Дифференциальная геометрія

Дифференциальная геометрия

Полугруппой зв. безліч об'єктів, для його елементів визначено замкнута асоціативна бінарна операция.

Группой зв. безліч об'єктів, для його елементів визначено замкнута асоціативна бінарна операція і є единица.

Кольцо — безліч об'єктів із двома бінарними операціями, що є групою за однією з операцій, і полугруппой за другою операції, причому для елементів кільця справедливий закон асоціативності і дистрибутивности.

Поле — кільце з одиницею, що містить елементи чудові від нуля, кожного з яких визначено зворотний елемент по «множенню» (що є групою по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кільцем зв. безліч об'єктів званих векторами з деякими операціями векторного складання і множення вектора на скаляр, такими, що це безліч є групою по векторному додаванню справедливі закони асоціативності і дистрибутивности для множення на скаляр.

Алгеброй нам кільцем скалярів з одиницею зв. безліч об'єктів із певними з них трьома операціями складання, множення і множення на елементи з кільця скалярів, що є кільцем за двома операціям і лінійним векторным пр-вом над кільцем скалярів.

Факторгруппой називається безліч об'єктів, є собою класами еквівалентності деякою заданої групи G по підгрупі М, кожен із яких виходить послідовним складанням елементів із групи G з заданим елементом з підгрупи М. Факторгруппа позначається G/H.

Отображением одного безлічі до іншого зв. набір правил сопоставляющих кожному об'єкту з першого безлічі із другого безлічі, званого чином відображення.

Мономорфизмом називається відображення, встановлює взаємно однозначне відповідність між способом мислення й прообразом.

Эпиморфизмом називається таке відображення, що з кожної точки образу існує елемент з прообразу, що у нього перешел.

Система координат є відображенням деякого простору в числові послідовності фіксованою довжини, звані координатами.

Дифференциалом відображення з багатьох і системи координат u, v у безліч і системи координат x, y зв. відображення дотичних пр-в Vu в Vv, задаваемое матрицею D (x, y)/D (u, v).

Рангом квадратної матриці порядку n зв. число її лінійно незалежних строк.

Ранг зв. максимальним, коли він збігаються з порядком матрицы.

Метрическим пр-вом зв. б таку силу-силенну об'єктів, званих точками, що з кожної упорядкованим пари точок цього безлічі визначено ненегативне дійсне число, що задовольнить правилом трикутника і зване відстанню чи метрикой.

Окрестностью радіуса R точки метричного простору зв. безліч точок, відстань яких до заданої точки не перевищує радиуса.

Предельной точкою безлічі в метричному просторі зв. така точка, що у будь-яку як завгодно малої околиці цієї точки знайдеться, по крайнього заходу, одна точка від цього безлічі крім її самой.

Открытым зв. б таку силу-силенну, що з кожної його точки існує околиця, повністю що у цьому множестве.

Замкнутым безліччю зв. б таку силу-силенну, доповнення якого открыто.

Компактным зв. обмежений замкнутий множество.

Связанным зв. безліч, яке годі уявити в вигляді непересічних множин, таких, що сама безліч зовсім позбавлений граничну точку другого.

Областью зв. відкрите пов’язане множество.

n-мерным мн-зием зв. метричне пр-во M, якщо кожна точка Р якого є на околиці U з M, гомеоморфной деякою області евклидова простору Rn розмірності n.

Атлас карт — система відкритих множин {Ui} покриваючих мн-зие М.

Непрерывным у точці а відображенням ¦ топологічного простору З в З' зв. таке відображення, що з кожної околиці U' точки ¦(a) в З' є така околиця точки a в З, яким його міститься у U'.

Непрерывным відображенням зв. відображення, безупинне у кожному точке.

Гладким відображенням зв. безупинне отображение.

Гомеоморфизмом зв. безупинне взаємно однозначне відображення, має зворотне відображення.

Координатный гомеоморфизм — відображення карти атласу М в відповідну область V з Rn.

