Випадкові величини (реферат)

Реферат на тему:

Випадкові величини.

1. Випадкові величини ункції на просторі елементарних подій.

Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадкова величина е величина, яка приймає те чи інше значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика, число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію на просторі елементарних подій p>

Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має вигляд Г, ГР, РГ, РРНехай исло появ герба. Величина функцією елементарної події. Таблиця значень функції має наступний вигляд:

>	Г Г.	Г Р.	Р Г.	Р Р.

Функція на азивається вимірною відносно лгебри якщо для кожного дійсного х виконана умова: p>

Випадковою величиною, а (називається вимірна функція.

, яка задає відображення множину дійсних чисел R.

Функцією розподілу випадкової величини називається функція.

F (x)={ < x}.

Нехай <- мовірнісний простір і ипадкова величина на ньому. Показати, що кожна із множин множини >

{, { ,.

{ { atb},.

{ { a< < b}.

є випадковою подією, тобто кожна з цих множин належить лгебрі Показати, що P{ = $$F(x+0)$$, P{ $$F(x+0)$$ — $$F(x)$$.

Р{ atb}= F (b) — F ($$a$$),.

2. Дискретні випадкові величини.

Нехай <- мовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною називається функція на яка набуває скінченне або зліченне число значень х1, х2, …, хn, … і є вимірною відносно лгебри Це означає, що для кожного хі.

{).

Дійсно, якщо для функції має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно так як для кожного дійсного х.

{ $$\underset{i\mathrm{:}{x}_i<x}{}$$ { } /div>

Крім того, якщо вимірна відносно лгебри то за Теоремою 1 для кожного дійсного х { Таким чином, якщо искретна випадкова величина на ймовірнісному просторі <-, яка приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена ймовірність.

Рn=Р{ (2).

Нехай дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…, хі,… Набір чисел Р{i}=pi (i=1,2,…).

називають р о з п о д і л о м випадкової величини Зрозуміло, що.

рі $$\underset{i}{}pi=1$$ .

Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями:

	>	x1.	…	xk.	…
	Задача 1. p	p1.	…	pk.	…

Функція розподілу дискретної випадкової величини визначається рівністю.

$$P\left\{()<x\right\}=\underset{i,xi<x}{}pi\text{.}$$.

Сумісний розподіл випадкових величин і Нехай дискретна випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,…, хі,…, дискретна випадкова величина, яка набуває значень y1, y2,…, yі,… Набір чисел Р{i, i}=pij.

(i=1, 2, …- j=1, 2, …) називається с у м і с н и м р о з п о д і л о м.

випадкових величин розподілом випадкового вектора (Мають місце такі твердження:

а) рij $$\underset{i}{}\underset{j}{}p\text{ij}=\mathrm{1,}$$.

б) $$\underset{j}{}p\text{ij}=pi,\underset{i}{}p\text{ij}=qj,$$.

де {pi} розподіл {qi} - розподіл /p>

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини r>н, а з и в, а ю т ь с я н е з, а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j.

P{i, yi} = P{i} yi}.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай дискретна випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд хіі збігається. Тоді м, а т е м, а т и ч н и м с п оді;

в, а н н я м випадкової величини називається сума ряду М $${}_{}xipi\text{.}$$ Якщо хіі=+то кажуть, що випадкова величина не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини визначається рівністю.

D M M $$\underset{i}{}(xi-\mathit{M}{)}^{2}pi\text{.}$$.

Властивості дисперсії.

1. 1.D$$$$ оnst;

2. 2.Dmath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >0;

3. 3.D (C2 D/p>

4. 4.D (ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >± C)= D.

5. 5.Якщо $$$$ та $$$$ незалежні випадкові величини, то D ($$$$ $$\pm$$ $$$$)= D $$$$ +D $$$$ .

Коєфіцієнт коваріації випадкових величин $$$$ та $$$$ це:

cov ((/p>

Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї випадкових величин азиваються.

$$r(,)=\frac{M(-\mathit{M})(\text{-M})}{\sqrt{\mathit{D}}\sqrt{\mathit{D}}}$$.

Мають місце такі твердження:

а) 1;

б) якщо езалежні, то r (;

в) якщо то з імовірністю одиниця де, а і b — деякі сталі.

Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли.

