Інтеграл Лебега

ВОЛОГОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ.

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛИЗА.

Курсова робота на тему:

«Інтеграл Лебега».

Виконала: студентка 3мфА.

Сенченко Ю. В.

Перевірила: Панфілова Т. Л.

Вологда.

1.

Введение

.

1.1.Простые функции.

1.2.ИнтегралЛебега від простих функций.

2. Визначення интнгралаЛебега.

3. Основні властивості интеграла.

4. Граничний перехід під знаком интеграла.

5. Порівняння з дитинства інтегралів Рімана і Лебега.

6. Примеры.

7.

Литература

.

1. Запровадження Поняття інтеграла Рімана, відоме з елементарного курсу аналізу, застосовно тільки в таким функцій, котрі або безупинні або мають «не занадто багато» точок розриву. Для вимірюваних функцій, які можна разрывны скрізь, де їх визначено (або взагалі може бути задано на абстрактному безлічі, отож у них поняття безперервності просто більше не має сенсу), римановская конструкція інтеграла стає непридатною. Разом про те для таких функцій є дуже досконале і гнучке поняття інтеграла, запроваджене Лебегом.

Основна ідея побудови інтеграла Лебега у тому, що саме, в на відміну від інтеграла Рімана, точки x групуються за ознакою їх близькості на осі x, а, по ознакою близькості значень функції у тих точках. Це ж дозволяє поширити поняття інтеграла за широкий клас функцій. З іншого боку, інтеграл Лебега визначається цілком однаково для функцій, заданих будь-яких просторах з мірою, тоді як інтеграл Рімана вводиться спочатку для функцій одного змінного, та був вже з відповідними змінами переноситься у разі кількох змінних. Для функцій ж абстрактних просторах з мірою інтеграл Рімана взагалі втрачає сенс. Усюди, де немає обумовлено гидке, розглядатиметься деяка повна (-аддитивная міра (, певна на (-алгебрі множин з одиницею X. Усі аналізовані безлічі А (Х будуть передбачатись вимірними, а функції f (x) — певними для x (Х і вимірними. 1.1. Прості функції. Визначення 1. Функція f (x), певна на деякому просторі Х з заданої у ньому мірою, називається простий, якщо вона вимірна та приймає не більш, ніж рахункове число значень. Структура простих функцій характеризується наступній теоремою. Теорему 1. Функція f (x), приймаюча лише рахункове число різних значень y1, y2, …, yn, …, вимірна у тому лише тому випадку, коли всі множества.

An={x: ((x)=yn} вимірні. Доказ. Необхідність умови зрозуміла, оскільки кожне An є прообраз одноточечного безлічі {yn}, а всяке одноточечное безліч є борелевским. Достатність випливає з те, що за умов теореми прообраз f-1(B) будь-якого борелевского безлічі є об'єднання [pic]не більш як лічильного числа вимірюваних множин An, т. е. виміримо. Використання простих функцій у будівництві інтеграла Лебега буде грунтується ось на наступній теореме.

Теорему 2. Для вимірності функції f (x) необхідне й досить, щоб вона була б представленій у вигляді краю рівномірно сходящейся послідовності простих вимірюваних функцій. Доказ. Аби довести необхідності розглянемо довільну измеримую функцію f (x) і між іншим fn (х)=m/п, якщо т/п[pic]f (x)((m+1)/n (тут т — цілі, а п — цілі позитивні). Зрозуміло, що функції fn (x) прості; при п ([pic] вони рівномірно сходяться до f (x), оскільки (f (x) — fn (x)((1/n.

1.2.Интеграл Лебега простих функций.

Ми введемо поняття інтеграла Лебега спочатку для функцій, названих вище простими, т. е. для вимірюваних функцій, приймаючих кінцеве чи рахункове число значень. Нехай f—некоторая проста функція, приймаюча значення y1, y2, …, yn, …; yi[pic]yj при i[pic]j, і нехай, А — деяке вимірне підмножина X. Природно визначити інтеграл від функції f на багато, А рівністю [pic]=[pic], де An={x: x[pic]A, f (x)=yn},.

(1) якщо ряд справа сходиться. Ми дійшли наступному визначенню (у якому крім того заздалегідь постулюється абсолютна відповідність ряда).

Визначення 2. Проста функція f називається интегрируемой чи суммируемой (принаймні () на безлічі A, якщо ряд (1) абсолютно сходиться. Якщо f интегрируема, то сума низки (1) називається інтегралом від f на багато А.