Диффеоморфизмом ¦ зв. гомеоморфизм є гладким відображенням, такий, що зворотне відображення є також гладким.

Локальной системою координат зв. система координат в області V евклидова простору Rn, де V — образ деякою карти мн-зия M.

Функциям переходу від координат {} до {}називаються функції, змінюють одну до іншої частини двох карт дома їх пересечения = .

Гладким мн-зием зв. мн-зие, якби деякому його атласі функції переходу від координат {}до {}безупинно дифференцируемы для будь-який пари карт.

Погружением зв. таке гладке відображення вже з мн-зия до іншого, в другому мн-зии виділяється якась подобласть, на яку має місце взаємно однозначне відповідність до точками вихідного мн-зия.

Вложением зв. таке занурення, якщо чином занурення є замкнутий множество.

Подмн-зием зв. образ мн-зия при вложении.

Ориентируемым мн-зием зв. таке мн-зие, котрій існує атлас, де всі матриці переходу із однієї карти до іншої мають позитивний якобиан.

Разбиением одиниці, підлеглому покриттю Ua розмаїттю M називається таку систему действительнозначных функцій ja, що supja досягається на Ua, сума ja (x)=1 на M.

Теорема. Нехай X — довільне подпр-во Rn і Ua — його покриття. Тоді існує Розбивкою одиниці, підлеглому покриттю Ua.

Касательным пр-вом у точці a мн-зия М зв. сукупність дотичних векторів кривих, що пропливали цю точку.

Производной функції ¦ в напрямі V (x1,…, xn) у точці А називається число . Похідна в напрямі линейна, удовл. правилу Лейбница.

Лемма. Нехай функція ¦ дорівнює нулю в окр-ти т. A і {¶} - набір формальних операція, які мають функції в соотв. Нек-рое число і удовл. пр-лу Лейбніца. Тоді ¶¦(A)=0.

Лемма. ¶(Const)=0.

Лемма Адамара. Нехай ¦ - дифференцируема в окр-ти т. A для т. B з окр-ти, А справедливо співвідношення: ¦(B)=¦(A)+(-).

Теорема. Зіставлення касательному вектору в т. A похідною в напрямі цього вектора VA®{¶} - изоморфизм.

Гладким розшаруванням називається складовою об'єкт, що з пр-ва розшарування (гладке мн-зие Є), бази розшарування (гладке мн-зие М), проекції розшарування (гладке відображення з простору розшарування до бази, диференціал якого має максимальний ранг), шару (гладке мн-зие F), структурної група G гладких перетворень шару F.

Структура розшарування задається набором диффеоморфизмов, які кожному прямому твору шару F певну область з убозівської бази ставлять у відповідність прообраз цій галузі на розшаруванні а як і функціями переходу між прямими творами шару F і областями бази, де ті області перетинаються, причому функції склейками для шару є елементами структурної групи G гладких перетворень шару F.

Касательным розшаруванням рівного мн-я M зв. об'єднання всіх дотичних просторів мн-зия.

Теорема. Розмірність касательного розшарування n-мерного рівного мн-я M — 2n.

Теорема. Нехай ¾ гладке сюръективное відображення з компактними прообразами точок, N ¾ чіткий і всі точки f регулярні. Тоді f ¾ розшарування. (Зокрема, все прообрази ¾ однакові многообразия).

Векторное полі визначено на мн-зии, якщо кожній точці мн-зия сопоставлен певний вектор, координати якого змінюються безупинно від точки до точки. Векторні поля утворюють бесконечномерное пр-во.

Теорема. На Mn (UА) існують такі гладкі криві x1(t),…, xn (t), що касательные вектора до них утворюють щодо пр-во у точці А.

Коммутатором (Похідною Ли) векторных полів x і h у системі координат x1,…, xn зв. векторное таке полі [x, h], що [x, h]i =- i=1,…, n. Комутатор — гладке векторное полі, що має св-вами антикоммутативности ([u, v]=-[v, u]), дистрибутивности і лінійності зокрема. [gv, hw]=gh[v, w] .

