Лоренцева функція відстані і причинність

Лоренцева функція відстані і причинность

A.Н. Романов, Омський державний університет, кафедра математичного моделирования Цель даної праці полягає у доказі наступного затвердження (далі через cl позначаємо замикання, а ще через int — внутрішність безлічі, інша термінологія узятий з [1, 2]):

Теорема. Различающее простір-час (M, g) є глобально гіперболічним тоді і тільки тоді ми, коли задовольняє умові кінцівки відстані всім .

Здесь через C (M, g) вказано клас лоренцевых метрик на різноманітті M, глобально конформних метриці g: для деякою гладкою функції .

При доказі теореми використовуватимемо таке твердження (див [1], теорема 3.30):

Лемма. Простір-час (M, g) глобально гиперболично тоді й тільки тоді, коли як його сильно причинно і задовольняє умові кінцівки відстані всім .

Доказываемая теорема є модифікацією даної леми: умова сильної причинності ослаблене до умови различаемости простору-часу (M, g).

Так як і будь-яке глобально гиперболическое простір-час завжди є і различающим, то перша частина частина теореми відразу випливає з леми: (M, g) глобально гиперболично различающее і (по лемме) задовольняє умові кінцівки відстані всім .

Таким чином, залишається довести зворотне твердження: умова кінцівки відстані і различаемость (M, g) тягнуть його глобальну гіперболічність. У дійсності ж таки досить довести, що (M, g) задовольняє якомусь умові причинності, що є не слабше умови сильної причинності простору-часу (M, g). Тим самим було ми покажемо сльную причинність, а враховуючи лемму, і глобальну гіперболічність (M, g). Як такого умови виберемо причинную простоту (яка б означала, що простір-час различающее, а хтиве минуле існує і майбутнє будь-який точки — замкнуті підмножини замкнуті в ).

Тем самим доказ теореми зводиться до доведенню наступного затвердження: различаемость простору-часу (M, g) і умова кінцівки відстані для всіх метрик тягнуть за собою замкнутість множин J+p, J-q всім .

Покажем, що багато J+p замкнуто для будь-який точки (замкнутість J-p доводиться аналогічно).

Допустим зворотне: точка Візьмемо в I+q довільну точку r. Покажемо, що багато не порожньо. Так як , то — послідовність точок , сходящаяся до q (відповідність в вихідної топології різноманіття M). Оскільки , а безліч I-r відкрито (див. [1], лема 2.5), то тут для досить великих , т. е.qn<<r. Тоді з співвідношень отримуємо: p<<qn тобто. Отже, маємо: безліч не порожньо.

Получаем: (т.к. ).

Покажем далі, що непорожнє замкнутий в M безліч перестав бути компактним (це можна становити як існування якийсь «викинутої «з M області, у якому «впираються «деякі причинні криві, що йдуть з p у майбутнє або з r до минулого).

Вернемся до розглянутим вище послідовності (можна вважати, що ). Оскільки , то тут для будь-якого існує причинний крива , що йде з p в qn. Продовжимо до непродолжаемой причинної кривою. Будь-яка околиця точки q містить всі крапки qn, починаючи з деякого n. Оскільки , то q є точкою накопичення послідовності причинних непродолжаемых кривих Звідси випливає (см. 1] пропозицію 2.18), що є причинний непродолжаемая крива , що є граничною для послідовності і такі, що Виберемо параметризацию отже і , причому зменшення параметра t кривою відповідає рухатися нею минуле.

Рассмотрим частина кривою , що йде в минуле від точки . Зауважимо, що для будь-який точки виконується співвідношення: . Справді, т.к. -гранична крива послідовності що існує подпоследовательность така, що з будь-який точки кожна її околиця Ua перетинає за винятком кінцевого числа, криві з . Узявши точки rm такі, що.: , одержимо сходящуюся до a послідовність . Якщо виконано ще співвідношення , одержимо, що . У цьому разі включення виконується завжди. У насправді, якщо , це означає, що крива (разом із кривими ) залишила область cl (J+p). Проте з може лише через точку p, бо всі «фокусуються «в p (з їхньої визначенню), а — гранична крива для послідовності . Але такої не може, оскільки це означала б існування відрізка (лежачого на кривою ), поєднує точки p і q і є частиною причинної кривою (-причинна), що суперечить вибору точки .

