Способ визначення живучості зв'язку (ймовірності связности)

СПОСІБ ВИЗНАЧЕННЯ ЖИВУЧЕСТИ.

Визначенню живучості зв’язку (ймовірності связности) між двома конкретними вузлами мережі і і j присвячений цілу низку праць [1−5]. Проте розрахунок точного призначення пов’язане з великими обчислювальними труднощами. Становить інтерес знайти найпростіший спосіб визначення ймовірності связности мережі, який допоміг би оперативно і вручну проводитися стадії проектування оцінку різних варіантів построения.

Розглянемо мережу тієї ж мостиковой структури, що у [1] (мал.1). Для простоти будемо думати ймовірності справного функціонування всіх ребер мережі однаковими і рівними р, а несправного функціонування — рівними q=1-p. Для оцінки живучості скористаємося методом прямого перебору станів елементів мережі зв’язку [5]. З біномного закону ймовірність перебування мережі зв’язку може, коли і будь-яких ребер мережі отказали,[pic], де [pic]- биноминальный коефіцієнт; N — число ребер сети.

Наприклад, для мережі, зображеною на рис. 1, живучість зв’язку р13 залежить від следующей совокупности незалежних подій: справного стану мережі загалом — ймовірність цієї події дорівнює р3; ушкодження від будь-якого ребра мережі - ймовірність [pic] одночасного ушкодження будь-яких двох ребер мережі, за винятком двох випадків, коли обидва ребра підходять до вузлу 1 або до вузлу 3 — вероятность[pic] одночасного ушкодження трьох ребер мережі, підхожих до вузлу 2 чи 4 — ймовірність 2р2q3.

Підсумовуючи все ймовірності незалежних подій, отримуємо дані вираз :

[pic] що цілком збігається отриманими результатами в [1]. Аналагично ж для решти пар вузлів мережі рис. № 1.

[pic].

[pic] З аналізу видно, что.

[pic].

Пов’язаної мережею є мережу, у якій кожній із вузлів з'єднаний із іншими вузлами мережі. Можливість зв’язаності мережі рис. № 1.

[pic] оскільки ця мережа допускає все одиночні ушкодження ребер і вісім подвійних ушкоджень ребер. Можливість связности мережі менше, або дорівнює живучості зв’язок між будь-який парою вузлів мережі, у разі рс2).

Наприклад для шестикутника (n=6) без резервування зв’язків можна побудувати чотири різних графа з d=2, 3, 4, 5. Ймовірності связности цих графів такими висловлюваннями: При d=2 (рис. 3, а).

[pic] (5) при d=3 (рис. 3, б).

[pic] (6) при d=4 (рис. 3, в).

[pic] (7).

При n=8 можна побудувати шість різних графів з d=2…7; ймовірність связности цих графів визначиться такими висловлюваннями: d=2 (рис. 4, а).

[pic] (8) d=3 (рис. 4, б).

[pic] (9) d=4 (рис. 4, в).

[pic](10).

Розрахункові формули для рс при d=5 і шість через громіздкість не приводятся.

На рис 5 і шість представлені залежності ймовірності связности мережі з n=6, 8 відповідно що за різних d (суцільні лінії), створені за формулам (5) — (10). З малюнків видно, що передвиборне збільшення ймовірності связности мережі зі збільшенням d за незмінної p пояснюється лише тим, що з збільшенням d зростає розгалуженість мережі связи.

На жаль, ловольно важко давалися аналітичне вираз для ймовірності связности мережі рассматренного сімейство графів що за різних d і n, крім полносвязных мереж з d = n — 1 [см.выражение (1) — (4)]. У цій целесобразно визначати верхню груницу ймовірності связности графів. Якщо граф зв’язний, у ньому може бути ізольованих вершин. І тут кожної вершині мусить бути інциденту по крайнього заходу одна ветвь.

Нехай Ai — подія, коли існує неушкоджених гілок, инцидентных вершині і, p (Ai) — ймовірність цієї події; 1 — p (Ai) — ймовірність додаткового події, коли є по крайнього заходу одна ціла гілка, инцидентная вершині і, Тому те, що в усіх вершин уже є щодо вкрай мері одна ціла гілка, тобто. є пов’язана, обмежена неравенством:

[pic] (11).

На рис. 5,6 представлені залежності (11) для n=6, і d=2…7 (штрихові лінії). Порівняння кривих показує, що верхню межу ймовірності связности мережі, особливо в великих d.

Отже, отримана проста верхня оцінка ймовірності связности равнопрочных мереж зв’язку дає шорошее наближення до точному значенням ймовірності связности мережі на великих значеннях d. ———————————- 1.

4 Рис № 1.

n=3.

p.

0 0,2 0,4 0,6 0,8.

0,8.

0,6.

0,4.

0,2.

рс.

а) б) в).

Рис 3.

а) б) в).

Рис 4.

рс.

0,8.

0,6.

0,4.

0,2.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1.

p.

Рис. 5.

d=2.

Рис. 6.

рс.

0,8.

0,6.

0,4.

0,2.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 ?†??? 1.

p.

d=2.