Біномінальний розподіл. Проводяться незалежні випробовуванняв кожному випробовуванні може бути два результати: «успіх» — з імовірністю p, або невдача з імовірністю 1-р=q. Нехай проведено n випробовувань. Позначимо через исло «успіхів», тоді.

Pn (k)=P{= $$C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$$ (k=0, 1,…, n).

Розподіл випадкової величини азивається.

б і н о м і н, а л ь н и м р о з п о д і л о м Б е р н у л л і, а описана вище схема носить назву схеми незалежних випробовувань, або схеми Бернуллі.

$$\mathit{M}=\text{np}$$, $$\mathit{D}=\text{npq}$$ .

Локальна теорема МуавраЛапласа. Якщо $$n->\mathrm{},p-\text{константа}\mathrm{,\; 0}<=p<=1$$, то.

$$P_n(k)=\frac{1}{\sqrt{2\text{npq}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\left(1+O(\frac{1}{\sqrt{n}})\right)$$ $$\frac{1}{\sqrt{\text{npq}}}$$ $$(x)$$ — $$x=\frac{k-\text{np}}{\sqrt{\text{npq}}}$$ .

Iнтегральна теорема Муавра — Лапласа. Якщо $$n->\mathrm{}$$, рконстанта, $$0p\mathrm{1,}$$ то.

$$P\{x_1<=\frac{-\text{np}}{\sqrt{\text{npq}}}<=x_2\}->\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{x_1}{\overset{x_2}{}}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\text{dt}$$ рівномірно по х1, х2 (- $$\mathrm{}<=x_1<=x_2<=\mathrm{})\text{.}$$.

Теорема Пуассона. Якщо р=рn $$->$$ o та $${\text{np}}_n->$$ при $$n->\mathrm{}$$ ($$0\mathrm{})$$, то.

$$P_n(k)->\frac{{}^k}{k!}{e}^{-},k=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.},$$.

Геометричний розподіл. Випадкова величина яка набуває значень 0, 1, …, k… має геометричний розподіл з параметром р, якщо Р{=(1-p)kp.

Величину ожна інтерпретувати як число випробувань до першої появи успіху в схемі незалежних випробувань з ймовірністю появи успіху р.

Розподіл Пуассона. Випадкова величина яка набуває значень 0, 1, …, k… має розподіл Пуассона з параметром, якщо.

Р{= $$\frac{{}^k{e}^{-}}{k\underset{}{!}}$$ ,.

Зазначемо, що параметр цьому розподілі задовільняє рівності, де n-число випробувань, а pймовірність успіху. При великому числі випробувань, число успіхів, наближено розподілено по закону Пуассона, а ймовірність успіху має порядок $$\frac{1}{n}$$ (закон рідких подій).

Задача 1. Двічі підкидають монету. Описати простір елементарних подій Нехай исло появи герба. Знайти розподіл випадкової величини математичне сподівання Мта дисперсію Dp>

Г, ГР, РГ, РР>

).
Р.	$$\frac{1}{4}$$.	$$\frac{1}{2}$$.	$$\frac{1}{4}$$.

Р1=Р Р2=Р Р3=Р /p>

М1+ 1+ 1 =1- М= 1+ 1=3/p>

D М+ (М= 1/p>

Задача 2. Випадкова величина $$$$ приймає значення -1, 0 та 1 з ймовірностями, відповідно рівними $$\frac{1}{4},\frac{1}{2}$$ та $$\frac{1}{4}$$. Написати вираз та побудувати графік функції розподілу величини $$$$ .

Задача 3. Випадкова точка ($$,)$$ на площині розподілена по наступному закону: $$$$.

$$$$ 0 1 Знайти M $$$$, M $$$$, D $$$$, D $$$$, M ($$$$ -M $$$$)($$$$ — M $$$$),.

— 1 0,1 0,5 та коефіціент кореляції $$r_{}$$ (Відповідь $$r_{}$$ =0, 44).

0 0,15 0,25.

1 0,2 0,15.

Задача 4. Двічі підкидабть гральний кубик. Описати простір елементарних подій $$\mathrm{}$$. Нехай $$$$ $$()$$ — сума очок, які випали. Знайти розподіл випадкової величини $$,\mathit{M}$$ .

Задача 5. Кидають два гральних кубика. Нехай $$$$ -кількість очок на першому кубику, а $$$$ на другому. Довести, що $$$$ та $$$$ — незалежні.