Таким чином, ми показали, що . Зрозуміло, що виконано також включення (т.к. з , тобто. ) Через війну маємо: . Розглянемо послідовність точок an, де . Якби безліч було компактним, то нескінченна послідовність повинен мати хоча б одну граничну точку. Покажемо, що така точки немає. Припустимо зворотне: нехай існує точка x і подпоследовательность такі, що будь-яка околиця Ux точки x містить всі крапки am, починаючи з деякого m.

Заметим спочатку, що немає точки , яка має наступним властивістю: будь-яка окрестноть точки z повністю містить криву для деякого , оскільки це означало б, що з , тобто. існування в кривою кінцевий точки z, чого не може через те, що непродолжаема.

Следовательно, існує мала околиця Ux точки x така, що крива , входячи у ній, кілька днів обов’язково з неї йде, після чого знову на неї входить (т.к. ), тощо. Побудуємо покриття кривою досить малими околицями її точок. Зазначимо те що, що це криві , за винятком кінцевого числа, проходять всередині будь-який околиці кривою , виходячи з неї (хіба що для залишають її, коли «закінчується »). Тобто «повторюють «рух .

Таким чином, криві нескінченне число раз залишають Ux і повертаються до неї, слідуючи за (прилягаючи до ній як завгодно близько). У цьому криві що неспроможні пройти через точку p, бо їх «супроводжує «крива , що у цьому випадку як і мусила пройти через p, як гранична для послідовності , чого, як згадувалося, не може.

В результаті отримали, що якому кінцевого значення параметра , тобто. криві не проходять через точку p. Неможливий також випадок, коли при , оскільки це означала б наявність в кривих кінцевий точки, чого не може, оскільки -непродолжаемые криві. Але з вибору криві виходять із точки p. Отже, ми маємо протиріччя, що означає, що зараз припущення щодо існуванні граничною точки у безкінечною послідовності не так. А зто означає, що багато некомпактно.

Пусть далі h — допоміжна (геодезически) повна позитивно певна метрика на M, а — риманова функція відстані, индуцированная на M метрикою h. По теоремі Хопфа-Ринова для римановых різноманіть з повноти (M, d0) слід, що це підмножини M, обмежені щодо d0, мають компактні замикання.

Следовательно, речей, що багато некомпактно, укладаємо, що багато необмежено (щодо d0). Звідси випливає, що кожного n можна вибрати отже d0(p, pn)<n. Візьмемо точки і , пов’язані умовою: , і покажемо, що є конформний множник такий, що .

Так як , тобто. існує спрямована у майбутнє времениподобная крива, що йде з в . Виберемо параметризацию кривою отже . Означимо через гладку функцію, що має такими властивостями: , якщо й довжину в метриці більше n: . Визначимо (коректність цього визначення випливає з те, що кожному за найбільше лише з сомножителей різниться від одиниці). Отримуємо:

.

.

Тогда з співвідношень й протилежного нерівності трикутника слід:

.

(первое складова більше n, друге більше нуля).

Так як і нерівність справедливо всім n>1, то отримуємо таке співвідношення: .

Таким чином, знайдено лоренцева метрика , глобально конформная метриці g, у виконується умова кінцівки відстані, що суперечить вихідному умові теореми. Це означає, що зараз припущення щодо незамкнутости безлічі J+p не так. Отже, простір-час (M, g) є причинно простим, отже, і дуже причинним, що з вимогою кінцівки відстані всім означає (по лемме) його глобальну гіперболічність.

В висновок зауважимо, що умови различаемости (M, g) і кінцівки відстані всім тягнуть також безперервність лоренцевой функції відстані у будь-якій метриці , оскільки глобальна гіперболічність залишається при всіх (конформні перетворення не змінюють причинную структуру), а будь-якому глобально гіперболічному просторі-часі лоренцева функція відстані безупинна ([1], слідство 3.7).

Список литературы

Бим Дж., Ерліх П. Глобальна лоренцева геометрія. M.: Світ, 1985.

Пенроуз Р. Структура простору-часу. М.: Світ, 1972.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.