Системи диференціальних рівнянь (реферат)

Реферат на тему:

Системи диференціальних рівнянь

Загальна теорія

Співвідношення вигляду.

$$\begin{array}{c}{F}_1(\stackrel{}{x_1},\stackrel{}{x_2},\text{.}\text{.}\text{.}\stackrel{}{x_n},x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n-t)=0\\ F_2(\stackrel{}{x_1},\stackrel{}{x_2},\text{.}\text{.}\text{.}\stackrel{}{x_n},x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n-t)=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ F_n(\stackrel{}{x_1},\stackrel{}{x_2},\text{.}\text{.}\text{.}\stackrel{}{x_n},x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n-t)=0\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

називається системою $$n$$ -звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Якщо система розв’язана відносно похідних і має вигляд.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \stackrel{}{x_2}=f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n}=f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

то вона називається системою в нормальній формі.

Визначення 1. Розв’язком системи диференціальних рівнянь називається набір $$n$$ неперервно диференційованих функцій $$x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$ тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.

У загальному випадку розв’язок системи залежить від $$n$$ — довільних сталих і має вигляд $$x_1(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n)$$ і задача Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку ставиться в такий спосіб. Потрібно знайти розв’язок, що задовольняє початковим умовам (умовам Коші): $$x_1(t_0)=x_1^0,\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t_0)=x_n^0$$ .

Визначення 2. Розв’язок $$x_1(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n)$$ називається загальним, якщо за рахунок вибору сталих $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ можна розв’язати довільну задачу Коші.

Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості) можна розглядати два визначення інтеграла.

Визначення 3. 1. Функція $$F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ стала уздовж розв’язків системи, називається інтегралом системи.

2. Функція $$F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається інтегралом системи.

Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності розв’язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям є функціональна незалежність.

Визначення 4. Інтеграли $$F_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$, $$F_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$, $$F_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$, …, $$F_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ називаються функціонально незалежними, якщо не існує функції $$n$$ — змінних $$(z_1,\text{.}\text{.}\text{.},z_n)$$ такої, що $$(F_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t),\text{.}\text{.}\text{.},F_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t))0\text{.}$$.

Теорема. Для того щоб інтеграли.

$$F_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$, $$F_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ ,… $$F_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний від тотожного нуля, тобто.

$$\frac{D(F_1,F_2,\text{.}\text{.}\text{.},F_n)}{D(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}/=0\text{.}$$.

Визначення 5. Якщо $$F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)$$ інтеграл системи диференціальних рівнянь, то рівність $$F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)=C$$ називається першим інтегралом.

Визначення 6. Сукупність $$n$$ — функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом системи диференціальних рівнянь.

Власне кажучи загальний інтеграл — це загальний розв’язок системи диференціальних рівнянь у неявному вигляді.

Теорема. (існування та єдиності розв’язку задачі Коші). Щоб система диференціальних рівнянь, розв’язаних відносно похідної, мала єдиний розв’язок, що задовольняє умовам Коші: $$x_1(t_0)=x_1^0,x_2(t_0)=x_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t_0)=x_n^0$$ досить, щоб:

1) функції $$f_1,f_2,\text{.}\text{.}\text{.},f_n$$ були неперервними по змінним $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t$$ в околі точки $$x_1^0,x_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},x_n^0,t_0$$ ;

2) функції $$f_1,f_2,\text{.}\text{.}\text{.},f_n$$ задовольняли умові Ліпшиця по аргументах $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n$$ у тому ж околі.

Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто.

$$|\frac{f_i}{x_i}|<=M,i,j=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n\text{.}$$.

1. Геометрична інтерпретація розв’язків

Назвемо $$n+1$$ -вимірний простір змінних $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t$$ розширеним фазовим простором $$R^{n+1}$$. Тоді розв’язок $$x_1=x_1(t),x_2=x_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n=x_n(t)$$ визначає в просторі $$R^{n+1}$$ деяку криву, що називається інтегральною кривою. Загальний розв’язок (чи загальний інтеграл) визначає сім'ю інтегральних кривих, що всюди щільно заповнюють деяку область $$D{R}^n$$ (область існування та єдиності розв’язків). Задача Коші ставиться як виділення із сім'ї інтегральних кривих, окремої кривої, що проходить через задану початкову точку $$M(x_1^0,x_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},x_n^0,t_0)D\text{.}$$.

2. Механічна інтерпретація розв’язків

В евклідовому просторі $$R^n$$ змінних $$x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$ розв’язок $$x_1=x_1(t),x_2=x_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n=x_n(t)$$ визначає закон руху по деякій траєкторії в залежності від часу $$t$$. При такій інтерпретації функції $$f_1,f_2,\text{.}\text{.}\text{.},f_n$$ є складовими швидкості руху, простір зміни перемінних називається фазовим простором, система динамічної, а крива, по якій відбувається рух $$x_1=x_1(t),x_2=x_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n=x_n(t)$$ — фазовою траєкторією. Фазова траєкторія є проекцією інтегральної кривої на фазовий простір.

3. Зведення одного диференціального рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку

Нехай маємо диференціальне рівняння.

$$\frac{d^{n}y}{{\text{dx}}^n}=f(x,y,\frac{\text{dy}}{\text{dx}},\frac{d^{2}y}{{\text{dx}}^2},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}y}{{\text{dx}}^{n-1}})\text{.}$$.

Розглянемо заміну змінних.

$$x=>t,y=>x_1,\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=>x_2,\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}y}{{\text{dx}}^{n-1}}=>x_n$$ .