Задача 6. Монету підкидають доки випаде герб. Описати простір елементарних подій $$\mathrm{}$$. Нехай $$()$$ — число зроблених підкидань. Обчислити: а) розподіл випадкової величини $$$$ — б) $$P\{1\},P\{<=n\}\text{.}$$ (Вказівка. Елементарний наслідок є $${}_n=\underset{n}{\underset{}{\text{PP}\text{.}\text{.}\text{.}\text{РГ}}},({}_n)=n,p_n=P\{({}_n)=n\}=\frac{1}{2^n}$$).

Задача 7. Гральний кубик підкидають 5 раз. Знайти ймовірністьтого, що два рази з’явиться число очок, яке кратне 3.

Задача 8. Що більш ймовірно: виграти у гравця (рівного собі за силою гри) 4 партії з 8, чи 3 партії з 5 ?

Задача 9. Показати, МnpDnpq, якщо випадкова величина ає біноміальний розподіл. q мовірність невдачі, n исло випробовувань, p мовірність успіху.

Задача 10. Стріляють по цілі n раз. Влучення при окремих пострілах езалежні події і ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює р. Нехай исло влучень при n пострілах. Знайти а) розподіл б) Ма D/p>

Задача 11. Проведено 20 пострілів по цілі. Ймовірність влучення при одному пострілі 0,7. Обчислити: а) ймовірність того, що буде принаймі одне влучення;

б) ймовірність того, що буде не більше двох влучень.

Задача 12. Батарея зробила 14 пострілів по об'єкту, ймовірність влучення в який дорівнює 0,2. Обчислити ймовірність знищення об'єкту, якщо для ищення отрібно не менше 4 влучень. (Відповідь. Р{ $$\begin{array}{c}>=4\\ \end{array}$$ 0.302).

Задача 13. Знайти ймовірність: а) при підкиданні 6n гральних кубиків не менше n раз з’явиться шестіркаб) появи принаймі трьох шестірок при підкиданні 18 кубиків (р=0,597).

Задача 14. Якщо в середньому лівші складають 1%, то які шанси на те, що серед 200 чоловік а) виявиться рівно 4 лівші - б) знайдеться принаймі 4 лівші.

(Вказівка.Скористатися формулою Пуассона).

Задача 15. Нехай ипадкова величина, яка має геометричний розподіл з параметром р. Показати, що Мmath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >qp та D$$\frac{q}{p^2}$$ .

Задача 16. Нехай має геометричний розподіл. Показати, що.

$$P\{=n+m/>=n\}=P\{=m\}$$, ($$m>=1$$).

Задача 17. Випадкові величини та езалежні і мають той самий геометричний розподіл, k = 0,1, …}. Нехай max (Знайти розподіл величин та сумісний розподіл величин $$$$ та $${}_1$$ .

Задача 18. Нехай ипадкова величина, яка має розподіл Пуассона з параметром Довести, що М D/p>

Задача 19. Нехай, а $$$$ — незалежні випадкові величини, які приймають значення х1, х2,… з ймовірностями р1, р2,… та q1, q2,… відповідно. Обчислити.

$$P\{=\}$$. Відповідь $$P\{=\}$$ = $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{p}_i{q}_i$$ .

Задача 20. Нехай випадкова величина абуває цілих невід'ємних значень, причому Мath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >. Довести, що.

Мmath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >i=1P{>=i} .

Розв’язок. $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}P\{>=i\}$$ = $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\underset{k=i}{\overset{\mathrm{}}{}}P\{=k\}=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\text{iP}\{=i\}=\mathit{M}$$ .

Задача 21. Нехай та незалежні одинаково розподілені випадкові величини та $$$$ =Довести, що $$r(,)=0$$ .

Задача 22. Нехай та езалежні випадкові величини, які мають цілі значення. Довести, що.

$$P\{{}_1+{}_2=n\}=\underset{k=-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}P\{{}_1=k\}P\{{}_2=n-k\}\text{.}$$.

Задача 23. Нехай та езалежні випадкові величини, які мають розподіл Пуассона з параметрами та Довести, що випадкова величина.