У цьому вся визначенні передбачається, що це уn різні. Можна, проте, уявити значення інтеграла від простий функції як суми творів виду ck ((Bk) і припускаючи, що це ck різні. Це дозволяє: зробити наступна лемма.

Лема. Нехай А=[pic], Bi[pic]Bj=(при i[pic]j і нехай кожному безлічі Bk функція f бере лише одне значення ck; тоді [pic]=[pic],.

(2) причому функція f интегрируема на На тому й лише тому випадку, коли ряд (2) абсолютно сходится.

Доказ. Легко бачити, що кожен безліч Аn={х: х (А, f (x)=yn} є об'єднанням тих Bk, котрим сk=yn. Тому [pic]=[pic][pic]=[pic]. Оскільки міра неотрицательна, то [pic]=[pic]=[pic], т. е. ряди [pic] і [pic] абсолютно сходяться чи розходяться одночасно. Лема доказана.

Встановимо деякі властивості інтеграла Лебега від простих функцій A) [pic]=[pic]+[pic], причому з існування з дитинства інтегралів у правій частині рівності слід існування інтеграла в левой.

Аби довести припустимо, що f приймає значення fi на безлічах Fi (A, a g — значення gj на безлічах Gj (A, отже J1=[pic]=[pic],.

(3) J2=[pic]=[pic].

(4) Тоді спрацьовує леми J=[pic]=[pic]; (5) тож із абсолютної збіжності рядів (3) і (4) слід забувати і абсолютна відповідність низки (5); у своїй J=J1+J2. Б) Для будь-якого постійного k [pic]=k[pic],.

причем з існування інтеграла у правій частині слід існування інтеграла у частині. (Перевіряється безпосередньо.) У) Обмежена на безлічі А проста функція f интегрируема на А, причому, якщо (f (x)((M на A, то ([pic]((M ((A). (Перевіряється непосредственно.).

2. Визначення інтеграла Лебега Класичне визначення інтеграла, дане Про. Коші і розвинене Б. Риманом, полягає, як відомо, наступного: розглядається кінцева функція f (x), задана на сегменті [a, b]; цей сегмент розбивається на частини точками x0 = a (x1 (x2 (((xn = b у кожному частини [xk, xk+1] вибирається точка (k і складається риманова сума (= [pic]. Якщо сума (при прагнення до нулю числа (= max (xk+1 — xk). прагне кінцевому межі I, який залежить ні від способу роздрібнення [a, b], ні від вибору точок (k, цей межа I називається інтегралом Рімана функції f (x) і позначається символом [pic]. Іноді, бажаючи підкреслити, йдеться саме про римановом интеграле, пишуть ®[pic]. Функції, котрим інтеграл Рімана існує, називаються интегрируемыми себто Рімана чи, коротше, интегрируемыми ®. Для интегрируемости ® функції f (x) необхідно, щоб у неї обмеженою. Ще Коші встановив, що кожна безперервна функція интегрируема ®. Існують і розривні функції, интегрируемые ®. Зокрема, така будь-яка розривна монотонна функція. Легко побудувати, проте, обмежену функцію, яка буде интегрируемой ®. Розглянемо, наприклад, функцію Дирихле [pic], яка визначається на сегменті [0, 1] наступним образом.

1, якщо x раціонально, ((x) =.

0, якщо x иррационально.