Тоді одержимо систему рівнянь.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}=x_2\\ \stackrel{}{x_2}=x_3\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_{n-1}}=x_n\\ \stackrel{}{x_n}=f(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

4. Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого порядку

Нехай маємо систему диференціальних рівнянь.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \stackrel{}{x_2}=f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n}=f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

і заданий її розв’язок $$x_1=x_1(t),x_2=x_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n=x_n(t)$$. Якщо цей розв’язок підставити в перше рівняння, то вийде тотожність і її можна диференціювати.

$$\frac{d^2{x}_1}{{\text{dt}}^2}=\frac{f_1}{t}+\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{f_1}{x_i}\frac{{\text{dx}}_i(t)}{\text{dt}}\text{.}$$.

Підставивши замість $$\frac{{\text{dx}}_i(t)}{\text{dt}}$$ їх значення, одержимо.

$$\frac{d^2{x}_1}{{\text{dt}}^2}=\frac{f_1}{t}+\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{f_1}{x_i}{f}_i=F_2(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}$$.

Знову диференціюємо це рівняння й одержимо.

$$\begin{array}{c}\frac{d^3{x}_1}{{\text{dt}}^3}=\frac{F_2}{t}+\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{F_2}{x_i}\frac{{\text{dx}}_i(t)}{\text{dt}}=\frac{F_2}{t}+\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{F_2}{x_i}{f}_i=\\ =F_3(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}\end{array}$$.

Продовжуючи процес далі, одержимо.

$$\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}=F_{n-1}(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}$$.

$$\frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=F_n(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}$$.

Таким чином, маємо систему.

$$\begin{array}{c}\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \frac{d^2{x}_1}{{\text{dt}}^2}=F_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}=F_{n-1}(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=F_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Припустимо, що $$\frac{D(f_1,F_2,\text{.}\text{.}\text{.},F_{n-1})}{D(x_2,x_3,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}/=0\text{.}$$ Тоді систему перших $$(n-1)$$ — рівнянь.

$$\begin{array}{c}\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \frac{d^2{x}_1}{{\text{dt}}^2}=F_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}=F_{n-1}(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

можна розв’язати відносно останніх $$(n-1)$$ змінних $$x_2,x_3,\text{.}\text{.}\text{.},x_n$$ і одержати.

$$\begin{array}{c}{x}_2={}_2(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\\ x_3={}_3(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n={}_n(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Підставивши одержані вирази в останнє рівняння, запишемо.

$$\begin{array}{c}\frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=F_n(t,x_1,{}_2(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}),\text{.}\text{.}\text{.},\\ {}_n(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}))\text{.}\end{array}$$.

Або, після перетворень.

$$\frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})$$ ,.

одержимо одне диференціальне рівняння $$n$$ -го порядку.

У загальному випадку, одержимо, що система диференціальних рівнянь першого порядку.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \stackrel{}{x_2}=f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n}=f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

зводиться до одного рівняння $$n$$ -го порядку.

$$\frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\text{.}$$.

і системи $$(n-1)$$ рівнянь зв’язку.

$$\begin{array}{c}{x}_2={}_2(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\\ x_3={}_3(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n={}_n(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Зауваження. Було зроблене припущення, що $$\frac{D(f_1,F_2,\text{.}\text{.}\text{.},F_{n-1})}{D(x_2,x_3,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}/=0\text{.}$$. Якщо ця умова не виконана, то можна зводити до рівняння щодо інших змінних, наприклад відносно $$x_2$$ .

5. Комбінації, що інтегруються

Визначення. Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.

$$\mathit{d}(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=0$$ .

Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння.

$$(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=C$$ ,.

яке є першим інтегралом системи.

Геометрично перший інтеграл являє собою $$n$$ -вимірну поверхню в $$(n+1)$$ -вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих.

Якщо знайдено $$k$$ -комбінацій, що інтегруються, то одержуємо $$k$$ перших інтегралів.

$$\begin{array}{c}{}_1(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=C_1\\ {}_2(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=C_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ {}_k(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=C_k\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б один з визначників $$\frac{D({}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_k)}{D(x_{i_1},x_{i_2},\text{.}\text{.}\text{.},x_{i_k})}/=0$$. Звідси з системи можна виразити $$k$$ — невідомих функцій $$x_{i_1},x_{i_2},\text{.}\text{.}\text{.},x_{i_k}$$ через інші і підставивши їх у вихідну систему, понизити порядок до $$(n-k)$$ — рівнянь. Якщо $$n=k$$ і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.

Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є використання систем у симетричному вигляді.

Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}(t)=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \stackrel{}{x_2}(t)=f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n}(t)=f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

можна переписати у вигляді.

. $$\frac{{\text{dx}}_1}{f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)}=\frac{{\text{dx}}_2}{f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)}=\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{{\text{dx}}_n}{f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)}=\frac{\text{dt}}{1}$$ .

При такій формі запису всі змінні $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t$$ рівнозначні.

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді.

$$\frac{{\text{dx}}_1}{X_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=\frac{{\text{dx}}_2}{X_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{{\text{dx}}_n}{X_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}$$ ,.

називається системою у симетричному вигляді.

При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто використовується властивість «пропорційності». А саме, для систем в симетричному вигляді справедлива рівність.

$$\frac{{\text{dx}}_1}{X_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=\frac{{\text{dx}}_2}{X_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{{\text{dx}}_n}{X_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=$$.

$$=\frac{k_1{\text{dx}}_1+k_2{\text{dx}}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+k_n{\text{dx}}_n}{k_1{X}_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)+k_2{X}_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)+\text{.}\text{.}\text{.}+k_n{X}_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}$$ .