К рішенню нелінійних варіаційних задач

Казанский державний педагогічний университет.

Дипломна работа.

«До рішення нелінійних варіаційних задач».

виконав студент 151 групи математичного факультета.

Салахутдинов М.Ш.

Наукові руководители:

КФМН, доцент.

Сайфуллин Еге. Г.

У розділі ст. Викладач Хисматуллина Н.Г.

Казань -1999.

Дипломна робота у цілому присвячена методам рішення екстремальних завдань. Причому навіть більш докладно викладено ті класи екстремальних завдань, які вивчаються ні з шкільному курсі, ні з педвузовском курсі математики. Проте стрижневу ідею розв’язання лежить на жіночих основі побудови математичних моделей економічних завдань та його решения.

У першій частині дипломної роботи розглянуті найпростіші завдання на пошук найбільшого і найменшого значення, котрі наважуються елементарним способом — з урахуванням відомих нерівностей: середнє арифметичне незгірш від середнього геометричного. Що стосується рівності сума приймає мінімальне значення, а твір сягає максимального. Розглянуто екстремальні значення квадратного трехчлена, і навіть рішення екстремальних завдань із застосуванням похідною. Далі розглядаються засадничі поняття про завданнях математичного програмування: транспортна завдання лінійного програмування; завдання про раціоні; завдання про оптимальному використанні сировини; розглянуті завдання нелінійного програмування (випадок нелінійної цільової функції; випадок нелінійної цільової функції і нелінійної системи ограничений).

В другій частині наводяться засадничі поняття про крайових завданнях, приклади аналітичного рішення крайових завдань, наближений метод рішення. Наводиться сходитися алгоритм для лінійних крайових завдань. За підсумками цього алгоритму з допомогою ЕОМ вирішені цикл різних крайових завдань; чисельні результати наведені у приложениях.

Третя частина присвячена «одномірною вариационным завданням і методам їх решения.

Перевага даної роботи у методичному плані у тому, що вариационная завдання, у приватному разі, можуть звести до звичайної завданню на пошук экстремума функції однієї перемінної, тож дозволяє запровадити поняття варіаційної завдання вже у шкільному курсі в класах з поглибленим вивченнямматематики, як клас екстремальних задач.

Далі у роботі наводиться висновок рівнянь Эйлера-Лагранжа. На основі розглянуті приклади аналітичного рішення варіаційної завдання. Отримано алгоритм рішення лінійних варіаційних завдань з урахуванням методу кінцевих разностей, яка вирішується аналітичними прийомами. За підсумками цього алгоритму на ЕОМ вирішені ряд завдань, чисельні результати наведені у приложениях.

Інший метод рішення варіаційних завдань — метод Ритца вводиться на найпростіших прикладах, та був узагальнюється. Оскільки оцінка точності методу Ритца перестав бути тривіальної завданням, то з порівняльного аналізу про чисельні результатів дуже актуален.

Рішення розглянутих завдань методом Ритца та інші прийомами, з порівняльного аналізу результатів показує хорошу достовірність цього методу вже у першому приближении.

Наприкінці наводиться одна нова модифікація методу Ритца, при допомоги якої вариационная завдання зводиться до досить простий завданню відшукання экстремума функції однієї перемінної. У цьому процедура перебування кореня нелінійного рівняння реалізовано лише наближеними методами. Порівняльний аналіз про чисельні результатів показує надійність методу. Основна ця цінність такого модифікації у вирішенні істотно нелінійних задач.

Наприкінці частині цієї роботи наводиться ідея узагальнення розглянутих завдань на двомірний випадок і методом Ритца вирішується двовимірна задача.

I. ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗАДАЧАХ.

1.1. Визначення экстремума елементарним способом.

Багато навчальних посібниках для 7-х і 8-х класів зустрічаються нерівності, котрі пов’язують середнє арифметичне і геометричне: [pic].

^ ^ С-г I.

де середнє арифметичне більше або одно середнього геометричного, що очевидно:

°^-^^Р-=? а^г 2.1/ЙГ"; > ({& «)^({Р)^ г^1аГ^ {fS-fT).