Легко бачити, що цю функцію не интегрируема ®, бо сума (звертається в 0, коли всі точки ([pic] ірраціональні і (= 1, коли всі [pic] раціональні. Отже, риманово визначення інтеграла страждає суттєвими вадами — чи навіть дуже прості функції виявляються неинтегрируемыми. Неважко з’ясувати причини цієї обставини. Річ ось у чому: під час упорядкування сум Рімана (, ми дробимо сегмент [a, b] на дрібні частини [x0, x1], [x1, x2], (,[xn-1, xn] (назвемо їх крізь e0, e1, (, en-1), у кожному частини ek беремо точку (k і, склавши суму (= [pic], вимагаємо, щоб вона мала межа, котрий залежить від вибору точок (k в безлічах еk. Інакше висловлюючись, кожна точка x з багатьох еk то, можливо узята за (k, а варіювання цієї точки на повинен помітно проводити значення суми (. І це можливе лише тому випадку, коли варіювання точки (k мало змінює величину f ((k). Але що об'єднує між собою різні точки x безлічі ek? Їх об'єднує те, що близькі одна одній, бо еk є малий сегмент [xk, xk+1]. Якщо функція f (x) безупинна, то достатня близькість абсцис x тягне за собою і злочини близькість відповідних значень функції і ми можемо чекати, що зміна точки (k не більше безлічі ek мало впливає величину суми (, але для функція розривної це зовсім так. Інакше можна сказати, що безлічі ek складено отже лише безперервних функцій значення f ((k) вважатимуться нормальним представником інших значень функції на ek. Отже, саме визначення риманова інтеграла можна вважати цілком виправданим тільки до функцій безперервних, інших ж функцій воно має досить випадковим. Нижче ми переконаємося, що з интегрируемости ® необхідно, щоб розглянута функція була «занадто розривної». Бажаючи узагальнити поняття інтеграла більш широкі класи функцій, Лебег запропонував інший процес інтегрування, у якому точки x об'єднують у безлічі ek за випадковому ознакою свою близькість на осі Ой, а, по ознакою достатньої близькості відповідних значень функції. З цього метою Лебег розбиває на частини не сегмент [a, b], розташований на осі абсцис, а сегмент [А, У], що лежить на осі ординат і включає все значення функції f (x): A = yo (y1 (((yn = B.

Якщо скласти безлічі ek так: ek = E (yk (f (yk+1), то ясно, що різний точкам x (еk у самому справі відповідають близькі значення функції, хоча, на відміну римановского процесу, самі точки x можуть бути далекі одне від друга.

Зокрема, хорошим представником значень функції на безлічі ek може бути, наприклад, yk, тож природно покласти основою поняття інтеграла суму [pic].

Перейдемо тепер до точному викладу вопроса.

Нехай на измеримом безлічі E задана измеримая обмежена функція f (x), причому A N виявиться 2K (mAn (() ([pic].

Для цих n нерівність (4) набуде вигляду [pic] ((, що доводить теорему.

Легко зрозуміти, що теорема залишається вірною й у разі, коли нерівність [pic] (K виконується лише майже скрізь на безлічі Є. Доказ залишається прежним.

Далі, оскільки відповідність принаймні загальне звичайній збіжності, то теорема тим більше зберігає силу у тому випадку, коли fn (x) (F (x) майже скрізь (і більше везде).

5. Порівняння з дитинства інтегралів Рімана і Лебега.

Нехай на сегменті [а, b] задана (необов'язково кінцева) функція f (х). Нехай x0 ([a, b] і (> 0. Означимо через m ((x0) і М ((х0) відповідно точну нижню і точну верхню кордону функції f (x) на інтервалі (х0 — (, x0 + () m ((x0) = inf{f (x)}, M ((x0) = sup{f (x)} (х0 — ((x (x0 + ().

(Зрозуміло зрозуміло, що ми приймаємо до уваги лише ті точки інтервалу (х0 — (, x0 + (), що лежать ще й на сегменті [а, b].).

Вочевидь, m ((x0) (f (x0) (M ((x0).

Якщо (зменшується, то m ((x0) не убуває, a M ((x0) зростає. Тому є певні межі m (x0) = [pic]m ((x0), M ((x0) = [pic]M ((x0), причому, очевидно, m ((x0) (m (x0) (f (x0) (M (x0) (M ((x0).

Визначення. Функції т (х) і М (х) називаються відповідно нижньої і верхньої функціями Бера для функції f (x).

Теорему 1 (Р. Бер). Нехай функція f (х) кінцева у точці х0. Щоб f (x) був у цієї точці безупинна, необхідне й досить, щоб було m (x0) = M (x0).

(*).

Доказ. Припустимо, що функція f (х) безупинна у точці x0. Узявши довільне (> 0, знайдемо таке (> 0, що тільки [pic] ((, так відразу ж [pic] ((.

Інакше висловлюючись, всім x ((х0 — (, x0 + () буде f (x0) — ((f (x) (f (x0) + (.

Але це означає, що f (x0) — ((m ((x0) (M ((x0) (f (x0) + (, отже, і більше f (x0) — ((m (x0) (M (x0) (f (x0) + (, звідки, через довільності (, і випливає (*). Отже, необхідність умови (*) доказана.

Нехай тепер, назад, дано, що (*) виконано. Тоді, очевидно, m (x0) = M (x0) = f (x0) і несе спільний значення функцій Бера у точці x0 конечно.

Візьмемо довільне (> 0 і знайдемо такий малий (> 0, що m (x0) — ((m ((x0) (m (x0), M (x0) (M ((x0) (M (x0) + (.

