Приближенное рішення рівнянь методом хорд і касательных
2;-1) є x = -1,6751 ———————————- a1=-0.66 667 при х1=-1.0 і x2=0.0 a2=-0.56 250 при х1=-0.66 667 і x2=0.0 a3=-0.54 295 при х1=-0.56 250 і x2=0.0 a4=-0.53 978 при х1=-0.54 295 і x2=0.0 a5=-0.53 928 при х1=-0.53 978 і x2=0.0 a6=-0.53 920 при х1=-0.53 928 і x2=0.0 a7=-0.53 919 при х1=-0.53 920 і x2=0.0 a8=-0.53 919 при х1=-0.53 919 і x2=0.0. Пункти 2 і трьох алгоритму виконуються з допомогою ЕОМ… Читати ще >
Приближенное рішення рівнянь методом хорд і касательных (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Магнітогорський державний технічний университет.
Близьке рішення рівнянь методом хорд і касательных.
Підготував: Григоренко М.В.
Студент групи ФГК-98.
Магнітогорськ -1999.
Аби вирішити було запропоновано такі рівняння: x3 — 4x — 2 = 0 і 4x = cosx.
За позитивного рішення кожного рівняння вводиться відповідна функція (((x) = x3 — 4x — 2 і ((x) = 4x — cosx), а рішеннями рівняння є нулі відповідної функции.
Слід зазначити, що обидві функції безупинні і двічі дифференцируемы на області визначення (-(; ().
Необхідно відшукати наближені рішення рівнянь із заданою точністю (0,001). З метою спростити роботу (зокрема, позбавити людини від однотипних арифметичних і логічних операцій) й забезпечити максимальну точність обчисленням, під час вирішення даних рівнянь було використано ЕОМ і програми мовою Turbo Pascal 7.0, створені спеціально на вирішення даних задач.
Спосіб хорд.
Теоретична часть.
Цей спосіб можна зводити до наступному алгоритму:
1. Розділимо всю область дослідження (Df) відтинки, такі, що в кожного відрізка [x1;x2] функція монотонна, але в його кінцях значення функції ((x1) і ((x2) різних знаків. Оскільки функція ((x) безупинна на відрізку [x1;x2], що його графік перетне вісь ОХ як і або одній точці між x1 і x2.
2. Проведемо хорду АВ, з'єднуючу кінці кривою y = ((x), відповідні абсциссам x1 і x2. Абсциса a1 точки перетину цієї хорди з віссю ОХ і буде наближеним значенням кореня. Для розвідки цього наближеного значення напишемо рівняння прямий АВ, що проходить за два дані точки A (x1;((x1)) і B (x2; ((x2)), в канонічному виде:
[pic];
З огляду на, що y = 0 при x = a1, висловимо з цього рівняння a1:
[pic].
3. Щоб самому отримати точніше значення кореня, визначаємо ((а1). Коли даному відрізку маємо ((x1)0 і ((a1)0,.
((x2)0, то застосовуємо цієї формули до відтинку [x1;a1].
повторюючи цей прийом кілька разів, ми отримувати дедалі більше точні значення кореня А2, а3 і т.д.
Приклад 1. x3 — 4x — 2 = 0.
((x) = x3 — 4x — 2,.
(((x) = 3×2 — 4, похідна змінює знак в точках [pic].
(((x) + - +.
((x) [pic] [pic] х функция ((x) монотонно зростає при x ((-(;[pic]] і за х ([[pic]; (), і монотонно убуває при x ([[pic]; [pic]].
Отже, функція має три ділянки монотонності, кожному у тому числі перебувають розслідування щодо одному корню.
Для зручностей подальших обчислень сузим ці ділянки монотонності. Для цього підставляємо навмання в вираз ((x) навмання ті чи інші значення x, виділимо всередині кожної ділянки монотонності такі коротші відтинки, на кінцях яких функція має різні знаки:
((-2)= -2,.
((-1)= 1,.
((0)= -2,.
((1)= -5,.
((2)= -2,.
((3)= 13.
Отже, коріння перебувають у интервалах.
(-2;-1), (-1;0), (2;3).
Пункти 2 і трьох алгоритму виконуються з допомогою ЕОМ (текст відповідної програми наводиться в Додатку 1) Програма виводить послідовність наближених значень з дедалі більшого точністю для кожного з участков:
Для (-2;-1): Для (-1;0): a1=-1.33 333 при х1=-2.0 і x2=-1.0 a2=-1.55 000 при х1=-2.0 і x2=-1.33 333 a3=-1.63 653 при х1=-2.0 і x2=-1.55 000 a4=-1.66 394 при х1=-2.0 і x2=-1.63 653 a5=-1.67 195 при х1=-2.0 і x2=-1.66 394 a6=-1.67 423 при х1=-2.0 і x2=-1.67 195 a7=-1.67 488 при х1=-2.0 і x2=-1.67 423 a8=-1.67 506 при х1=-2.0 і x2=-1.67 488 a9=-1.67 511 при х1=-2.0 і x2=-1.67 506 a10=-1.67 513 при х1=-2.0 і x2=-1.67 511 a11=-1.67 513 при х1=-2.0 і x2=-1.67 513.
для (2;3) a1=2.13 333 при х1=2.0 і x2=3.0 a2=2.18 501 при х1=2.13 333 і x2=3.0 a3=2.20 388 при х1=2.18 501 і x2=3.0 a4=2.21 063 при х1=2.20 388 і x2=3.0 a5=2.21 302 при х1=2.21 063 і x2=3.0 a6=2.21 386 при х1=2.21 302 і x2=3.0 a7=2.21 416 при х1=2.21 386 і x2=3.0 a8=2.21 426 при х1=2.21 416 і x2=3.0 a9=2.21 430 при х1=2.21 426 і x2=3.0 a10=2.21 431 при х1=2.21 430 і x2=3.0.
Наближеним значенням кореня рівняння на отрезке.
(-2;-1) є x = -1,6751 ———————————- a1=-0.66 667 при х1=-1.0 і x2=0.0 a2=-0.56 250 при х1=-0.66 667 і x2=0.0 a3=-0.54 295 при х1=-0.56 250 і x2=0.0 a4=-0.53 978 при х1=-0.54 295 і x2=0.0 a5=-0.53 928 при х1=-0.53 978 і x2=0.0 a6=-0.53 920 при х1=-0.53 928 і x2=0.0 a7=-0.53 919 при х1=-0.53 920 і x2=0.0 a8=-0.53 919 при х1=-0.53 919 і x2=0.0.