має розподіл Пуассона з параметрами /p>

Задача 24. Випадкові величинита езалежні і мають розподіл Пуассона з параметрами, а відповідно. Показати, що.

$$P\{{}_1=k/{}_1+{}_2=n\}=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}-k=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.},n,$$ де $$p=\frac{{}_1}{{}_1+{}_2}$$ .

Задача 25. Випадкові величини та езалежні і мають один і той же геометричний розподіл. Довести, що.

$$P\{{}_1=k/{}_1+{}_2=n\}=\frac{1}{n}$$ .

Задача 26. Випадкові величини та езалежні і мають один і той же геометричний розподіл $$P\{{}_i=k\}=$$ $$p_i{q}_i^k-i=\mathrm{1,2}-k=\mathrm{0,1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$ Показати, щовипадкова величина $$=\text{min}($$ $${}_1,{}_2)$$ має геометричний розподіл. Знайти параиетр цього розподілу.Відповідь q=q1q2.

Задача 27. Написані n листів, але адреси на конвертах написано у випадковаму порядку. Нехай $${}_k$$ — число листів, які будуть одержані тими адресатами, кому вони призначені. Обчислити М $${}_n$$ та D $${}_k$$ .

Розв’язування. Нехай $${}_k$$ = 1, якщо ктий лист одержано адресатом, або $${}_k$$ = 0, — в протилежному випадку. Тоді $${}_n$$ = $${}_1+{}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_n$$. Оскільки Р { $${}_k$$ =1 }= $$\frac{1}{n}$$ '.

D $${}_k$$ = $$\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}=\frac{n-1}{n^2}$$ і M $${}_n=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\mathit{M}}_k$$ =1. Для обчислення D $${}_n$$ треба підрахувати M $${}_k{}_i$$ (k $$$$ i). Oскільки $${}_k{}_i$$ набуває значення 1 та 0, причому.

Р { $${}_k{}_i$$ =1}= $$\frac{1}{n(n-1)}$$, то М $${}_k{}_i$$ = $$\frac{1}{n(n-1)}$$ — cov ($$({}_k,{}_i)$$ = M $${}_k{}_i$$ — $$M$$ $${}_k$$ M $${}_i$$ =.

= $$\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n^2}=$$ $$\frac{1}{n^2(n-1)}$$. Отже, D $${}_n=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\mathit{D}}_k$$ + 2 $$\underset{ki}{}\text{cov}({}_k,{}_i)=$$ $$\frac{n-1}{n}+2C_n^2\frac{1}{n^2}\frac{1}{n-1}=1$$ .

Задача 28. Знайти ймовірність того, що подія, А настурить рівно 70 раз в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випрбуванні дорівнює 0,25.

Розв’язування. Скористаємося локальною теоремою Лапласа:

$$P_n(k)=\frac{1}{\sqrt{\text{npq}}}(x)$$, де $$(x)=\frac{}{\sqrt{2}}{e}^{\frac{-x^2}{2}}$$. Так як n=243, k=70, p=0,25, $$\sqrt{\text{npq}}=\mathrm{6,}\text{75}$$, то $$x=\frac{k-\text{np}}{\sqrt{\text{npq}}}=\mathrm{1,}\text{37}$$, $$(\mathrm{1,}\text{37})=\mathrm{0,}\text{1561}\text{.}$$ Шукана ймовірність дорівнює $$P_{\text{243}}(\text{70})=\frac{1}{\mathrm{6,}\text{75}}\mathrm{0,}\text{1561}=\mathrm{0,}\text{0231}\text{.}$$.

Задача 29. Ймовірність появи події А в кожному із 100 незалежних випробовувань постійна і дорівнює р=0, 8. Знайти ймовірність того, що подія, А з’явиться: а) не менше 75 раз і не більше 90 раз-б) не менше 75 разів.

Розв’язування. а) Скористаємося інтегральною теоремою Муавра — Лапласа:

$$P_n(k_1-k_2)=(x_2)-(x_1),$$ де $$(х)=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{0}{\overset{х}{}}{е}^{\frac{-t^2}{2}}\text{dt}$$ — функція Лапласа,.

$$x_1=\frac{k_1-\text{np}}{\sqrt{\text{npq}}}=-\mathrm{1,}\text{25}$$, $$x_2=\frac{k_2-\text{np}}{\sqrt{\text{npq}}}=\mathrm{2,5}$$ .