Ці нерівності означають, що f (x0) — ((m ((x0), M ((x0) (f (x0) + (.

Якщо тепер x ((х0 — (, x0 + (), то f (x) лежить між m ((x0) і M ((x0), отже f (x0) — ((f (x) (f (x0) + (.

Інакше висловлюючись, речей, що [pic] ((випливає, що [pic] ((, т. е. функція f (x) безупинна у точці х0.

Основна лема. Розглянемо послідовність дроблень сегмента [а, b] a = [pic] ([pic] ((([pic] = b. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... a = [pic] ([pic] ((([pic] = b. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... причому при і (((і = max[[pic]-[pic]] (0.

Нехай [pic] є точна нижню межу значень функції f (x) на сегменті [[pic], [pic]]. Введемо функцію (i (x), вважаючи (i (x) = [pic] при x (([pic], [pic]) (i (x) = 0 при x = [pic], [pic], (, [pic].

Якщо х0 не збігається ні з однією точкою [pic] (I = 1, 2, 3, (; k = 0, 1, 2, (, ni), то [pic](i (x0) = m (x0).

Доказ. Фіксуємо якесь і і назвемо через [[pic], [pic]] той із сегментів i-го способу роздрібнення, який містить точку х0. Оскільки х0 не збігається ні з однією з точок розподілу, то [pic] (x0 ([pic] і, отже, за досить малих (> 0 буде (х0 — (, x0 + () ([[pic], [pic]], звідки слід, що [pic] (m ((x0) чи, що таке саме, що (i (x0) (m ((x0).

Спрямувавши (нанівець і перейшовши до межі, знаходимо, що за будь-якого і (i (x0) (m (x0).

Цим самим лема вже доведено для випадку т (х0) = ((. Нехай т (х0) (((і нехай h (m (x0).

Тоді знайдеться таке (> 0, що m ((x0) (h.

Фиксировав це (, знайдемо настільки велике i0, що з і (i0 буде [[pic], [pic]] ((х0 — (, x0 + (), де, як і від, [[pic], [pic]] є сегмент, у якому точку х0. Існування такого i0 випливає з умови (і (0.

Для таких і буде [pic] (m ((x0) (h, чи, що таке саме, (i (x0) (h.

Отже, будь-кого h (m (x0) знайдеться таке i0, що з і (i0 h ((i (x0) (m (x0), але це і отже, що (i (x0) (m (x0). Лема доказана.

Слідство 1. Функції Бера т (х) і М (х) измеримы.

У насправді, безліч точок розподілу {[pic]} счетно отже, має міру нуль. Тому лема означає, що (i (x) (m (x) майже везде.

Але (i (x) вимірна, оскільки це ступінчаста функція, отже вимірна я функція т (x). Для верхньої функції Бера М (х) міркування аналогично.

Слідство 2. Якщо умовах леми вихідна функція f (x) обмежена, то (L) [pic]((L) [pic].

Справді, если[pic] (K, то, очевидно, [pic] (K, [pic] (K, звідки насамперед слід, що це функції интегрируемы (L), після чого залишається послатися на теорему Лебега про граничному переході під знаком интеграла.

Перефразуємо тепер слідство 2. І тому зауважимо, що (L) [pic] = [pic] = [pic] = si, де si є нижня сума Дарбу, відповідальна i-му способу роздрібнення. Таким чином, слідство 2 означає, що з і ((si ((L) [pic].

Аналогічно можна встановити, що верхня сума Дарбу Si за умов зростання і прагне інтегралу від верхньої функції Бера Si ((L) [pic].

Однак у цьому випадку Si — si ((L) [pic].

З іншого боку, знає Аналізу встановлюється, що з здобуття права обмежена функція f (x) була интегрируема ®, необхідне й досить, щоб було Si — si (0.

Зіставляючи це з сказаним вище, бачимо, що з интегрируемости ® функції f (x) необхідне й досить, щоб було (L) [pic] = 0.

(1).

Умова (1) у разі виконано, якщо різницю М (х) — т (х) еквівалентна нулю, але оскільки ця різниця неотрицательна, те й назад з (1) слід, що т (х) ~ М (х).

(2).

Отже, интегрируемость ® обмеженою функції f (x) рівносильна співвідношенню (2).

Зіставивши цей результат з теоремою 1, отримуємо таку теорему.

