Ортогональные полиномы і криві розподілу ймовірностей

Ортогональные полиномы і криві розподілу вероятностей

Карпова Наталія Анатольевна Санкт-Петербургский державний университет Факультет прикладної математики — процесів управления Кафедра математичного моделювання енергетичних систем Санкт Петербург.

Введение

.

Математическая статистика є наукою, що вивчає співвідношення, настільки глибоко проникаючі в суть речей, що можна зустріти за різних обставин. Результати досліджень, отримані з допомогою апарату математичної статистики, використовуються в різних галузях науку й техніки, як-от біологія, медицина, анатомія, геологія, екологія, економіка, і т.д.

Данная дипломна робота присвячена розгляду двох основних цілей математичної статистики:

получению кривою розподілу ймовірностей зі свого выборке;

нахождению залежності між двома випадковими величинами, заданими своїми выборками.

Для рішення першого завдання використовуються різні методи. У цьому роботі розглянутий метод Карла Пірсона, представника англійської школи статистики. Їм було отримано диференціальний уравнение.

,.

а як і запроваджено критерій æ (каппа Пірсона), з допомогою якого Пірсон класифікував вирішення цього диференціального рівняння і представив в вигляді дванадцяти типов.

Позже у теоретичних дослідженнях Колмогоров А. М. і Марков А. А. довели, що кожен закон розподілу то, можливо записаний у вигляді однієї з дванадцяти типів кривих Пірсона, для вирішення даної задачі використовується метод Пірсона перебування кривою розподілу.

Для розв’язання другої завдання використовується метод П. Л. Чебишева, творця Санкт — Петербурзької математичної школи. У статистиці ім'я знаменитого російського математика П. Л. Чебишева (1821−1894) відомо переважно в так званому нерівності Чебишева, що він запропонував задля розподілення ймовірностей, і який діє нічого для будь-якого статистичного розподілу численностей.

Однако останнім часом в статистиці все великої ваги набувають ортогональные полиномы Чебишева, які мають особливе значення щодо множинної і криволінійної регресії і за обчисленні коефіцієнтів обобщённой функції нормального розподілу вероятностей.

Чебышев запропонував загальну интерполяционную формулу, коли він можливо интерполирование в різноманітних випадках. Ця интерполяционная формула задовольняє умовам методу найменших квадратів і виражена з допомогою його ортогональних полиномов. Загальна интерполяционная формула, чи, інакше ряд Чебишева, запропонований Чебышевым в 1855 року. Вона має вигляд.

.

Таким чином у дипломної роботі розглядаються два метода:

метод Пірсона перебування кривих розподілу вероятностей, метод Чебишева отримання ортогональних полиномов, которые було покладено основою узагальненого методу Грама — Шарлье перебування кривою розподілу вероятностей.

Глава 1. Система кривих Пирсона.

В даної главі поставлено завдання перебування закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді. Для її вирішення розглядається підхід До. Пірсона, що є видатним представником англійської статистичної школы.

§ 1. Диференціальний рівняння Пирсона.

Рассмотрим випадкову величину, задану своєї вибіркою , в такий спосіб, можемо записати  — статистичної розподіл. Ставиться завдання перебування закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді.

Метод Пірсона у тому, що ми розглядаємо диференціальний рівняння Пирсона:

(1).

и досліджуємо, які рішення можна було одержати що за різних значеннях параметрів рівняння (1).

Общий інтеграл цього рівняння уявімо в виде:

.

где.

.

Значение цього невизначеного інтеграла залежить від коренів уравнения.

(2),.

следовательно, з його дискриминанта.

.

который написати як.

,.

вводячи параметр

æ.

Или інакше, величину æ можна в виде:

æ,.

где величини представимы через центральні моменти статистичних розподілів к-го порядку, які визначаються за такою формулою.

,.

де есть.

.

Тогда.

, .

Через величини можна уявити і величини так [5]:

.

Величина æ називається критерієм Пірсона (каппа Пірсона) й різні значення її дають нам такі висновки про коріння уравнения:

А. Якщо æ, то і рівняння (1) має речові коріння різних знаков.

В. Якщо 0< æ1, то і рівняння (1) має речові коріння одного знака.

Соответственно цим випадків Пірсон розрізняє три головні типи своїх кривих, що він назвав відповідно типами I, IV і VI. Потім æ може рівнятися , що дозволяє перехідні типи кривих. Нарешті, приєднуючи деякі додаткові умови, ми можемо збільшити кількість перехідних типів. Усього система кривих Пірсона укладає 12 типів і нормальну кривую.

В своїх розробках Колмогоров А. М. і Марков А. А. довели, що кожен закон розподілу то, можливо записаний у вигляді однієї з дванадцяти типів кривих Пірсона, для виконання завдання ідентифікації використовується метод Пірсона.

§ 2. Основні типи кривих Пирсона.

В цьому параграфі розглядатимуться основні типи кривих розподілу ймовірностей, запропоновані і класифіковані Пирсоном.

Тип I.

Нехай æ