Шпора

|Квиток № 1 | |Питання № 3 | |Питання № 5 | |нехай у обл. P площині | |нехай у площині XOY | |Формула Гріна. | |XOY задана деяка | |задана площину Д, | |[pic] | |фун-ия z=f (x;y). Разобъём| |ограничен-ная такими | |Теорему: Нехай задана | |обл. P на n часткових | |кривими: y=(1(x) a (x (a | |область Д огран. слід. | |обл. Рi, де i=1…n, | |- знизу; | |кривими: | |возмём довільну точку| |y=(2(x) a (x (b — згори;| |y=(1(x) a (x (b | |обл. ((I;(I) (Рi, (- | |x = a — зліва; x = b — | |y=(2(x) a (x (b | |наиболь-ший діаметр | |справа; | |x=a, x=b, де ф-ции | |чатичных обл. | |Тоді має місце наступна| |(1 і (2 непрер. на (a, b).| |Побудуємо часткову суму | |теорема. | |нехай у цій галузі | |- суму Римена. | |Теорему: Якщо функція | |ставиться функція P (x, y) -| |[pic] | |f (x;y) задана у сфері Д | |непрер. і має непрер.| |Визначення: | |така, що є | |приватну похідну: | |[pic] | |подвійний інтеграл | |[pic], тоді має місце | |Якщо існує кінцевий | |[pic] | |слід. рівність: | |межа та залежною від | |нічого для будь-якого фіксованого | |[pic] | |способу ділень області | |x ([a; b] існує одна-| | | |на частини й від вибору т. | |мірний інтеграл | |Доказ: | |((I;(I) у кожному з | |[pic] | |Розглянемо подвійний | |часткових областей, то | |тоді існує | |інтеграл, стоїть справа | |такий межа прийнято | |повторний інтеграл | |в формуле (1). Т.к. під | |називати подвійним | |[pic] | |інтегралом стоїть непрер. | |інтегралом по обл. Р і | |Доказ: | |функція, такий подвійний| |пишуть: | |[pic] | |інтеграл існує, | |[pic] | |Означимо c=inf (1(x) a (| |теж є | |Що стосується, якщо фун-ия f >| |x (b; d=max (1(x) a (x (| |одновимірний интеграл[pic] | |0 ми дійшли | |b і розглянемо | |і можна обчислити | |геометричному змісту | |прямокутник | |через повторний: | |подвійного інтеграла: | |R=[a, b;c, d](Д. P=RД (раз-| |[pic] | |днойной інтеграл — це | |ность множин). Побудуємо | |Теорему: Нехай задана | |обсяг деякого | |допоміжну функцію | |область Д огран.: | |циліндричного тіла, | |[pic] | |[pic] | |згори обмеженого | |Розглянемо | |y=(1(x) з (x (d | |пов-тью z = (x;y), | |[pic] | |y=(2(x) з (x (d | |яка проектується на | |Отримуємо таке | |x=c, x=d. І нехай | |площину XOY в обл. Р, а| |рівність: | |цій галузі ставиться | |що утворюють рівнобіжні | |[pic] | |функція Q (x, y) — непрер. | |OZ. Площа обл. Р: | |Зауваження: Нехай тепер | |і має непрер. приватну| |[pic] | |область Д обмежена | |похідну: [pic], тоді| |Подвійний інтеграл від | |такими лініями: | |має місце слід. | |f (x;y) має багато | |[pic] | |рівність: | |св-ва, аналогічні св-ам | |x=(1(y) з (y (d — зліва; | |[pic] | |одномірного інтеграла. | |x=(2(y) з (y (d — справа;| | | |Св-ва подвійного інтеграла:| | | |Cкладываем формули (1) і | | | |x = з — згори; x = d — | |(2) й одержуємо таку | |1.Необходимым умовою | |знизу. І хоча | |формулу Гріна області| |сущ. Подвійного інтеграла | |[pic] | |Д: | |явл. обмеженість ф-ции| |Тоді аналогічно | |[pic] | |f в обл. Р, тобто якщо сущ.| |попередньому можна показати,| |D P (x, y), Q (x, y) | |інтеграл, то f (x;y) — | |що є повторний | |[pic], [pic] | |обмежена. | |інтеграл і | |[pic] | |2.