Неособой точкою векторного поля v (x), зв. точка, у певній околиці якої векторное полі безупинно і звертається до нуль.

Особой точкою векторного поля v (x), зв. точка, у певній околиці якої порушуються хоча одне з цих двох условий:1).в деякою околиці точки векторное полі безупинно і 2) векторное полі не звертається до нуль в цієї точці.

Невырожденной зв. така особлива точка векторного поля, що детермінант у цій точці різниться від нуля, де xi — координати векторного поля x у системі координат (x1,…, xn).

Индексом особливої точки векторного поля v (x), зв. знак детермінанта , де xi — координати векторного поля x у системі координат (x1,…, xn).

Базисным зв. таке векторное поле, на мн-зии, що вектора, відповідні йому на карті у кожному точці можна доповнити до базису в цій карте.

Голономными називаються такі векторні поля v і w, що [v, w]=0.

Теорема. Нехай a1,…, an — голономные л.н.з. поля, тоді локально є базисными.

Правильной для відображення ¦ з мн-зия M1 в M2 зв. точка з вихідного мн-зия M1, така, що матриця Якобі у цій точці має максимальний ранг.

Регулярной точкою відображення з мн-зия M1 в M2 зв. така точка з мн-зия M2, що це точки з його прообразу — правильні.

Степенью відображення в регулярної точці, прообраз якої з кінцевого числа точок, зв. сума знаків детермінантів відбиття з прообразів регулярної точки у цю точку.

Числом обертання векторного поля була в окремій точці Р зв. ступінь відображення векторного поля на кривою, оточуючої особливу крапку у одиничну окружність за такою формулою ¦x (x 1,…, x n)=, де x — векторное поле, на мн-зии. Воно збігаються з індексом особливої точки.

Сопряженным до пр-ву векторів V називають пр-во V* лінійних вектор-функций, званих ковекторами. Матрицею переходу від однієї системи координат До інший є матриця, зворотна до якобиану.

Гладкой гомотопией відображення ¦ з M в N зв. таке відображення циліндра, отриманого як наслідок прямого твори рівного мн-зия N на відрізок [0, 1], в гладке мн-зие М, таке, що відображення точки (x, 0) збігаються з ¦(x).

Гомотопией чи процесом гомотопии називаються все безліч гладких гомотопий.

Гомотопными називаються відображення ¦t (x), такі, що така гомотопия, що обидві відображення зберігають у ней.

Гомотопически еквівалентними називають такі два різноманіття, що є гладкі відображення, що переводять одне до іншого і навпаки, що й композиції гомотопны відповідним тотожний отображениям.

Тензором типу (p, q) рангу p+q зв. полилинейная ф-я від p векторів і q ковекторов. В нього np+q координат =T (e1,…, ep, E1,…, Eq).

Тензором типу (p, q) рангу p+q зв. об'єкт, задаваемый у кожному система координат набором чисел, преобразующихся при заміні систем координат (x)®(x') по закону:

= .

Тензором типу (p, q) рангу p+q зв. полилинейный функціонал, поставлене на мн-ии, аргументи к-го є векторні поля.

Теорема. Ці визначення тензора эквивалентны.

Теорема. Значення тензора на p вектори і q ковекторах инвариантно щодо системи координат.

Сложение тензорів: =1+2.

Умножение Тензорів. =x.

Свертка Тензора. .

Симметрирование. .

Альтернирование. .

Симметричным (Кососимметричным) називається такий тензор j, що js=j (js=(-1)sj).

Теорема. jalt — кососимметричный. jsym — симетричний. (js)alt=(-1)s js.

(js)sym=jsym. Якщо j — симетричний, що j=jsym.

Теорема. Пр-во кососимметричных тензорів типу (p, 0) має розмірність 0, якщо p>n і одну иначе.

