Вища математика

Высшая математика

Основные теореми і определения

Определение. Сума членів безкінечною числової послідовності називається числовим рядом.

.

При цьому числа називатимемо членами низки, а un — загальним членом ряда.

Определение. Суми , n = 1, 2, … називаються приватними (частковими) сумами ряда.

Таким чином, можливо розглядати послідовності часткових сум низки S1, S2, …, Sn, …

Определение. Ряд називається сходящимся, якщо сходиться послідовність його приватних сум. Сума сходящегося низки — межа послідовності його приватних сумм.

.

Определение. Якщо послідовність приватних сум низки розходиться, тобто. немає краю, чи має нескінченний межа, то ряд називається розбіжним і його ставлять в відповідність ніякої суммы.

Свойства рядов.

1) Відповідність чи расходимость низки не порушиться якщо змінити, відкинути чи додати кінцеве членів ряда.

2) Розглянемо два низки і , де З — постійне число.

Теорема. Якщо ряд сходиться та її сума дорівнює P. S, то ряд теж сходиться, та її сума дорівнює СS. (З ¹ 0).

3) Розглянемо два низки і . Сумою чи різницею цих рядів називатиметься ряд , де елементи одержані додаванням (вирахування) вихідних елементів з номерами.

Теорема. Якщо ряди і сходяться та його суми рівні відповідно P. S і p. s, то ряд теж сходиться та її сума дорівнює P. S + s.

.

Разность двох збіжних рядів також сходящимся рядом.

Сумма сходящегося і розбіжного рядів буде розбіжним рядом.

О сумі двох розбіжних рядів загального затвердження зробити нельзя.

При вивченні рядів вирішують в основному два завдання: дослідження на відповідність і перебування суми ряда.

Критерий Коши.

(необходимые і достатні умови збіжності ряда) Для здобуття права послідовність була сходящейся, необхідне й досить, щоб нічого для будь-якого був такий номер N, що з n > N й будь-якому p > 0, де р — ціла кількість, виконувалося б неравенство:

.

1.3 Визначення. Ряд називається рівномірно сходящимся на відрізку [a, b], якщо рівномірно говорять про цьому відрізку послідовність приватних сум цього ряда.

Теорема. (Критерій Коші рівномірної збіжності ряда) Для рівномірної збіжності низки необхідне й досить, щоб нічого для будь-якого числа e>0 був такий номер N (e), що з n>N і будь-якого цілому p>0 неравенство.

.

выполнялось для всіх x на відрізку [a, b].

Теорема. (Ознака рівномірної збіжності Вейерштрасса).

(Карл Теодор Вільгельм Вейерштрасс (1815 — 1897) — німецький математик) Ряд сходиться рівномірно до того ж на абсолютно відрізку [a, b], якщо модулі його членів тому ж відрізку вищими за відповідних членів сходящегося числового низки з позитивними членами :

.

т.е. має місце неравенство:

.

Еще кажуть, у цьому разі функціональний ряд мажорируется числовим поруч .

ряд називається позитивним, якщо Un?0, всім n? N.

Интегральный ознака Коши.

Если j (х) — безперервна позитивна функція, убутна на проміжку [1;¥), то ряд j (1) + j (2) + …+ j (n) + … = і несобственный інтеграл однакові себто сходимости.

Пример. Ряд сходиться при a>1 і розходиться a£1 т.к. відповідний несобственный інтеграл сходиться при a>1 і розходиться a£1. Ряд називається общегармоническим рядом.

Следствие. Якщо f (x) і j (х) — безперервні функції на інтервалі (a, b] і то інтеграли і поводяться однаково себто сходимости.

Степенные ряды.

Определение. Статечним поруч називається ряд вида.

.

Для дослідження на відповідність статечних рядів зручно використовувати ознака Даламбера.

Пример. Досліджувати на відповідність ряд .

Применяем ознака Даламбера:

.

Получаем, що це ряд сходиться при і розходиться при .

Теперь визначимо відповідність в граничних точках 1 і -1.

При x = 1: ряд сходиться за ознакою Лейбніца (див. Ознака Лейбніца.).

При x = -1: ряд розходиться (гармонійний ряд).

1 теорема Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 — 1829) — норвезький математик) Теорема. Якщо статечної ряд сходиться при x = x1, він сходиться до того ж абсолютно всім .

Доказательство. За умовою теореми, оскільки членів ряду обмежені, то.

.

где kдеяке постійне число. Справедливо таке неравенство:

.

Из цього нерівності видно, що при x0 існує число N, таке, що з n>N і будь-якого цілому p>0 вірно неравенство:

.

По властивості абсолютних величин:

.

.

То уже є щодо критерію Коші з збіжності низки (2) слід відповідність низки (1).

Определение. Ряд називається абсолютно сходящимся, якщо сходиться ряд .

Очевидно, що з знакопостоянных рядів поняття збіжності й абсолютної збіжності совпадают.

Определение. Ряд називається умовно сходящимся, коли він сходиться, а ряд расходится.

Свойства абсолютно збіжних рядов.