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто $$(-x)=-(x)$$ одержимо $$P_{\text{100}}(\text{75}-\text{90})=(\mathrm{2,5})-(-\mathrm{1,}\text{25})=\mathrm{0,}\text{8882}$$.

Відповідь.б) $$P_{\text{100}}(\text{75}-\text{100})=\mathrm{0,}\text{8944}$$)).

Задача 30. Магазин одержав 1000 бутилок мініральної води. Ймовірність того, що при перевезенні бутилка дуде розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймоварність того, що магазин одерже розбитих бутилок: а) рівно двіб) не менше двохв) більше двохг) принаймі одну. (Вказівка. $$e^{-3}=\mathrm{0,}\text{4\hspace{0.17em}979}$$ — а) $$P_{\text{1000}}(2)=\mathrm{0,}\text{224}$$ — б) $$P_{\text{1000}}(0)+P_{\text{1000}}(1)=\mathrm{0,}\text{1992}$$ — в) $$P_{\text{1000}}(k2)=\mathrm{0,}\text{5768}$$ — г) $$P=1-P_{\text{1000}}(0)=\mathrm{0,}\text{95}$$).

3 Абсолютно неперервні випадкові величини.

Функція розподілу випадкової величини це ймовірність F (x)=P{-x}. Функція розподілу F (x): а) неперервна зліваб) неспадна на.

(-в) F (-, F (+.

Для кожної функції F (x), яка має ці властивості можна побудувати ймовірний простір (Р) і випадкову величину на ньому, яка має функцію розподілу F (x).

Випадкова величина $$$$ називається абсолютно неперервною, якщо існує невід'ємна функція р (х), яка називається щільністю ймовірності, така що [ 5] $$F(x)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{x}{}}p(x)\text{dx}$$ .

Майже при всіх х виконується рівність F=p (x). Для щільністі розподілу мають місце рівністі $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}p(u)\text{du}=1$$, P{a = $$\underset{a}{\overset{b}{}}p(u)\text{du}$$ = F (b) — F (a) (a<b).Якщо р (х) — неперервна функція, то.

Р{ x = p (x) 0(.

Рівномірний розподіл. Випадкова величина ає рівномірний розподіл на відрізку [a, b], якщо щільність розподілу орівнює.

$$$$ p (x)= $$\{\frac{1}{b-a},x(a,b)$$.

0, $$x(a,b)$$.

Нормальний розподіл N (a, Випадкова величина має нормальний N (a, розподіл, якщо щільність розподілу орівнює.

p (x)= $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ exp $$\left\{-\frac{1}{2}\frac{(x-a{)}^2}{{}^2}\right\}$$ , — $$\mathrm{}x\mathrm{}\text{.}$$.

Показниковий розподіл. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром якщо щільність розподілу орівнює.

p (x)= $$\{{\mathit{}}^{-},x\mathrm{0,}$$.

0, $$x<=0\text{.}$$.

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Функція розподілу випадкового вектора (…, — це ймовірність.

F (x1,…, xn)=P{ltx1…, ltxn}.

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини …, незалежні, якщо.

P{tx1,…, txn}= P{tx1}… P{txn}.

Теорема. Випадкові величини $$$$ 1, $$$$ 2,…, $$$$ n незалежні тоді і тільки тоді, коли.

$$F_{{}_1{}_{\mathrm{2,}\text{.}\text{.}\text{.},}{}_n}$$ (х1,х2,…, хn)= $$F_{{}_1}($$ х1) $$F_{{}_2}($$ х2)… $$F_{{}_n}($$ хn).

Щільність розподілу випадкового вектора. Якщо функцію розподілу F (x1,…, xn) вектора (…, можна подати у вигляді.

F (x1,…, xn)= $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{x_1}{}}\text{.}\text{.}\text{.}\underset{-\mathrm{}}{\overset{x_n}{}}p(u_1,\text{.}\text{.}\text{.},u_n){\text{du}}_1\text{.}\text{.}\text{.}{\text{du}}_n,$$.

то кажуть, що випадковий вектор (…, має щільність розподілу р (x1,…, xn). Щільність розподілу р (x1,…, xn) випадкового вектора (…, є невід`ємна функція і.

$$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}\text{.}\text{.}\text{.}\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}p(x_1,\text{.}\text{.}\text{.},x_n){\text{dx}}_1\text{.}\text{.}\text{.}{\text{dx}}_n=1$$ .