Теорему 2 (А. Лебег). Щоб обмежена функція f (x) була интегрируема ®, необходимо і, щоб у неї безупинна майже везде.

Цей чудовий теорема є найбільш простий та ясний ознака интегрируемости ®. Зокрема, вона виправдовує яке пункті 2 зауваження, що интегрируемыми ® може лише «невідь що розривні» функции.

Припустимо тепер, що функція f (x) интегрируема ®. Тоді вона необхідно обмежена і майже скрізь буде т (х) = М (х). Однак т (х) (f (x) (М (х).

Отже, майже скрізь f (x) = m (x), і f (x), будучи еквівалентна вимірної функції т (х), вимірна сама. Оскільки всяка обмежена измеримая функція интегрируема (L), то така сама і f (x), т. е. з интегрируемости який-небудь функції себто Рімана випливає її интегрируемость себто Лебега.

Нарешті, з еквівалентності функцій f (x) і т (х) слід, що (L) [pic] = (L) [pic].

Але, як знаємо з курсу Аналізу, за умов основний леми для интегрируемой ® функції f (x) буде si (®[pic], де si є нижня сума Дарбу, відповідальна i-му способу роздрібнення. Зіставляючи це про те, що, як показано нами, si ((L) [pic], бачимо, що ®[pic] = (L) [pic]. Отже, має место.

Теорему 3. Будь-яка функція, интегрируемая ®, необхідно интегрируема і (L), і обоє її інтеграла рівні між собой.

На закінчення відзначимо, що функція Дирихле ((x) (рівна нулю в ірраціональних і одиниці в раціональних точках) интегрируема (L) (оскільки вона еквівалентна нулю), але, як ми вбачали у пункті 2, не интегрируема ®, так що теорема 3 не обратима.

6. Приклади 1) Обчислити інтеграл Лебега від функції [pic] на інтервалі (1; 2). Будуємо срезку.

N, f (x) (N, fN (x) = f (x), f (x) (N.

[pic] = N, x = 1 + [pic].

[pic][pic] = [pic], [pic]= [pic] + [pic] = Nx[pic] + [pic][pic] = N[pic] - N + [pic] - - [pic][pic] = [pic] + [pic] - [pic][pic] = - [pic] [pic] + [pic], [pic][pic] = [pic][pic] = [pic], (L)[pic] = [pic]. 2) Суммируемы чи функції [pic] і [pic] на інтервалі (0; 1). f (x) = [pic]. Будуємо срезку.

[pic] = N, x = [pic].

[pic] = [pic] + [pic] = [pic] + [pic] = 1 — [pic] = 1 + [pic], [pic] = [pic][pic] = [pic](1 + [pic]) = +(, отже функція f (x) = [pic] суммируемой перестав бути. f (x) = [pic]. Будуємо срезку.

[pic] = N, x = [pic].

[pic] = [pic] + [pic] = [pic] - [pic] = [pic] - (1 — [pic]) = [pic] - 1 + [pic] = = 2[pic] - 1, [pic] = [pic][pic] = [pic](2[pic] - 1) = +(, отже функція f (x) = [pic] суммируемой перестав бути. 3) Суммируема чи функція f (x) = [pic]на відрізку [-1; 1], де f (0) = 0.

[pic], x (0 0, x (0 [pic] = [pic] =.

0, x (0 [pic], x (0 [pic] = [pic] - [pic].

Строим срезку.

N = [pic], x = [pic].

(L)[pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = = [pic][pic] = [pic][pic] = +(. Будуємо срезку.

N = [pic], x = [pic].

(L)[pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = = [pic][pic] = [pic][pic] = +(, отже функція f (x) = [pic] перестав бути суммируемой на [-1 ;1]. 4) Суммируема чи функція f (x) = [pic] на [1; 3], де f (2) = 1.

[pic], x (2 0, x (2.

[pic] = 0, x (2 [pic] =.

1, x = 2 [pic], x (2 Будуємо срезку.

[pic] = N, x = 2 + [pic].

(L)[pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = = [pic][pic] = [pic][pic] = = [pic][pic] =[pic][pic] = [pic]. Будуємо срезку.

[pic] = N, x = 2 — [pic].

(L)[pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic] функція f (x) суммируема на [1; 3].

7.

Литература

.

1) Колмогоров, Фомін «Елементи функціонального анализа».

2) Натансон І. П. «Теорія функцій речовинної перемінної», С-Пб, 1999.

3) Очан «Збірник завдань із математичного анализу».