1) Теорему. Для абсолютної збіжності низки необхідне й досить, що його можна було явити у вигляді різниці двох збіжних рядів з неотрицательными членами.

Следствие. Умовно сходитися ряд є різницею двох розбіжних рядів з неотрицательными які прагнуть нанівець членами.

2) У сходящемся ряді будь-яка угруповання членів низки, не яка зраджує їх близько, зберігає відповідність і величину ряда.

3) Якщо ряд сходиться абсолютно, то ряд, отриманий із нього будь-який перестановкою членів, теж зовсім сходиться і має таку ж сумму.

Перестановкой членів умовно сходящегося низки можна отримати роботу умовно сходитися ряд, має будь-яку наперед задану суму, і навіть розходиться ряд.

4) Теорему. При будь-який угрупованню членів абсолютно сходящегося низки (у своїй число груп то, можливо як кінцевим, і нескінченним і кількість членів групи може бути як кінцевим, і нескінченним) виходить сходитися ряд, сума якого дорівнює сумі вихідного ряда.

5) Якщо ряди і сходяться абсолютно і їх суми рівні відповідно P. S і p. s, то ряд, складений із всіх творів виду взятих у будь-якому порядку, також сходиться абсолютно та її сума дорівнює Sxs — твору сум перемножаемых рядов.

Если ж виробляти перемножування умовно збіжних рядів, то результаті можна було одержати розходиться ряд.

Тригонометрический ряд.

Определение. Тригонометрическим поруч називається ряд вида:

.

или, коротше, .

Действительные числа ai, bi називаються коефіцієнтами тригонометричного ряда.

Если ряд що був вище типу сходиться, його сума є періодичну функцію з періодом 2p, т.к. функції sinnx і cosnx також періодичні функції з періодом 2p.

Пусть тригонометричний ряд рівномірно говорять про відрізку [-p; p], отже, на кожному відрізку з періодичності, та її сума дорівнює f (x).

Определим коефіцієнти цього ряда.

Для вирішення цього завдання скористаємося такими равенствами:

.

.

.

Справедливость цих рівностей випливає з застосування до подынтегральному вираженню тригонометрических формул. Докладніше див. Інтегрування тригонометрических функцій.

Т.к. функція f (x) безупинна на відрізку [-p; p], що існує інтеграл.

.

Такий результат виходить внаслідок те, що .

Получаем: .

Далее множимо вираз розкладання функції до кількох на cosnx і інтегруємо в межах відp до p.

.

Отсюда отримуємо: .

Аналогично множимо вираз розкладання функції до кількох на sinnx і інтегруємо в межах відp до p.

Получаем: .

Выражение для коефіцієнта а0 є приватною випадком висловлення коефіцієнтів an.

Отже, якщо функція f (x) — будь-яка періодична функція періоду 2p, безперервна на відрізку [-p; p] чи має у цьому відрізку кінцеве число точок розриву першого роду, то коэффициенты.

.

.

существуют і називаються коефіцієнтами Фур'є для функції f (x).

Определение. Поруч Фур'є для функції f (x) називається тригонометричний ряд, коефіцієнти якого є коефіцієнтами Фур'є. Якщо ряд Фур'є функції f (x) сходиться до неї у всіх її точках безперервності, то кажуть, що функція f (x) розкладається до кількох Фурье.

Функциональные ряды.

Определение. Приватними (частковими) сумами функціонального низки називаються функції .

Определение. Функціональний ряд називається сходящимся у точці (х=х0), тоді як цієї точці сходиться послідовність його приватних сум. Межа послідовності називається сумою низки у точці х0.

Определение. Сукупність усіх значень x, котрим сходиться ряд називається областю збіжності ряда.

Определение. Ряд називається рівномірно сходящимся на відрізку [a, b], якщо рівномірно говорять про цьому відрізку послідовність приватних сум цього ряда.

Теорема. (Критерій Коші рівномірної збіжності ряда) Для рівномірної збіжності низки необхідне й досить, щоб нічого для будь-якого числа e>0 був такий номер N (e), що з n>N і будь-якого цілому p>0 неравенство.

.

выполнялось для всіх x на відрізку [a, b].

Определение. Поруч Фур'є для функції f (x) називається тригонометричний ряд, коефіцієнти якого є коефіцієнтами Фур'є. Якщо ряд Фур'є функції f (x) сходиться до неї у всіх її точках безперервності, то кажуть, що функція f (x) розкладається до кількох Фурье.

Достаточные ознаки разложимости до кількох Фурье.

Теорема. (Теорему Дирихле) Якщо функція f (x) має період 2p і відрізку.

[-p;p] безупинна чи має кінцеве число точок розриву першого роду, і відрізок.

[-p;p] може бути розбитий на кінцеве число відрізків отже всередині кожної їх функція f (x) монотонна, то ряд Фур'є для функції f (x) сходиться попри всі значеннях x, причому у точках безперервності функції f (x) його сума дорівнює f (x), а точках розриву його сума дорівнює , тобто. середньому арифметичному граничних значень зліва і справа. У цьому ряд Фур'є функції f (x) сходиться рівномірно будь-якого відрізку, який належить інтервалу безперервності функції f (x).