Для неї майже всюди має рівність $$\frac{{}^{n}F(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}{x_1\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n}=p(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}$$.

Знаючи щільність розподілу випадкового вектора, можна знайти щільність розподілу кожної його компоненти.

$$p_{{}_1}(x_1)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{p}_{({}_1,{}_2)}(x_1,x_2){\text{dx}}_2$$ .

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай.

випадкова величина на ймовірному просторі (Р).

Випадкова величина має математичне сподівання, якщо існує інтеграл.

Мmath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >-xp (x)dx ,.

де р (х) — щільність розподілу /p>

Якщо g (x) — однозначна функція і $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}|g(x)|p(x)\text{dx}\text{<+}\mathrm{}$$, то.

Мg ($$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}g(x)p(x)\text{dx}$$ .

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини.

D $$$$ = M ($$$$ -M $$$$)2=M $$$$ 2- (M $$$$)2= $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}(x-\mathit{M}{)}^{2}p(x)\text{dx}$$ .

Випадковий вектор (…, має нормальний розподіл, якщо його щільність розподілу дорівнює.

$$p(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=\frac{1}{{\left(2\right)}^{\frac{n}{2}}\sqrt{}}{e}^{-\frac{1}{2}\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{k}_{\text{ij}}^{-1}(x_i-\stackrel{}{a_i)(x_j-a_j)}}$$ де, $$a_i$$ = M $$$$ i ,.

(i =1,…, n), $$$$ — визначник, який складений з елементів матриці коваріацій,.

$$k_{\text{ij}}^{-1}$$ -елементи оберненої до матриці $$$$ .

Задача 1. В книзі Г. Крамера дана функція розподілу рівних доходів осіб, які обкладаються податком:

$$\begin{array}{c}1-{\left(\frac{x_0}{x}\right)}^{},x_0\mathrm{^3}x,>0\\ \mathrm{0,}x<x_0\\ \\ F(x)=\begin{array}{c}\{\end{array}\\ \end{array}$$.

Визначити розмір річного доходу, який для випадково вибраного платника податку може бути перевершеним з ймовірністю 0,5.

Розв’язування. Р{= 0,5, за умовою задачі.

Р{=1 — Р{tx}=1−1+ (х0 0,5×0 1×0 (½)1/br>х0 = (½)1/, х=20.

Задача 2. Нехай випадкова величина з неперервною функцією розподілу F (x) і F (Обчислити функцію розподілу p>

Розв’язування. Нехай $$0<x<1\text{.}$$ Тоді $$P\left\{h<x\right\}=P\left\{F\left(x\right)<x\right\}=P\left\{x<F^{-1}\left(x\right)\right\}=F\left(F^{-1}\left(x\right)\right)=x\text{.}$$ При $$x<=0P\left\{h<x\right\}=0$$ (так як F (x) — функція розподілу), при $$x>1P\left\{h<x\right\}=1\text{.}$$ Отже, ає рівномір-ний розподіл на [0,1).

Задача 3. Нехай івномірно розподілена на [0, 1] випадкова величина. Знайти функцію розподілу випадкової величини 1 ln (1- (Відповідь: показниковий розподіл з параметром /p>

Задача 4. Нехай випадкова величинаає нормальний розподіл N (а, Показати, що $$\mathit{M}=a,$$ $$\mathit{D}={}^2$$ .

Задача 5. Випадкова величина має нормальний розподіл N (0, При якому мовірність попадання в інтервал (а, b) буде максимальною?

Розв’язування. $$P\left\{a<=x<b\right\}=\frac{1}{\sqrt{2p}}\underset{\frac{a}{s}}{\overset{\frac{b}{s}}{}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\text{dx}-$$.

$$p_s^{\text{'}}\text{=-}\frac{b}{s^2\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{b^2}{2s^2}}+\frac{a}{s^2\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{a^2}{2s^2}}=0s=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{2(\text{ln}b-\text{ln}a)}}$$

.

.

Задача 6. Нехай має показниковий розподіл з параметром Обчислити а) М б) D в) Р{(Вказівка. $$\mathit{M}=\frac{1}{}$$, $$\mathit{D}=\frac{1}{{}^2}$$).

