Системи лінійних диференціальних рівнянь. 
Загальні положення

Реферат на тему:

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді.

називається лінійною неоднорідною системою диференціальних рівнянь. Система.

називається лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь. Якщо ввести векторні позначення.

.

то лінійну неоднорідну систему можна переписати у вигляді.

а лінійну однорідну систему у вигляді.

.

то виконані умови теореми існування та єдиності розв’язку задачі Коші, і існує єдиний розв’язок.

системи рівнянь, що задовольняє початковим даним.

1. Властивості розв’язків лінійних однорідних систем.

— стала скалярна величина, також є розв’язком цієї системи.

Дійсно, за умовою.

.

Але тоді і.

є розв’язком однорідної системи.

є розв’язками однорідної системи, то і їхня сума також буде розв’язком однорідної системи.

Дійсно, за умовою.

Але тоді і.

є розв’язком однорідної системи.

є розв’язками однорідної системи, та і їхня лінійна комбінація з довільними коефіцієнтами також буде розв’язком однорідної системи.

Дійсно, за умовою.

.

Але тоді і.

є розв’язком однорідної системи.

є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна та уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно за умовою.

Розкривши дужки і зробивши перетворення, одержимо.

А комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю дійсна і уявна частини, тобто.

що і було потрібно довести.

.

то вектори лінійно незалежні.

Визначення 2. Визначник, що складається з векторів.

тобто.

називається визначником Вронського.

лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

.

Або, розписавши покоординатно, одержимо.

.

тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто.

.

.

.

Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь.

. Розглянемо лінійну комбінацію розв’язків з отриманими коефіцієнтами.

.

або.

.

лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

що і було потрібно довести.

.

Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.

Теорема 4. Загальний розв’язок лінійної однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації плінійно незалежних розв’язків.

або в координатній формі:

.

лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже, система алгебраїчних рівнянь.

.

Тоді лінійна комбінація.

є розв’язком поставленої задачі Коші. Теорема доведена.

Властивість 1. Максимальне число незалежних розв’язків дорівнює кількості рівнянь.

лінійно незалежних розв’язків.

— лінійно незалежних розв’язків, називається фундаментальною матрицею розв’язків системи.

Якщо лінійно незалежними розв’язками будуть.

.

то матриця.

буде фундаментальною матрицею розв’язків.

Як випливає з попередньої теореми загальний розв’язок може бути представлений у вигляді.

.

.

2. Формула Якобі.

— визначник Вронського. Обчислимо похідну визначника Вронського.

Оскільки для похідних виконується співвідношення.

…

то після підстановки одержимо.

Розкривши кожний з визначників, і з огляду на те, що визначники з однаковими стовпцями дорівнюють нулю, одержимо.

.

Або.

.

Розділивши змінні, одержимо.

.

.

.

або.

.

Взагалі кажучи, доведення проводилося в припущенні, що система рівнянь може залежати від часу, тобто.

.

Отримана формула називається формулою Якобі.