Функция f (x), на яку виконуються умови теореми Дирихле називається кусочно — монотонної на відрізку [-p;p].

Теорема. Якщо функція f (x) має період 2p, ще, f (x) і його похідна f'(x) — безперервні функції на відрізку [-p;p] або мають кінцеве число точок розриву першого роду у цьому відрізку, то ряд Фур'є функції f (x) сходиться попри всі значеннях x, причому у точках безперервності його сума дорівнює f (x), а точках розриву вона дорівнює . У цьому ряд Фур'є функції f (x) сходиться рівномірно будь-якого відрізку, який належить інтервалу безперервності функції f (x).

Функция, яка задовольнить умовам цієї теореми, називається кусочно — гладкою на відрізку [-p;p].

Разложение в ряд Фур'є неперіодичної функции.

Задача розкладання неперіодичної функції до кількох Фур'є у принципі не відрізняється від розкладання в ряд Фур'є періодичної функции.

Допустим, функція f (x) задана на відрізку [a, b] і є у цьому відрізку кусочно — монотонної. Розглянемо довільну періодичну кусочно — монотонну функцію f1(x) з періодом 2 Т ³ ïb-aï, збігається з функцією f (x) на відрізку [a, b].

y.

f (x).

a — 2T a a b a+2T a + 4T x.

Таким чином, функція f (x) була доповнена. Тепер функція f1(x) розкладається до кількох Фур'є. Сума цього самого ряду переважають у всіх точках відрізка [a, b] збігаються з функцією f (x), тобто. вважатимуться, що функція f (x) розкладена до кількох Фур'є на відрізку [a, b].

Таким чином, якщо функція f (x) задана на відрізку, рівному 2p нічим не відрізняється від розкладання до кількох періодичної функції. Якщо ж відрізок, у якому задана функція, менше, ніж 2p, то функція триває на інтервал (b, a + 2p) отже умови разложимости до кількох Фур'є сохранялись.

Вообще кажучи, у разі продовження заданої функції на відрізок (інтервал) довжиною 2p можна виготовити безліччю способів, тому суми одержані рядів будуть різні, та вони будуть збігатися з заданої функцією f (x) на відрізку [a, b].

Свойства рівномірно збіжних рядов.

1) Теорему безперервністю суми ряда.

Если членів ряду  — безперервні на відрізку [a, b] функції і кілька сходиться рівномірно, те й його сума S (x) є безперервна функція на відрізку [a, b].

2) Теорему про почленном інтегруванні ряда.

Равномерно сходитися на відрізку [a, b] ряду зустрічей за безперервними членами можна почленно інтегрувати у цьому відрізку, тобто. ряд, складений із з дитинства інтегралів від його членів по відтинку [a, b], сходиться до інтегралу від суми низки у цій отрезку.

.

3) Теорему про почленном дифференцировании ряда.

Если членів ряду сходящегося на відрізку [a, b] є безперервні функції, мають безперервні похідні, і кілька, складений із цих похідних говорять про цьому відрізку рівномірно, те й даний ряд сходиться рівномірно і можна диференціювати почленно.

.

На основі те, що сума низки є деякою функцією від перемінної x, можна робити операцію уявлення який — або функції у вигляді ряду (розкладання функції до кількох), що має широке застосування при інтегруванні, дифференцировании та інших діях із функциями.

На практиці часто застосовується розкладання функцій в статечної ряд Теорема. (Ознака рівномірної збіжності Вейерштрасса).

(Карл Теодор Вільгельм Вейерштрасс (1815 — 1897) — німецький математик) Ряд сходиться рівномірно до того ж на абсолютно відрізку [a, b], якщо модулі його членів тому ж відрізку вищими за відповідних членів сходящегося числового низки з позитивними членами :

.

т.е. має місце неравенство:

.

Еще кажуть, у цьому разі функціональний ряд мажорируется числовим поруч .

Ряды Фур'є для функцій будь-якого периода.

Ряд Фур'є для функції f (x) періоду Т = 2l, безупинної або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [-l, l] має вид:

.

.

Для четной функції довільного періоду розкладання до кількох Фур'є має вид:

.

Для нечетной функции:

.

Теорема. (Теорему Дирихле) Якщо функція f (x) має період 2p і відрізку.

[-p;p] безупинна чи має кінцеве число точок розриву першого роду, і відрізок.

[-p;p] може бути розбитий на кінцеве число відрізків отже усередині кожного їх функція f (x) монотонна, то ряд Фур'є для функції f (x) сходиться попри всі значеннях x, причому у точках безперервності функції f (x) його сума дорівнює f (x), а точках розриву його сума дорівнює , тобто. середньому арифметичному граничних значень зліва і справа. У цьому ряд Фур'є функції f (x) сходиться рівномірно будь-якого відрізку, який належить інтервалу безперервності функції f (x).

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використано матеріали із російського сайту internet.