Правильні багатогранники

Визначення правильного многогранника.

Визначення. Багатогранник називається правильним, якщо: 1) він опуклий; 2) усі його межі - рівні одна одній правильні багатокутники; 3) у кожному вершині сходиться однакове число ребер; 4) усі його двугранные равны.

Прикладом правильного багатогранника є куб: якого є опуклим багатогранником, усі його межі - рівні квадрати, у кожному вершині сходяться три ребра, і всі двугранные кути куба прямі. Правильний тетраэдр також є правильною многогранником.

Постає питання: скільки існує різних типів правильних многогранников?

П’ять типів правильних многогранников.

Розглянемо довільний правильний багатогранник М, яка має У вершин, Р ребер і Р граней. По теоремі Эйлера при цьому багатогранника виконується равенство:

У — Р + Р = 2.

(1).

Нехай кожна грань даного багатогранника містить m ребер (сторін), й у кожної вершині сходяться n ребер. Очевидно,.

[pic]m[pic], n[pic]. (2).

Оскільки у багатогранника У вершин, і із яких сходяться n ребер, то отримуємо n[pic] ребер. Втім, кожне ребро з'єднує дві вершини багатогранника, у твір n[pic] кожне ребро ввійде двічі. Отже у багатогранника є [pic] різних ребер. Тогда.

[pic]= Р [pic] У = [pic]. (3).

Далі, у кожному межі багатогранника М міститься m ребер, а число граней одно Р. Оскільки кожне ребро належить двом суміжним граням, то число різних ребер багатогранника одно [pic]. Тогда.

[pic]=Р [pic]Г=[pic]. (4).

З (1), (3), (4) отримуємо [pic] - Р + [pic] = 2, откуда.

[pic] + [pic] = [pic] + [pic] > [pic]. (5).

Отже, имеем.

[pic].

З нерівностей 3[pic] і 3[pic] слід, що гранями правильного багатогранника можуть бути або правильні трикутники, або правильні чотирикутники, або правильні п’ятикутники. Причому випадках m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 дійшли протиріччю з умовою [pic]. Тому залишаються можливими п’ять випадків: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5.

Розглянемо кожен із випадків, використовуючи співвідношення (5), (4) і (3).

1) m = n = 3 (кожна грань багатогранника — правильний трикутник. Це — відомий нам правильний тетраэдр («тетраэдр» означає четырехгранник). pic].

2) m = 4, n = 3 (кожна грань квадрат, в кожній вершині сходяться три ребра). Имеем.

[pic]Р = 12; У = [pic] 8; Р = [pic] 6.

Отримуємо правильний шестигранник, яка має кожна грань — квадрат. Цей багатогранник називається правильним гексаэдром і є кубом («гексаэдр» — шестигранник), будь-який паралелепіпед — гексаэдр.

[pic] 3) m = 3, n = 4 (кожна грань -правильний трикутник, в кожної вершині сходяться чотири ребра). Имеем.

[pic] Р = 12; У = [pic]=6; Р = [pic]=8.

Отримуємо правильний октаедр, яка має кожна грань — правильний трикутник. Цей багатогранник називається правильним октаэдром («октаэдр» — восьмигранник).

[pic].

4) m = 5, n = 3 (кожна грань — правильний п’ятикутник, у кожному вершині сходяться три ребра). Имеем:

[pic]Р = 30; У = [pic]= 20; Р = [pic]= 12.

Отримуємо правильний двенадцатигранник, яка має кожна грань — правильний п’ятикутник. Цей багатогранник називається правильним додекаэдром («додекаэдр» — двенадцатигранник).

[pic].

5) m = 3, n = 5 (кожна грань — правильний трикутник, у кожному вершині сходяться п’ять ребер). Имеем.

[pic] Р = 30; У = [pic]=12; Р = [pic]= 20.

Отримуємо правильний двадцатигранник. Цей багатогранник називається правильним икосаэдром («икосаэдр» — двадцатигранник).

[pic].

Отже, ми маємо таку теорему.

Теорему. Існує п’ять різних (з точністю до подоби) типів правильних багатогранників: правильний тетраэдр, правильний гексаэдр

(куб), правильний октаэдр, правильний додекаэдр і правильний икосаэдр.

До цього висновку можна прийти кілька иначе.