Операцией опускання індексів зв. операція, яка має в відповідність тензору тензор =, де aij — невырожденное тензорне полі типу (0, 2) (то є $ A-1 (aij)).

Теорема. Симетричність инвариантна щодо заміни координат.

.

Символами Кристоффеля зв. функція чи коорд. .

Теорема. .

Тензором Ковариантного диференціювання Ñ чи связностью зв. тензор:

Ñ= +  — .

Тензор крутіння зв. тензор, задаваемый у кожному системі координат рівністю: .

Симметричной зв. зв’язність Ñ, тензор крутіння якої дорівнює нулю.Ñ линейна і задовольняє правилу Лейбница.

Теорема. Зв’язність симетрична титт, коли .

Согласованной з Римановой связностью на мн-ии M називається така Метрика G, що ÑG=0 скрізь на мн-ии.

Теорема. На римановом мн-ии існує одна риманова зв’язність, узгоджена з метрикой.

Тензором кривизни Рімана даної связности Ñ зв. наступний тензор:

=.

Теорема. Нехай поставлено розмаїття M і нехай тензор кривизни R у цьому різноманітті різниться від нуля переважають у всіх точках, тоді на різноманітті M не можна осягнути локально-евклидовы координати, тобто. такі, у яких матриця gij постоянна.

Теорема. На двовимірному Римановом мн-ии R=2K, де K — гауссова кривизна, а R =gkl.

R (X, Y) Z=ÑxÑy (z) — ÑyÑx (z) — Ñ[x, y](z).

Кривизной по двумерному напрямку X, Y називається число R (s)=(R (X, Y) X, Y), де X, Y — задані векторні поля.

Теорема. Нехай M — двовимірне риманово розмаїття та K (P) — гауссова кривизна, тоді R (s)=K (P).

Коммутатором ковариантного диференціювання тензора зв. тензор [Ñk,Ñl](Ti)=Tq, де [Ñk, Ñl] =(ÑkÑl — ÑlÑk), і T=(Ti) — тензорне поле, на заданому мн-зии.

Кососимметричным тензорным полем зв. таке тензорне полі , що його компоненти змінюють знак при транспонировании будь-яких двох сусідніх індексів одного типа.

Дивергенцией векторного поля з визначення називають тензор

Div (Ti)=.

Внешним множенням кососимметричных тензорів j1 і j2 називається тензор j1^j2=(j1Äj2)alt. Воно лінійно, антикоммутативно.

Св-во. Нехай j1 і j2 кососимметричные тензоры типу (p, 0) і (q, 0), тоді j2^j1=(-1)pqj1^j2.

Алгеброй диференційних форм Ù(Mn) зв. алгебра, представниками якої є лінійні комбінації w (k)= і комбінації де  — кососимметричное тензорне полі рангу q і індекси j1… jq впорядковані гаразд зростання.

Внешними диференціальними формами називаються елементи алгебри диференційних форм w (k). Вони инвариантны щодо заміни координат т. е.

.

Теорема. Розмаїття ориентируемо титт, коли у ньому задана диф. форма w, яка від нуля переважають у всіх точках мн-я.

Теорема. Розмірність диференційних форм ступеня k дорівнює .

Rot (¦):=; DivX (¦):=.

Градиентом зовнішньої форми w зв. зовнішня д.ф. dw, компоненти якої у локальної системі координат (x1,…, xn) мають вид:

=. Grad (¦):=.

Градиент зовнішньої форми линеен й володіє такими свойствами:

1) d (w1Ùw2)=dw1Ùw2+w1 Ùdw2.

d (dw)=0.

Замкнутой зовнішньої диференціальної формою зв. зовнішня д.ф. із нульовим градиентом.

Точной зовнішньої диференціальної формою зв. зовнішня д.ф., якщо у вигляді градієнта деякою диференціальної форми.

Носителем диференціальної форми зв. Замикання безлічі, у якому диференційна форма відрізняється від нуля.

Сосредоточенной, щодо заданої точки, диференціальної формою зв. така д.ф., що вона відрізняється від нуля в досить малої околиці заданої точки.