Задача 7. Нехай ипадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром Знайти розподіл випадкової величини [Обчислити Мp>

(Відповідь.Геометричний розподіл з параметром р=1- е-/p>

Задача 8 а) Знайти М| якщо випадкова величина розподілена нормально з параметрами (0, .б) Нехай ормально розподілена з параметрами (а,. Обчислити М|а|. Відповідь $$M|-a|=\sqrt{\frac{2}{}}$$ .

Задача 9. Нехай ипадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку [-a, a]. Обчислити: а) Мб) Dв) Р{ |> a/2 }.

Задача 10. Щільність випадкової величини ає вигляд р (х)=Ае-х при хй р (х)=0 при х<0. Знайти коефіцієнт А. Обчислити дисперсію /p>

Задача11. Випадкова величина івномірно розподілена на проміжку $$\left[-\frac{}{},\frac{}{}\right]$$, $$=a\text{sin}$$, а та одатні постійні. Знайти математичне сподівання та дисперсію (М0 — Dа2.

Задача12. Випадкова величина має щільність $$\begin{array}{c}\frac{2}{}{\text{cos}}^{2}x-|x|<=\frac{}{2}-\\ 0-|x|>\frac{}{2}-\\ \\ p(x)=\begin{array}{c}\{\end{array}\\ \end{array}$$ Знайти математичне сподівання та дисперсію. Відповідь М $$\mathit{D}=\frac{{}^2}{\text{12}}-\frac{1}{2}$$ .

Задача13. Нехай випадкова величина адана наступним чином:.

$$\begin{array}{c}A\text{cos}x-|x|<=\frac{p}{2}-\\ 0-|x|>\frac{p}{2}-\\ \\ p(x)=\begin{array}{c}\{\end{array}\\ \end{array}$$ Знайти а) коефіцієнт, А й функцію розподілуб) математичне сподівання та дисперсію (А=½, F (x)=½ (sin x -1) приlt-x/2, F (x)=0 при х F (x)=1 при х б) М D.

Задача14. Випадкова величина розподілена по закону Лапласа, тобто її щільність дорівнює р (х)= $$\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$$ .Знайти математичне сподівання та дисперсію.

Задача 15. Випадкова величина ає щільність $$f(x)=\frac{A}{1+x^2}$$ (закон Коші).

а) коефіцієнт, А та функцію розподілу б) знайти ймовірність нерівності.

-1в) яке математичне сподівання, цього розподілу?

(Відповідь. А=1/ $$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{p}\text{arctg}x$$ — Р2- математичного сподівання не існує).

Задача 16. Випадкова величина озподілена логарифмічно нормально, тобто її щільність р (х)=0, при хй $$p(x)=\frac{1}{\mathit{x}\sqrt{2}}{e}^{-\frac{1}{2{}^2}(\text{ln}x-{)}^2}$$, при х>0. (овільне число, одатнє). Знайти Ма D (Відповідь $$\mathit{M}=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}{e}^{-\frac{1}{2{}^2}(\text{ln}x-{)}^2}\text{dx}=e^{+\frac{{}^2}{2}}$$, $${\mathit{M}}^2=e^{2+2{}^2}$$). $$\mathit{Dx}=e^2\left(e^{{}^2}-1\right)e^{{}^2}$$).

Задача 17. Нормальний розподіл з щільністю $$p(x)=\frac{1}{s\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2s^2}}$$

зрізано значенням х=b, а значення менше b відкинуті. Знайти математичне сподівання та дисперсію цього розподілу.

.

(відповідь: Щільність зрізаного розподілу.

$$p(x-b)=\frac{1}{\mathit{sM}\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2s^2}}-M=\frac{1}{s\sqrt{2p}}\underset{b}{\overset{\mathrm{yen}}{}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2s^2}}\text{dx}$$.

$$\mathit{Mx}=a+\frac{s}{M\sqrt{2p}}{e}^{-\frac{(b-a{)}^2}{2s^2}}-\mathit{Dx}=s^2+\frac{s^2}{M\sqrt{2p}}\left(\frac{b-a}{s}\right)e^{-\frac{(b-a{)}^2}{2s^2}}-\frac{s^2}{M^{2}2p}{e}^{-\frac{(b-a{)}^2}{2s^2}}$$.

Задача 18. Нехай випадковий вектор (th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >1, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2) має нормальний розподіл.

