Методы квантування систем з нелінійної геометрією фазового простору

Методы квантування систем з нелінійної геометрією фазового пространства

Шарапов Олексій Анатольевич Последние кілька років мої свої інтереси пов’язувалися переважно з недостатнім розвитком загальних методів квантування систем з нелінійної геометрією фазового простору й додатком цих методів до різним завданням теоретичної фізики. Річ у тім, що всі цікаві моделі фундаментальних взаємодій (включаючи Стандартну модель, Эйнштейновскую гравітацію, теорію струн тощо.) — це теорії з каліброваної симетрією чи, ширшому контексті, гамильтоновыми системами зі зв’язками. Останнє означає, що ефективна динаміка у тих моделях розвивається в усьому фазовому просторі, а тільки деяких поверхнях, оснащених думок нелінійних дужками Пуассона. Нелінійний скобок Пуассона, і навіть нетривіальність глобальної геометрії ефективного фазового простору створюють серйозні труднощі при побудові послідовного квантовомеханического описи таких моделей і вимагають залучення дуже витончених математичних методів, не які входили до цього часу стандартний набір інструментів теоретичної физики.

С з іншого боку, дослідження, у цій галузі теоретичної фізики породили нові й конструкції, які значне вплив в розвитку математичної думки. Кілька спрощуючи, можна сказати, робота нашої наукової групи була на «глобалізацію «методів БРСТ-квантования (найбільш розробленої схеми квантування калібрувальних теорій загального виду) та його «синтез «з методами деформаційного квантування, які отримали велике розвиток у математиці до самого останнє время.

Следует відзначити, що додаток методів деформаційного квантування до теоретико-полевым моделям призводить до необхідності вирішити низку специфічних питань, виходять далеко за межі суто формальної математичної процедури. Наприклад, наявність квантових расходимостей теоретично поля робить нетривіальним питання про вибір правильної схеми квантування навіть полів із простої геометрією. Нині прийнято вважати, що послідовне квантування теоретико-полевых моделей повинна грунтуватися виставі операторів рождения-уничтожения, тобто виковском символі для польових операторів. До жалю, більшість фізичних моделей таке уявлення відомо лише лише на рівні вільних полів, а внесок взаємодії враховується пертурбативно. Попри відомі досягнення пертурбативной теорії поля, таке розкладання на вільну частина, й взаємодія який завжди адекватно фізичної ситуації, оскільки може руйнувати фундаментальні симетрії вихідної класичної моделі. Важливими прикладами тут можуть бути нелинейные сигма-модели, зокрема струни у просторі ненульовий кривизны.

Мы розвинули загальний геометричний підхід побудувати виковского квантування на загальних симплектических многообразиях, оснащених виковской поляризацією. Ми також вивчили геометрію таких різноманіть і в цьому явні когомологические перешкоди до еквівалентності вейлевского і виковского квантований. У частковості, для випадку кэлеровых різноманіть ми змогли показати, що обидві згаданих типу квантування еквівалентні тоді й тільки тоді, коли відповідне кэлерово розмаїття є різноманіттям Калаби-Яу. У наступної роботі ми узагальнили цю схему квантування у разі присутності теорії додаткових зв’язків другого рода.

В час концепція деформаційного квантування розглядається як як ефективний інструмент квантування вже сформульованих фізичних моделей, а й як засіб побудови нових. Як останніх прикладів що така можна згадати калібровані моделі на некоммутативных просторах і теорії вищих спинов. Тут теорія деформаційного квантування тісно зближується з ідеями некоммутативной геометрії, будучи, сутнісно, основним методом конструювання некоммутативных просторів з урахуванням коммутативных. У руслі розвитку цих ідей ми запропонували модель бозонной струни з некоммутативной геометрією світового аркуша. Ключове спостереження, лежаче основу цієї конструкції, полягала у цьому, що це пререквизиты, необхідних побудови деформації (симплектическая структура і зв’язність), вже зберігають у вихідної теорії у вигляді метрики Полякова, яка, в такий спосіб, визначає геометрію світової поверхні струни і його деформацію. Інша цікава особливість цієї моделі - чудова аналогія між рівняннями руху некоммутативной струни і рівняннями Янга-Миллса. Використання цієї аналогії дало змогу знайти й описати широкий клас точних рішень, є струнними аналогами инстантонов Янга-Миллса. Також засвідчили, що наявність некоммутативности еквівалентно включенню взаємодії бозонной струни із нескінченним мультиплетом фонових полів, підлеглих умовам W-симметрии.

Как правило, у межах гамильтоновой механіки нелинейные дужки Пуассона виникають не власними силами, а асоціюються з тими чи інші алгебраическими/геометрическими структурами, приміром, із групою симетрії фазового простору. Великий запас нелінійних скобок Пуассона, що з додатковими симетріями, доставляють интегрируемые системи, починаючи з хрестоматійного дзиги Эйлера і до групами Пуассона-Ли «одягають перетворень «солитонных рівнянь. У цьому йдеться про побудові спеціальних типів квантування, узгоджених з тими додатковими структурами. Ми запропонували ковариантный метод квантування скобок Пуассона, асоційованих з класичним рівнянням Янга-Бакстера, є деяким далекосяжних узагальненням квантування Федосова.

Оказалось, що це схема квантування допускає суто алгебраїчну переформулювання і можна використовувати, наприклад, для побудови квантових груп, і би-алгебр Лі. Зокрема, запропоноване у цій роботі *-твір вирішує загалом завдання про перебування універсальної деформационной формули, відомої раніше лише для дуже спеціальних класів алгебр Лі. Надалі з урахуванням БРСТ-теории ми узагальнили схему квантування у разі (нерегулярних) скобок Пуассона, асоційованих з симплектическими алгеброидами Лі. Спроба поширити даний метод на довільні пуассоновы різноманіття розкрила низку інших дифференциально-геометрических конструкцій, очевидно невідомих до цього часу математиці, узагальнюючих поняття квазисимплектического різноманіття у разі n-алгеброидов Лі (алгеброидов з вищими нетривіальними гомотопиями). Квантування алгебри можна побачити на таких многообразиях видається дуже цікавим і багатообіцяючим напрямом исследований.

Еще один певний напрямок моєї наукової діяльності, неможливо що з попереднім, — дослідження проблеми реакції випромінювання та перенормировки у «класичній теорії половіючі жита із сингулярними джерелами. У найпростішої постановці це завдання йдеться про описі ефективної динаміки точечної заряду з урахуванням радіаційного тертя (при нерівномірному русі, як відомо, будь-який заряд із необхідністю випромінює і, отже, втрачає енергію). Хоча для масивною зарядженої частки, що просувалася в чотиривимірному просторі-часі, це завдання була вирішена ще Дираком (відповідне рівняння називається тепер рівнянням Лоренца-Дирака), безмассовый випадок, і навіть випадки вищих вимірів залишалися не вивченими аж до останнього часу. Ми побудували відповідні узагальнення рівняння Лоренца-Дирака і навіть виявили нові цікаві моменти. Наприклад, ефективні рівняння руху для безмассовой частки мають вищий порядок, ніж для масивною, а облік самодії частки в просторі більшої кількості вимірів не зводиться до перенормировке її маси, але вимагає залучення додаткових контр-членов, які мають аналогів в вихідної теорії. Остання обставина вказує, зокрема, на обмеженість традиційного ототожнення проблеми самодії точкової частки з проблемою «власної маси » .

Исследование ефективних рівнянь руху для безмассовой частки показало, що облік реакції випромінювання призводить до нестабільності класичної динаміки в межі вимикання взаємодії. Це може теоретично пояснити відсутність експериментальних даних про існування таких частинок у природі. Надалі ми використали цей підхід для побудови ефективного дії і рівнянь руху для протяжних релятивістських об'єктів (p-бран), котрі взаємодіють із полями (p+1)-форм. Було показано, що з регулярному вкладанні світової поверхні брани в объемлющее простір все виникаючі расходимости є лагранжевыми і може бути скорочені з допомогою запровадження кінцевого числа контр-членов. З іншого боку, ми знайшли спеціальні типи неминимального взаємодії, котрим ефективні рівняння руху р-браны виявляються локальними і лагранжевыми. Надалі передбачається поширити ці результати у разі взаємодії р-браны з динамічним тлом гравітації, скалярными крисами і ін. Ми вважаємо, що накладення умови взаємного скорочення расходимостей може бути ефективним критерієм відбору фундаментальних моделей взаимодействия.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.