Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Реферат на тему:

Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків.

1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв’язків рівнянь.

— го порядку має вигляд.

.

Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд.

.

що задовольняє початковим даним.

.

.

задовольняє умовам:

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого.

що задовольняє початковим умовам.

.

задовольняє умовам:

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

;

.

що задовольняє початковим умовам.

.

можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв’язків.

2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду.

.

— раз одержимо загальний розв’язок у вигляді.

.

Якщо задані умови Коші.

.

то розв’язок має вигляд.

2) Рівняння вигляду.

.

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді.

одержимо.

.

Проінтегрувавши його, маємо.

.

— порядку.

— раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді.

3) Рівняння вигляду.

.

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді.

одержуємо.

. Проінтегрувавши, маємо.

.

— порядку.

Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо.

— раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді.

4) Нехай рівняння вигляду.

можна розв «язати відносно старшої похідної.

.

й одержимо.

.

Перепишемо його у вигляді.

.

Проінтегрувавши, маємо.

.

.

або.

.

— порядку.

і повернулися до третього випадку.

3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.

— порядку включно.

.

.

.

2) Рівняння не містить явно незалежної змінної.

.

. Тоді.

— порядку.

диференціального рівняння.

.

— нова невідома функція. Одержимо.

Після підстановки одержимо.

.

то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо.

— порядку.

4) Нехай ліва частина рівняння.

тобто.

.

У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл.

.

5) Нехай диференціальне рівняння.

.

розписано у вигляді диференціалів.

— нові змінні. Тоді одержуємо.

.

Підставивши, одержимо.

.

Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку.