дорівнює: , (3).

где коефіцієнт [6]. Коефіцієнт визначається граничною швидкістю системи лыжник-лыжи :

. (4).

Предельная швидкість — це швидкість встановленого вільного падіння тіла в воздухе.

Спроецировав (1) на осі координат, шляхом нескладних перетворень дійшли диференційним рівнянням движения:

(5).

Понизим порядок системы:

(6).

Следует також пам’ятати, що повітряна середовище перебуває у русі, повітря навколо трамплинной гори поставлено векторное полі швидкостей вітру. Тобто попередні рівняння записані для відносних швидкостей та його слід переписати для абсолютних скоростей.

(7).

где  — горизонтальна, а  — вертикальна складова швидкості ветра.

Начальные условия:

(8).

Очевидно, що загалом разі завдання як і вирішується аналітично, дуже важко, тому доцільніше вирішувати її чисельно. Критерієм закінчення розрахунку буде служити виконання однієї з наступних условий:

пересечение траєкторії зі схилом горы;

вылет стрибуна межі ділянки приземления:.

Рассмотрим коефіцієнти и. У найпростішої моделі можна покласти їх постійними, як зроблено, наприклад, у роботі [4]. Проте насправді ці коефіцієнти залежить від орієнтації лижника повітря і його пози. Але випускаємо ми є достатньо підстав вважати позу лрыгуна постійної у польоті, таке припущення зроблено не лише у цієї роботи, а й у роботах [2 — 4]. Орієнтацію ж лижника в просторі визначає кут атаки системи прыгун-лыжи, тобто кут між площиною системи та швидкістю набегающего потоку повітря. Тут і далі в.

.

Рис. 4. Визначення кута атаки системи лыжник-лыжи.

(— кут між лижами і горизонталлю, — кут між швидкістю і горизонталлю, — кут атаки).

Как видно з кинограмм стрибків, наведених, наприклад, в [1], і з спостережень за стрибунами, кут між лижами і горизонталлю у польоті мало змінюється, змінюється лише кут між швидкістю і горизонталлю. Тоді, враховуючи висловлювання (2) і (9), можна записати:

. (11).

Из рис. 4 видно, что.

. (12).

Аэродинамические коефіцієнти і можна знайти з дослідів в аеродинамічній трубі. Однак на цей час ми маємо цими для сучасних технік стрибка, у цій роботі використовується лише оцінка аеродинамічних коефіцієнтів. Розглянемо лижника і окрыжающий його повітря. Якщо проаналізувати повітря, як ідеальний газ, що з круглих пружних частинок, відповідно до теорії удару аеродинамічна сила буде спрямована по нормальний до лиж (див. рис. 5).

.

Рис. 5. Підйомна сила і сила лобового опору серед ідеального газа.

(— повна аеродинамічна сила, складовими якої є сила лобового опору і підйомна сила).

Угол між швидкістю і лижами — це кут атаки . Тобто коефіцієнт.

(13).

Окончательно маємо такі висловлювання для і :

(14).

где.

(15).

В формулі (14)  — це кут відриву, то є кут, під яким траєкторія нахилена до горизонталі в початковий момент часу. Мінус поставлений оскільки . Під розуміється гранична швидкість системи лыжник-лыжи в останній момент відриву (в початковий момент времени).

4. Обтікання трамплинной гори потоком воздуха

4.1. Концептуальна постановка задачи

Эта глава присвячена завданню обтікання повітрям трамплинной гори. Мета цієї роботи — спрогнозувати полі швидкостей вітру поблизу трампліна, щоб було використовувати ці дані в моделі польоту лижника й точніше оцінити вплив вітру на полет.

Сам трамплін досить вузьке і грає значної роль формуванні воздухных потоків, тому розглядається лише гора.

Для рішення завдання привабили теорія прикордонного шару. Повітря у прикордонному шарі поблизу землі вважається в’язкому несжимаемой рідиною. Не суперечить очевидною сжимаемости повітря: як буде показано нижче, умова сжимаемости (відповідно до [8], де використовується термін «штучна стисливість ») виглядатиме точно як і, як і умова несжимаемости. Розглядається двовимірна завдання течії рідини у досить великий області, щоб протягом у вхідному і вихідному перетинах і верхньої кордоні можна було вважати суворо горизонтальним. Нам відомі експериментальні дані про среднесезонным і середньорічним швидкостям вітру різними висотах, їх можна використовуватиме перевірки і вибору вхідних даних. У [9], наприклад, швидкості вітру задано як нечітких чисел, які мають функція приналежності має імовірнісний сенс, а носій вимірюється в м/с:

Скорости вітру у в середньому у зимовим сезону (середнє значение):

скорость вітру в розквіті від 40 до 120 м (4.9 м/с):

(«0 до 2 «/0.188, «2 до 5 «/0.420, «5 до 10 «/0.352, «10 до 15 «/ 0.037, «понад 15 «/0.003).

скорость вітру в розквіті 500 м (11.4 м/с):

(«0 до 2 «/0.061, «2 до 5 «/0.125, «5 до 10 «/0.336, «10 до 15 «/ 0.241, «понад 15 «/0.237).

скорость вітру в розквіті від 1000 м (11.3 м/с):

(«0 до 2 «/0.073, «2 до 5 «/0.114, «5 до 10 «/0.290, «10 до 15 «/ 0.280, «понад 15 «/0.243).

скорость вітру в розквіті від 1500 м (11.6 м/с):

(«0 до 2 «/0.087, «2 до 5 «/0.076, «5 до 10 «/0.276, «10 до 15 «/ 0.306, «понад 15 «/0.255).

Среднегодовые швидкості вітру (середнє значение):

скорость вітру в розквіті від 40 до 120 м (4.7 м/с):

(«0 до 2 «/0.214, «2 до 5 «/0.442, «5 до 10 «/0.316, «10 до 15 «/ 0.026, «понад 15 «/0.002).

скорость вітру в розквіті 500 м (8.9 м/с):

(«0 до 2 «/0.117, «2 до 5 «/0.194, «5 до 10 «/0.370, «10 до 15 «/ 0.187, «понад 15 «/0.132).

скорость вітру в розквіті 1000 м (9.2 м/с):

(«0 до 2 «/0.110, «2 до 5 «/0.183, «5 до 10 «/0.336, «10 до 15 «/ 0.225, «понад 15 «/0.146).

скорость вітру в розквіті 1500 м (9.4 м/с):

(«0 до 2 «/0.126, «2 до 5 «/0.168, «5 до 10 «/0.284, «10 до 15 «/ 0.274, «понад 15 «/0.148).

Как видно з цих даних, починаючи я з висот 500 метрів швидкість вітру мало змінюється, отже, цю величину можна взяти як товщини прикордонного шару. Вже згадана область має прямокутну форму опукла на нижньої кордоні - трамплинной горой.

Контрольный рахунок проводився при наступних граничних условиях:

во вхідному сечении: (16).

в вихідному сечении: (17).

на верхньої границе: (18).

на нижньої границе: (19).

Рассматриваются досить малі швидкості, бо за буревіях стрибки заборонені. Дещиця швидкостей дозволяє знехтувати конвективными членами і слід вважати протягом ламинарным. Силою тяжкості поки що ми також нехтуємо. Треба сказати, що розуміємо деяку натягнутість такий постановки, у наступному роботі ця завдання буде остаточно вирішена вже з урахуванням психології та конвективного члена, і сили тяжести.

4.2. Математична постановка

Течение в’язкому несжимаемой рідини описується наступній системою рівнянь [7]:

(20).

Для двумерной постановки ці рівняння наводяться ось до чого виду:

(21).

Согласно [8] для описи стисливих рідин перше рівняння з (21) то, можливо замінено наступний: , проте позаяк у цій роботі розглядається стаціонарне протягом, то похідна за часом дорівнює нулю, і це співвідношення набуває вид, ідентичний умові несжимаемости.

Задача вирішувалася з граничними умовами (16)-(19).

В ролі області брався прямокутник з виступом як трамплинной гори. Сам трамплін досить вузьке, і вносить істотного внеску до формування повітряного потоку, й тому він не розглядається. Трамплинная гора складається з ділянки неопрацьованого схилу — дуги окружності з заздалегідь відомим радіусом кривизни, довжиною і заввишки, ділянки обробленого схилу, покликаного забезпечити приземлення лижників — прямий з певним кутом до горизонталі й довжиною і заокруглення з відомим радіусом національній безпеці тих, хто летить межі припустимою дальности.

4.3. Кількісна решение

Задача вирішувалася методом Галеркина в термінах скорость-давление. Метод кінцевих елементів використали, оскільки вона дозволяє точніше, ніж метод сіток, апроксимувати кордону області. Завдання вирішувалась у природних змінних для простоти задоволення граничним умовам. Аби вирішити завдання було створено програма, основними частинами якому було розбивка області на кінцеві елементи, впорядкування і рішення системи рівнянь. Система рівнянь має стрічковий вид, що дозволило приймати значно більшу кількість кінцевих елементів. У конкурсній програмі було використано лінійна апроксимація швидкостей і кусочно-постоянная апроксимація тиску. Річ у тім, що у [7] показано, що найбільша точність і стійкість методу кінцевих елементів щодо таких завдань досягається, якщо апроксимація швидкостей значно вище апроксимації тисків. Для тисків використовувалися чотирикутні кінцеві елементи, делившиеся для швидкостей на два треугольных.

.

Рис. 8. Конечноэлементная сітка, вдавалися під час вирішення задачи.

(показаны лише чотирикутні элементы).

Задача вирішувалася що за різних граничних умовах, що дозволило з’ясувати, як на розрахунок поставлене перепад тисків чи задана вхідні швидкість. Виявилося, що поставивши силове граничну умова — перепад тисків — отримуємо такі швидкості, що й поставити їх у ролі кінематичних граничних умов, виходить хоча б перепад тисків, що у першої задаче.

На рис. 9 наведено полі швидкостей вітру близько трамплинной гори при перепаде тисків між вхідним і вихідним сечениями розрахункової області 210−6 мм рт. ст. (близько 410−4 Па). Швидкість вітру верхній кордоні становила приблизно 11 м/с, але в висоті, де зазвичай літають лижники — майже п’ять м/с, що цілком цілком узгоджується з наведеними вище досвідченими даними. Очевидно, що з вхідному й у вихідному ділянках області швидкість вітру суворо горизонтальна, а районі гори має вертикальну складову, оскільки повітряний потік огинає гору.

.

Рис. 9. Поле швидкостей вітру у околицях горы.

5. Розрахунок польоту лыжника

Задача Коші (7); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (8); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (14); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (15) вирішувалася методом Гаусса рішення систем диференційних уравнений.

Траекторию при заданих рівняннях руху, і заданої геометрії трампліна визначають три «вхідних «параметра: початкова швидкість , підтримуваний у польоті кут між лижами і горизонталлю і гранична швидкість . Після вирішення завдання Коші ми можемо визначити два «вихідних «параметра завдання — нормальну до схилу складову посадочної швидкості і дальність .

Далее для стислості називатимемо просто швидкістю приземления.

Исследовалась відповідність рішення з інтегральної і максимальною нормі. Крім цього проводилося ще перевірки, мають простіший і наочний сенс. Їх результати тут й приведено. Порівняння які утворюються дальностей і швидкостей приземлення показало, що з заданому кроці за часом з дальність відрізняється проти вирішенням із точністю з на величину порядку м, тобто в рішень з кроками 0.001 сек. і 0.0001 з відмінність у дальності має порядок кількох міліметрів — у межах сантиметри, тобто. 0.01 м. Чисельно різниця між швидкостями приземлення менші надходження до 2−3 разу, цим між дальностями. Оскільки точності вище 1 див і одну см/с нам непотрібні, все подальші розрахунки проводилися з крок з часу 0.001 з. Другий перевіркою була така: при відключенні умови закінчення обчислень з початком досить великої часу швидкість падіння ставала постійної і рівної граничною швидкості. Виявилося, що значення вихідних параметрів досить жорстко визначають, які можуть бути вхідні параметри. Це пов’язано з не лише вузькістю інтервалу допустимих швидкостей приземлення і ділянки схилу приземлення, а й вузькістю інтервалів зміни вхідних параметрів. Обчислювальний експеримент проводився на параметрах нижне-тагильского трампліна. Вхідні параметрів має задовольняти наступним условиям:

м/с.

м/с.

.

На рис. 10 показані траєкторії польоту стрибуна при , фіксованою граничною швидкості і трохи відмінних початкових швидкостях. Очевидно, що зі зростанням швидкості вильоту зростає дальність польоту, але приземлення у своїй стає жорсткішим через зростання нормальної швидкості приземления.

На рис. 11, 12 показані залежності дальності польоту лижника і нормальної складової швидкості приземлення від швидкості вильоту що за різних значеннях граничною швидкості. З малюнків цих видно, чим більше дальність польоту, тим паче жорстким буде приземлення. За зменшення граничною швидкості задля досягнення тієї ж дальності потрібна менша початкова швидкість, тобто перевагу отримують стрибуни, які мають велику «парусність » .

.

Рис. 10. Траєкторії польоту лижника що за різних швидкостях вылета.

.

Рис. 11. Залежність дальності польоту від початковій швидкості що за різних граничних скоростях.

.

Рис. 12. Залежність нормальної до схилу складової швидкості приземлення від початковій швидкості що за різних граничних скоростях.

На основі розрахунків щодо різноманітних величин кута нахилу лиж до обрію визначено інтервали допустимих значень швидкості вильоту та граничною швидкості, щоб забезпечити приземлення на необхідному ділянці схилу гори з прийнятною швидкістю. З рис.13−14 видно, що кут нахилу лиж до коризонту 20° краще, ніж кут 30°, оскільки за нього можна стартувати з меншими швидкостями і із меншим ризиком. Таким чином, найкращі стрибки виходять при як і великих початкових швидкостях (зрозуміло, не більше припустимою області) і якомога менших граничних швидкостях і кутках .

.

Рис. 13. Припустима зона зміни граничною і початковій швидкостей при фіксованому вугіллі нахилу лиж до обрію .

.

Рис. 14. Припустима зона зміни граничною і початковій швидкостей при фіксованому вугіллі нахилу лиж до обрію .

Приведенные вище результати були отримані припущенні про відсутність вітру. З урахуванням вітру виявилося, що вони при швидкостях порядку 1 м/с при зустрічному вітрі лижник має великий шанс недолететь до ділянки приземлення, а при побіжному — перелетіти нього. Вочевидь тому змагання з стрибків з трампліна при вітрі не проводятся.

6. Заключение

Построена математична модель стрибка з трампліна, враховує все основні чинники, що впливають політ лижника, включаючи вітер поблизу трамплинной гори і залежність аеродинамічних коефіцієнтів від кута атаки.

Определена область зміни параметрів стрибка, забезпечує безпечне приземление.

Решена завдання обтікання трамплинной гори потоком повітря. Укладена модель відображає основні фізичні закономірності аналізованого явища, а саме виникнення вітру під впливом перепаду тисків, збільшення швидкості вітру під впливом висотних вітрів, поворот повітряного потоку назад при завданні негативних швидкостей межах аналізованої області чи негативного перепаду тисків і т.д.

В подальшому планируется:

Исследовать вплив стартового поштовху на результати прыжка;

Провести більш точний аналіз аеродинамічних коефіцієнтів, заснований на математичну модель обтікання системи прыгун-лыжи потоком воздуха;

Поставить завдання оптимізації параметрів стрибка і вирішити із застосуванням прнципа максимуму Понтрягина аналогічно роботам [2,3], але з урахуванням обмеження на швидкість приземления;

Решить нестационарную завдання обтікання гори потоком повітря: навіть невеличкий постійний вітер призводить до зносу кілька десятків метрів, може, припустимими виявляться невеликі пориви ветра.

Список литературы

1. Грозин Е. А. Стрибки з трамлина. — М.: Фізкультура і спорт, 1971.

2. Ремизов Л. П. Максимальна дальність стрибка з трампліна. // Теорія і практика фізичної культури. 1973, т. 3, с.73−75.

3. Remizov L. P. Biomechanics of optimal ski jump. // J.Biomechanics. 1984, vol.17, № 3, pp.167−171.

4. Багин Н. А.,.Волошин Ю.І, Євтєєв В. П. До теорії польоту лижника під час стрибків з трампліна. // Теорія і практика фізичної культури. 1997, № 2, с.9−11.

5. Komi, P. V., Nelson, R. P. S. and Pulli, M. Biomechanics of Ski-Jumping. — Jivaskyla, 1974.

6. Петров В. А., Гагин Ю. О. Механіка спортивних рухів. — М.: Фізкультура і спорт, 1977.

7. Флетчер До. Обчислювальні методи у поступовій динаміці рідин: у двох томах. — М.: Світ, 1991.

8. Тарунин О. Л. Двухполевой метод вирішення завдань гідродинаміці в’язкому рідини. — Перм: Вид-во ПГУ, 1985.

9.HÜTTE. Довідник для інженерів, техніків і. Том перший. М.-Л.: Головна редакція літератури з машинобудуванню і металообробці, 1936.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.