Справді, якщо грань правильного багатогранника — правильний трикутник, й у однієї вершині сходяться k ребер, тобто. все плаский кути опуклого k-гранного кута рівні [pic], то [pic]. Отже, натуральне число k може приймати значення: 3;4;5. у своїй Р = [pic], Р = [pic]. На підставі теореми Эйлера маємо: В+[pic]-[pic]= 2 чи У [pic](6 — k) = 12. Тоді при k = 3 отримуємо: У = 4, Р = 4, Р = 6 (правильний тетраэдр); при k = 4 отримуємо: У = 6, Р = 8, Р = 12 (правильний октаэдр); при k = 5 отримуємо: У = 12, Р = 20, Р = 30 (правильний икосаэдр).

Якщо грань правильного багатогранника — правильний чотирикутник, то [pic]. Цій умові відповідає єдине натуральне число k = 3. Тоді: Р = [pic], Р= [pic]; У + [pic] - [pic] = 2 чи [pic]. Отже, У = 8, Р = 6, Р = 12 — ми маємо куб (правильний гексаэдр).

Якщо межею правильного багатогранника є правильний п’ятикутник, то [pic]. Цій умові відповідає також k = 3 і Р = [pic]; Р = [pic]. Аналогічно попереднім обчисленням отримуємо: [pic]и У = 20, Р = 12, Р = 30 (правильний додекаэдр).

Починаючи з правильних шестикутників, може бути є гранями правильного багатогранника, плоскі кути стають незгірш від [pic], вже k = 3 їх сума стає менш [pic], що організувати неможливо. Отже, існує лише п’ять видів правильних многогранников.

На малюнках зображені розверстки кожного з п’яти правильних многогранников.

Правильний тетраэдр

[pic].

Правильний октаэдр [pic].

Правильный гексаэдр [pic].

Правильний икосаэдр

[pic].

Правильный додекаэдр [pic].

Деякі властивості правильних багатогранників наведені у наступній таблиці. |Вигляд межі |Плоський |Вигляд |Сума |У |Р |Р |Назва | | |кут |многогранног|плоских | | | |багатогранника | | |при |про |кутів при | | | | | | |вершині |кута при |вершині | | | | | | | |вершині | | | | | | |Правильний |[pic] |3-гранный |[pic] |4 |6 |4 |Правильний | |трикутник| | | | | | |тетраэдр | |Правильний |[pic] |4-гранный |[pic] |6 |12|8 |Правильний | |трикутник| | | | | | |октаэдр | |Правильний |[pic] |5-гранный |[pic] |12|30|20|Правильный | |трикутник| | | | | | |икосаэдр | |Квадрат |[pic] |3-гранный |[pic] |8 |12|6 |Правильний | | | | | | | | |гексаэдр (куб) | |Правильний |[pic] |3-гранный |[pic]ё |20|30|12|Правильный | | | | | | | | |додекаэдр | |пятиугольни| | | | | | | | |до | | | | | | | |.

В кожного з правильних багатогранників, крім вже зазначених, нас частіше всього будуть интересовать:

1. Розмір його двугранного кута при ребрі (при довжині ребра a).

2. Площа його повної поверхні (при довжині ребра a).

3. Його обсяг (при довжині ребра a).

4. Радіус описаної біля нього сфери (при довжині ребра a).

5. Радіус уписаної до нього сфери (при довжині ребра a).

6. Радіус сфери, що стосуються усіх її ребер (при довжині ребра a).

Найпростіше вирішується питання обчисленні площі повної поверхні правильного багатогранника; вона дорівнює Г[pic], де Р — кількість граней правильного багатогранника, а [pic]- площа однієї грани.

Нагадаємо, sin [pic] = [pic], що дозволяє нам можливість записати в радикалів: ctg [pic]=[pic]. Зважаючи на це складаємо таблиці: а площі межі правильного багатогранника |Вигляд межі |Довжина |Довжина апофемы межі |Площа межі | | |боку | | | |Правильний |a |0,5[pic] |[pic] | |трикутник | | | | |Квадрат |a |0,5a |[pic] | |Правильний |a |[pic] |[pic] | |п'ятикутник | | | |.

