Поверхні 2-го порядку

Міністерство вищої освіти Російської Федерации.

ІРКУТСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

РЕФЕРАТ.

На тему:

«ПОВЕРХНОСТИ ДРУГОГО ПОРЯДКА».

Факультет: ФТиКМ Група: РТС-99 Студент: Коцурба А. В. Викладач: Лебедєва Г. А.

Иркутск.

Поверхні другого порядка.

Поверхні другого порядку — це поверхні, які у прямокутної системі координат визначаються алгебраїчними рівняннями другого ступеня. 1. Эллипсоид.

Еліпсоїдом називається поверхню, що у деякою прямокутної системі координат визначається рівнянням: [pic].

(1).

Рівняння (1) називається канонічним рівнянням эллипсоида.

Встановимо геометричний вид еліпсоїда. І тому розглянемо перерізу даного еліпсоїда площинами, паралельними площині Oxy. Кожна з таких площин визначається рівнянням виду z=h, де h — будь-яке число, а лінія, що утворюється в сечении, визначається двома уравнениями.

[pic] (2) Досліджуємо рівняння (2) що за різних значеннях h. 1) Якщо [pic]> з (c>0), то [pic] і рівняння (2) визначають вдаваний еліпс, т. е. точок перетину площині z=h з цим еліпсоїдом немає. 2) Якщо [pic], то [pic] і лінія (2) вироджується в точки (0; 0; + з) і (0;

0; - з) (площині [pic] стосуються еліпсоїда). 3) Якщо [pic], то рівняння (2) можна як [pic] звідки слід, що площину z=h перетинає еліпсоїд по еліпсу з полуосями [pic] і [pic]. За зменшення [pic] значення [pic]и [pic]увеличиваются і досягають своїх найбільших значень при [pic], т. е. в сечении еліпсоїда координатної площиною Oxy виходить найбільший еліпс з полуосями [pic] і [pic]. Аналогічна картина виходить і за перетині даної поверхні площинами, паралельними координатным площинам Oxz і Oyz. Отже, розглянуті перерізу дозволяють зобразити еліпсоїд як замкнуту овальну поверхню (рис. 156). Величини a, b, з називаються полуосями еліпсоїда. Що стосується a=b=c еліпсоїд є сферой.

2. Однополосный гиперболоид.

Однополосным гіперболоїдом називається поверхню, що у деякою прямокутної системі координат визначається уравнением.

[pic] (3).

Рівняння (3) називається канонічним рівнянням однополосного гиперболоида.

Встановимо вид поверхні (3). І тому розглянемо перетин її координатными площинами Oxy (y=0) і Oyx (x=0). Отримуємо відповідно уравнения.

[pic] і [pic].

з яких випливає, що у перетинах виходять гиперболы.

Тепер на перерізу даного гіперболоїда площинами z=h, паралельними координатної площині Oxy. Лінія, получающаяся в сечении, визначається уравнениями.

[pic] чи [pic] (4).

из які слід, що площину z=h перетинає гіперболоїд по еліпсу з полуосями [pic] і [pic], сягаючими своїх найменших значень при h=0, тобто. в сечении даного гіперболоїда координатної віссю Oxy виходить найменший еліпс з полуосями a*=a і b*=b. При нескінченному зростанні [pic] величини a* і b* зростають нескінченно. Отже, розглянуті перерізу дозволяють зобразити однополосный гіперболоїд як безкінечною трубки, нескінченно розширення принаймні видалення (з обох боків) від площині Oxy. Величини a, b, з називаються полуосями однополосного гиперболоида.

3. Двуполостный гиперболоид.

Двуполостным гіперболоїдом називається поверхню, що у деякою прямокутної системі координат визначається уравнением.

[pic] (5).

Рівняння (5) називається канонічним рівнянням двуполостного гиперболоида.

Встановимо геометричний вид поверхні (5). І тому розглянемо його перерізу координатными площинами Oxy і Oyz. Отримуємо відповідно уравнения.

[pic] і [pic] з яких випливає, що у перетинах виходять гиперболы.

Тепер на перерізу даного гіперболоїда площинами z=h, паралельними координатної площині Oxy. Лінія, отримана в сечении, визначається уравнениями.

[pic] чи [pic] (6) з яких випливає, що з [pic]>c (c>0) площину z=h перетинає гіперболоїд по еліпсу з полуосями [pic] і [pic]. При збільшенні [pic] величини a* і b* теж збільшуються. При [pic] рівнянням (6) задовольняють координати лише двох точок: (0;0;+с) і (0;0;-с) (площині [pic] стосуються даної поверхні). При [pic] рівняння (6) визначають вдаваний еліпс, тобто. точок перетину площині z=h з цим гіперболоїдом немає. Розмір a, b і з називаються полуосями двуполостного гиперболоида.

4. Еліптичний параболоид.

Эллиптическим параболоидом називається поверхню, що у деякою прямокутної системі координат визначається уравнением.

[pic] (7) де p>0 і q>0.

Рівняння (7) називається канонічним рівнянням еліптичного параболоида.

Розглянемо перерізу даної поверхні координатными площинами Oxy і Oyz. Отримуємо відповідно уравнения.

[pic] і [pic] з яких випливає, що у перетинах виходять параболи, симетричні щодо осі Oz, з вершинами на початку координат. Тепер на перерізу даного параболоїда площинами z=h, паралельними координатної площині Oxy. Лінія, получающаяся в сечении, визначається уравнениями.

[pic] чи [pic] (8) з яких випливає, що з [pic] площину z=h перетинає еліптичний параболоїд по еліпсу з полуосями [pic] і [pic]. При збільшенні h величини a і b теж збільшуються; при h=0 еліпс вироджується в точку (площину z=0 стосується даного гіперболоїда). При h0, q>0.

Рівняння (9) називається канонічним рівнянням гіперболічного параболоида.

Розглянемо перетин параболоїда площиною Oxz (y=0). Отримуємо уравнение.

[pic] (10) з яких випливає, що у сечении виходить парабола, спрямована вгору, симетрична щодо осі Oz, з вершиною на початку координат. У перетинах поверхні площинами, паралельними площині Oxz (y=h), виходять так ж спрямовані вгору параболы.

[pic] розглянемо перетин даного параболоїда площиною Oyz (x=0). Отримуємо уравнение.

[pic] з яких випливає, що у цьому випадку в сечении виходить парабола, але тепер спрямована вниз, симетрична щодо осі Oz, з вершиною в початку координат. Розглянувши перерізу параболоїда площинами, паралельними площині Oyz (x=h), одержимо уравнения.

[pic] з яких випливає, що за будь-якого h в сечении виходить парабола, спрямована вниз, а вершина її лежить на жіночих параболу, певній рівняннями (10). Розглянемо перерізу параболоїда площинами z=h, паралельними площині Oxy. одержимо уравнения.

[pic] чи [pic] з яких випливає, що з h>0 в сечении виходять гіперболи, які перетинають площину Oxy; при h0 і h.