Всякая непрырывная | |[pic] | |Обчислення площ через| |ф-ция, задана в обл. Р,| |Якщо ж функція f (x;y) | |кривий інтеграл | |интегри-руема. | |така, що є | | | |3.Если ф-ция f (x;y) в | |подвійний інтеграл, | |[pic] | |обл. Р має розриви на | |існує обидва повторних, | |Застосуємо ф. Гріна, тобто. | |кінцевому числі | |то одночасно мають місце| |висловимо його через | |непрырывных кривих, | |формули (1) і (2) і можна | |вигнутий інтеграл по| |що належать цієї обл., | |користуватися кожної. | |кордоні області. | |то f интегрирума по обл. | | | |1. Q = x P = 0[pic] | |Р. | | | |2. Q = 0 P = -y[pic] | |4.Сумма Дарбу: | | | |Підсумовуємо 1 і 2 :[pic] | |[pic] [pic] | | | | | |Теорему: А, щоб | | | |Приклад: Обчислити площа| |подвійний інтеграл від | | | |еліпса | |обмеженою обл. Р | | | |[pic]. | |існував, необхідне й| | | |Зробимо заміну | |досить, щоб | | | |переменных[pic] | |виконувалося рівність: | | | |0 (t (2(| |[pic] | | | |[pic] | |5.Аддетивность подвійного | | | | | |інтеграла, тобто., якщо | | | | | |задана обл. Р деякою | | | | | |непрырывной кривою | | | | | |розбита на дві обл-ти | | | | | |Р1иР2 які мають загальних | | | | | |точок, то, якщо подвійний | | | | | |інтеграл по обл. Р | | | | | |існує, це вони мають| | | | | |інтеграли щодо по| | | | | |двом областям. | | | | | |[pic] | | | | | |6.Линейность: | | | | | |[pic] | | | | | |7.Если f (x;y) (g (x;y) | | | | | |для ((x;y)(P і ф-ции f і | | | | | |g интегрируемы, то | | | | | |відповідно | | | | | |справедливо нерівність: | | | | | |[pic] | | | | | |9.Если f (x;y) | | | | | |задовольняє нер-вам m | | | | | |(f (x;y) (M, то | | | | | |справедливо таке | | | | | |нерівність: | | | | | |[pic] | | | | | |10.Для подвійного інтеграла| | | | | |має місце теорема про | | | | | |середньому: якщо z = f (x;y) | | | | | |- ф-ция, заданая в обл. Р| | | | | |і такі, що у всіх | | | | | |точках цій галузі | | | | | |виконується нер-во m (| | | | | |f (x;y) (M, де | | | | | |[pic] | | | | | |що існує число (| | | | | |таке, що справедливе | | | | | |рівність: | | | | | |[pic] | | | | | |Що стосується непрырывности | | | | | |ф-ции: | | | | | |[pic] | | | | | |Питання № 6 | |Питання № 4 | |Питання № 2 | |Неприрывную криву назыв.| |Нехай задано 2 площині з | |Теорему: Нехай z = f (x, y)| |простий кривою | |уведеними в прямокутник | |- обмежена функція, | |(жордановой), якщо вона| |декартовыми системами | |задана на | |має точок | |координат | |прямокутнику R = | |самопересечения. | |[pic] | |[a, b;c, d], і є | | | |XOY і UOV. нехай у | |подвійний інтеграл у цій| |Областю називається | |плоскисти XOY задана | |прямокутнику [pic] | |всяке відкрите связаное | |область DV обмежена | |Якщо (X [a, b] | |мн-во, тобто. таке мн-во | |кривою Р, а площині | |існує одновимірний | |всяка точка кіт. явл. | |UOV задана область G | |інтеграл | |внутрішньої й зняти будь-які дві | |обмежена кривою L | |[pic] | |точки цього мн-ва можна | |Нехай функція | |то (повторний інтеграл | |з'єднати безупинної | |[pic]отображает область G в| |[pic] | |кривою всі крапки кіт. | |області D, де т.(u, v)(G, | |Доказ: | |належать даному | |а т.(x, y)(D. | |[pic] | |мн-ву. | |Будемо предпологать, що | |Розіб'ємо відтинки ab і cd | | | |функції x і y такі, що | |відрізками a=x0.