б) для площі повної поверхні правильного багатогранника |Вигляд |Вигляд граней |Кількість |Площа повної поверхні | |багатогранника | |граней | | |Правильний |Правильний |4 |[pic] | |тетраэдр |трикутник | | | |Правильний |Правильний |8 |[pic][pic] | |октаэдр |трикутник | | | |Правильний |Правильний |20 |[pic] | |икосаэдр |трикутник | | | |Правильний |Квадрат |6 |6a[pic] | |гексаэдр (куб)| | | | |Правильний |Правильний |12 |[pic] | |додекаэдр |п'ятикутник | | |.

Тепер час торкнутися вирахування величини двугранного кута [pic] правильного багатогранника за його ребрі. Для правильного тетраедра і куба ви легко знайдете величину цього угла.

У правильному додекаэдре все плоскі кути його граней рівні [pic], тому, застосувавши теорему косинусов для тригранних кутів до будь-якого трехгранному розі даного додекаэдра за його вершині, одержимо: cos[pic], откуда.

[pic].

[pic].

На зображеному правильному октаэдре ABCDMF ви можете переконатися, що двугранный кут [pic] при рубі октаэдра дорівнює 2arctg[pic].

M.

F.

Для перебування величини двугранного кута [pic] при ребрі правильного икосаэдра можна розгледіти тригранний кут ABCD при вершині А: його плоскі кути ВАС і CAD рівний [pic], а третій плаский кут BAD, проти якого двугранный кут B (AC)D = [pic], дорівнює [pic] (BCDMF — правильний п’ятикутник). По теоремі косинусов для трехгранного кута ABCD маємо: [pic]. З огляду на, що [pic], отримуємо [pic], звідки [pic]. Таким чином, двугранный кут [pic] при рубі икосаэдра дорівнює [pic].

[pic].

Отже, отримуємо таку таблицю величин двугранных кутів при ребрах правильних багатогранників. |Вигляд багатогранника |Розмір двугранного кута при рубі | |Правильний тетраэдр |[pic] | |Правильний октаэдр |[pic] | |Правильний гексаэдр (куб) |[pic] | |Правильний додекаэдр |[pic] | |Правильний икосаэдр |[pic] |.

Перш ніж знаходити обсяг тієї чи іншої правильного багатогранника, спочатку проведемо розмірковування про те, як знайти обсяг правильних багатогранників загалом. Спробуйте спочатку довести, що й центр кожній грані будь-якого правильного багатогранника провести пряму, перпендикулярну площині цієї межі, усі проведені прямі перетнуться у певній одній точці Про, віддаленій від усіх граней даного багатогранника одне і також відстань, яке позначимо r. Крапка Про виявиться центром сфери, уписаної у цей багатогранник, а r — її радіусом. Поєднавши отриману точку Про з усіма вершинами даного багатогранника, ми розіб'ємо його за Р рівних між собою пірамід (Г—число граней правильного багатогранника): підставами освічених пірамід рівні r. Тоді обсяг даного багатогранника дорівнює сумі обсягів усіх цих пірамід. Оскільки багатогранник правильний, його обсяг V можна знайти по формуле:

(1).

Залишається знайти довжину радіуса r. І тому, з'єднавши точку Про з серединою До ребра багатогранника, спробуйте переконатися, що похила КЗ до межі багатогранника, що містить ребро, становить з площиною межі кут, рівний половині величини [pic] двугранного кута у своїй рубі багатогранника; проекція ж похилій КЗ на площину межі належить її апофеме і дорівнює радіусу уписаної у ній окружності. Тогда.

(2).

где p—полупериметр межі. Тоді з (1) і (2) вираховуємо загальну всім правильних багатогранників формулу обчислення їх объемов:

[pic]. Ця формула не потрібна перебування обсягів куба, правильних тетраедра і октаэдра, але дозволяє досить легко знаходити обсяги правильних икосаэдра і додекаэдра. |Вигляд багатогранника |Обсяг багатогранника | |Правильний тетраэдр |[pic] | |Правильний октаэдр |[pic] | |Куб |[pic] | |Правильний икосаэдр |[pic] | |Правильний додекаэдр |[pic] |.

року міністерство освіти РФ р. Янаул.

[pic] по геометрії на задану тему «Правильні многогранники».

Виконав: Хабибьянов Д.Р.

Перевірила: Нургаянова Т.С.

2004 год.

———————————- C.

A.

D.

B.

[pic].

D.

В.

F.

A.

M.

C.

[pic].

[pic].