Аналітична геометрія в просторі (реферат)

Реферат на тему:

Аналітична геометрія в просторі.

Аналітична геометрія в просторі.

Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x0-y0-z0) перпендикулярно до вектора $$\stackrel{}{N}(A,B,C)$$ має вигляд.

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0) (2.7).

або.

Ax+By+Cz=0 (2.8).

Спеціальними площинами є площини OXY (рівняння z=0), OXZ (рівняння y=0) та OYZ (рівняння x=0).

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (x0-y0-z0), (x1-y1-z1), (x2-y2-z2) (якщо ці точки не лежать на одній прямій), є таким:

$$|\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ x_1-x_0& y_1-y_0& z_1-z_0\\ x_2-x_0& y_2-y_0& z_2-z_0\end{array}|=0$$ (2.9).

Приклад. Записати рівняння площини, яка проходить через точки M0(1−2-3), M1(2−1-2) та M3(3−3-1).

Маємо $$|\begin{array}{ccc}x-1& y-2& z-3\\ 1& -1& -1\\ 2& 1& -2\end{array}|=0$$ ,.

звідки x+4y-4=0.

Рівняння площини у відрізках є таким:

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$. (2.10).

Ця площина проходить через точки (a-0−0), (o-b-0) та (0−0-c).

Приклад. Ціни за одиницю кожного з трьох товарів становлять, відповідно, 2, 3 та 4 умовні одиниці. Бюджет споживача дорівнює 120 умовних одиниць. Зобразити графічно бюджетне обмеження цього споживача.

Нехай споживач на всі гроші купив x одиниць першого товару, y одиниць другого та z одиниць третього. Тоді виконується рівність.

2x+3y+4z=120.

Ми отримали бюджетне обмеження споживача як загальне рівняння площини.

Зручніше записати це обмеження у вигляді рівняння площини у відрізках (виконавши ділення на 120):

$$\frac{x}{\text{60}}+\frac{y}{\text{40}}+\frac{z}{\text{30}}=1$$ .

`Отже, споживач може купити або тільки 60 одиниць першого товару, або тільки 40 другого, або тільки 30 третього, а також може перебувати в довільній іншій точці площин $$\frac{x}{\text{60}}+\frac{y}{\text{40}}+\frac{z}{\text{30}}=1$$ за умов xyzрис .2.10).

z.

Бюджетне обмеження ;

частина площини в просторі.

40.

y.

x.

Рис. 2.10.

Якщо ж витрачають не всі гроші, то бюджетне обмеження буде тетраедром:

$$\{\begin{array}{c}2x+3y+4z<=\text{120}\\ x>=0\\ y>=0\\ z>=0\end{array}$$ .

Розглянемо випадок, коли споживач зовсім не купує третього товару (z =0). Тоді бюджетне обмеження представлятиме собою відрізок прямої на площині.

$$\{\begin{array}{c}2x+3y=\text{120}\\ x>=0\\ y>=0\end{array}$$ ,.

або множину точок всередині трикутника (рис. 2.11).

$$\{\begin{array}{c}2x+3y<=\text{120}\\ x>=0\\ y>=0\end{array}$$ .

y.

Бюджетне обмеження ;

40 відрізок прямої на площині.

60 x.

Рис. 2.11.

Рівняння прямої у тривимірному просторі також записується багатьма способами.

Пряму як перетин двох площин задають системою лінійних рівнянь.

$$\{\begin{array}{c}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z=D_1\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z=D_2\end{array}$$. (2.11).

Симетричне (канонічне) рівняння прямої, що проходить через точку (x0-y0-z0) паралельно до напрямного вектора $$\stackrel{}{a}(l-m-n)$$, має вигляд.

$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$. (2.12).

Параметричне рівняння прямої є таким:

$$\{\begin{array}{c}x=x_0+\text{lt}\\ y=y_0+\text{mt}\\ z=z_0+\text{nt}\end{array}$$. (2.13).

Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві точки (x1-y1-z1) та (x2-y2-z2), є подібним до рівняння прямої на площині:

$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$. (2.14).

Приклад. Пряма в просторі проходить через дві точки: M1(1−2-3) та M2(4−6-8). Рівнянням цієї прямої згідно (2.14) є рівняння.

$$\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{6-2}=\frac{z-3}{8-3}$$ .

Виконавши операції віднімання, отримуємо канонічне рівняння.

$$\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{5}$$ .

Від останнього рівняння перейдемо до параметричного задання прямої (формула 2.13): $$\{\begin{array}{c}x=1+3t\\ y=2+4t\\ z=3+5t\end{array}$$ .

У тривимірному просторі справджуються такі формули для кутів:

кут між двома прямими $$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$ та $$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$.

обчислюється згідно з формулою $$\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\\ \text{cos}=\frac{l{l}^{\text{'}}+m{m}^{\text{'}}+n{n}^{\text{'}}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\sqrt{l^{}{m}^{}{n}^{}}}\\ \end{array}$$ ;

кут між прямою $$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$ та площиною Ax+By+Cz+D=0 знаходиться за формулою $$\text{sin}=\frac{|\text{Al}+\text{Bm}+\text{Cn}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$$ .