N (а $${}_1$$, а $${}_2$$, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >12, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >22, ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" > на площині. Показати, що кожна з величин th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >1 і th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2 має відповідно нормальний розподіл N (а $${}_1$$, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >12) і N (а $${}_2$$, th xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >12).

Розв’язування. Випадковийо вектор ($$$$ 1, $$$$ 2) має нормальний розподілN ($$a_1$$, $$a_2$$, $${}_1^2$$, $${}_2^2$$) на площині, якщо його щільність.

$$P(,{}_2)$$ (х, у)= $$\frac{1}{2{}_1{}_2\sqrt{1-{}^2}}$$ ехр {- $$\frac{1}{2}$$ [ $$\frac{(x-a_1{)}^2}{{}_1^2}$$ — 2 $$$$ $$\frac{(x-a_1)(y-a_2)}{{}_1{}_2}$$ + $$\frac{(y-a_2{)}^2}{{}_2^2}$$ ] }. $$$$ При цьому $${\mathit{M}}_1=$$ $$a_1$$, $${\mathit{M}}_2$$ = $$a_2,$$ $$$$ $$$$ $${\mathit{D}}_1={}^{2_1}$$, $${\mathit{D}}_2={}_2^2$$ ,.

$$M({}_1-a_1)({}_2-a_2)=$$ .

Зробимо заміну змінних.

$$$$.

$$\frac{х-{а}_1}{{}_1}=u$$, $$\frac{y-{а}_2}{{}_2}=$$ v.

та врахуємо, що $$\frac{1}{1-r^2}[u^2-2\text{ruv}+v^2]=u^2+\frac{(v-\text{ru}{)}^2}{1-r^2}$$ .

Одержимо $$p_{{}_1}(u)=e^{-\frac{u^2}{2}}\frac{1}{{}_{1}2\sqrt{1-r^2}}$$ $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{e}^{-\frac{(v-\text{ru}{)}^2}{2(1-r^2)}}\text{dv}=$$ $$\frac{1}{{}_1\sqrt{2}}{e}^{-\frac{u^2}{2}},$$.

або $$p_{{}_1}(x)=$$ $$\frac{1}{{}_1\sqrt{2}}{e}^{-\frac{(x-a_1{)}^2}{2}}$$ .

Задача19. Випадкові величини $${}_1,{}_2$$

незалежні і мають нормальні розподіли.

$$N(a_1,{}_1^2$$

),.

$$N(a_2,{}_2^2$$

). Довести, що випадкова величина.

$$=$$ $${}_1+{}_2$$

має.

.

нормальний розподіл $$N(a_1+a_{{}_2},{}_1^2+{}_2^2$$

). (Скористатись формулою.

.

$$p_{}(x)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{p}_{{}_1}(x-v)p_{{}_2}(v)\text{dv}$$ = $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{p}_{{}_2}(x-v)p_{{}_1}(u)\text{du}$$ ,.

де $$p_{{}_i}(x)$$ -щільності випадкової величини $${}_i$$, і=1,2.).

Задача 20. Випадковий вектор ($$,$$) з невід'ємними компонентами має функцію розподілу.

F (х, у)=1- $$e^{-\mathit{}}-e^{-\mathit{}}+e^{-\mathit{}-\mathit{}}(\mathrm{0,}0)$$ .

Знайти математичне сподівання та матрицю коваріацій цього вектора. Залежні чи незалежні його компоненти? (Відповідь. Випадкові величини $$$$ та $$$$ незалежні. M $$$$ = $$\frac{1}{{}^2}$$, M $$$$ = $$\frac{1}{{}^2}$$, D $$$$ = $$\frac{1}{{}^2}$$, D $$$$ = $$\frac{1}{{}^2}$$).

Задача21. Випадкова величина $$$$ рівномірно розподілена на інтервалі (-1, 1), $$$$ = $$$$ m (m-ціле додатнє число). Знайти коефіцієнт кореляції $$$$ та $$$$. Розлянути випадки парного та непарного n.

Задача 22. Випадковий вектор ($$$$, $$$$) має щільність р (х, у)= $$\frac{a}{1+x^2+y^2+x^2{y}^2}$$ .

Знайти коефіцієнт $$a$$. Знайти одновимірні щільності випадкових величин $$$$ та $$$$. Установити, залежні чи ні випадкові величини $$$$ та $$$$ .

.