Ограничением диференціальної форми стосовно мн-зию М зв. така д.ф. над подмн-зием До мн-зия М, що вона тотожний дорівнює вихідної диференціальної формі на подмн-зии До і нулю поза его.

Продолжением диференціальної форми стосовно подмн-зию До мн-зия М, зв. така д.ф. над мн-зием М що вона тотожний дорівнює вихідної диференціальної формі на подмн-зии К.

Теорема. Нехай y — відображення з мн-я M в мн-е N, нехай y* - відображення диф. форм з M в N, тогда.

.

dy*(w)= y*(dw).

Сл-е. Замкненість і точність диф. форм — инвариант.

Интегралом диф. форми w за картою D ориентируемого мн-ия M називається вираз , де Sx рівно знаку орієнтації карти D.

Утверждение. Для интегрируемой ф-ии ¦ знайдеться така диф. форма w=Sx¦(x), де Sx рівно знаку орієнтації карти D, а G — метрика, що й інтеграли равны.

Формула Стокса. Для ориентируемого різноманіття з краєм M і диф. форми w .

Группой когомологий де Рама зв. чинник — пр-во замкнутих зовнішніх диференційних форм ступеня k по подпространству точних форм розмірності k мн-зия M і позначається через Hk (M) чи (M) якщо носієм диференціальної форми є компакт. Будь-яка точна форма є замкнутої, оскільки d (dw ‘) = dd (w¢)=0.

Кольцо всіх замкнутих зовнішніх диференційних форм довільній ступеня мн-я M позначається через H*(M).

Обратным чином ¦*(w) зовнішньої диференціальної форми w на M2 зв. така зовнішня д.ф. на мн-зии M1, задаваемое формулою: ¦*(x1,…, xk)=w (d¦(x1),…, d¦(xk)), де x1,…, xk належать касательному простору точки Р з M2 і є образами відображення ¦, де ¦ - гладке відображення мн-зий .

Теорема. Групи когомологий де Рама гомотопных мн-й изоморфны.

Производной вздовж кривою g зв. вираз: Ñg =xkÑk (), де.

g (t) — полі швидкостей з координатами {xk} у певній системі координат і Ñ - аффинная зв’язність на Mn, що задається в системі координат набором приватних дифференцирований Ñk.

Уравнением паралельного перенесення зв. рівняння.

=0.

Геодезической у цій связности Ñ зв. гладка крива на мн-зии Mn з аффинной связностью Ñ, якщо (g)=0, де  — векторное полі швидкостей траєкторії g (t).

Теорема. Геодезична у цій связности Ñ задається рівнянням =0.

Теорема. Геодезичними лініями римановой связности на сфері зі стандартним метрикою є всі центральні плоскі перерізу сфери, і лише они.

Теорема. Геодезичними лініями римановой связности на псевдосфере в моделі Пуанкаре зі стандартної метрикою є всі дуги окружностей виходять на абсолют під прямим кутом і лише они.

Теорема. Локально існує одна геодезична крива, через задану точку.

Лагранжианом називають функцію , яка від трьох груп змінних 1£b£n, 1£a£n, 1£i£k.

Стационарной для функціоналу J називається така ф-я ¦, що за будь-яким напрямку h .

Системой функціональних рівнянь Эйлера називається система .

Теорема. Функція ¦ є екстремальній для функціоналу J титт, коли він задовольняє системі ф. ур-й Эйлера.

Теорема. Нехай дана крива g і функціонал . Тоді экстремалями функціоналу E є геодезичні траєкторії g (t), параметризованные параметром, пропорційним натуральному.

Теорема. Функція ¦ є екстремальній для функціоналу J титт, коли він задовольняє системі ф. ур-й Эйлера.

Теорема. Нехай дана крива g і функціонал . Тоді экстремалями функціоналу L є траєкторії отримувані з геодезичних шляхом гладких замін параметрів на них.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.