Умовні ймовірності, незалежні випадкові події
Задача 4. Пристрій, який працює на прорязі часу t, складається з трьох вузлів, кожен з яких, незалежно один від одного, може на протязі часу t відмовити. В={ в родині не більше однієї дівчинки}. Всі елементарні події однаково ймовірні. Обчислити Р (А), Р (В), Р (А (В) і довести, що події А та В незалежні. Задача 3. Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і… Читати ще >
Умовні ймовірності, незалежні випадкові події (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат на тему:
Умовні ймовірності, незалежні випадкові події.
.
Формула множення ймовірностей.Якщо Р (В) > 0, то.
Р (А (В) = Р (В) Р (А (В).
Незалежні випадкові події. Випадкові події А та В (А ((, В (() називаються незалежними, якщо Р (А (В) = Р (В) (Р (А).
Незалежні в сукупності випадкові події. Випадкові події А1, А2, …, Аn (Аi ((, i = 1, 2, …, n) називається незалежними в сукупності, якщо.
при будь-яких k=1, 2, …, n та ((і1 (і2 (…(іk (n. Якщо ці рівності виконуються при к=2, то події А1, А2,., Аn називаються попарно незалежні.
Задача 1. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни підряд виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
Розв’язування. Позначемо: Апоява двох білих куль.
Подія, А є добутком двох подій А= А1 (А2 ,.
де А1 -поява білої кулі при першому вийманні,.
А2- поява білої кулі при другому вийманні.
По теоремі множення ймовірностей.
0,1.
Задача 2. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни виймають дві кулі, але після першого виймання куля повертається в урну, і кулі в урні перемішуються, після чого виймається друга куля. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
Розв’язування. В даному випадку події А1 та А2 незалежні і.
=0,16.
Задача 3. Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події: А= { в родині є хлопчик і дівчинка },.
В={ в родині не більше однієї дівчинки}. Всі елементарні події однаково ймовірні. Обчислити Р (А), Р (В), Р (А (В) і довести, що події А та В незалежні.
Задача 4. Пристрій, який працює на прорязі часу t, складається з трьох вузлів, кожен з яких, незалежно один від одного, може на протязі часу t відмовити.
(вийти зі строю). Відмова хоча б одного вузла приводить до відмови прибору в цілому. За час t надійність (ймовірність безвідмовної роботи) першого вузла.
дорівнює р1=О, 8; другого р2=О, 9; третього р3=О, 7; Знайти надійність прибора в цілому.
Розв’язування. Позначемо:
Абезвідмовна робота прибора,.
А1- безвідмовна робота першого вузла,.
А2- безвідмовна робота другого вузла,.
А3 — безвідмовна робота третьго вузла, маємо: А= А1 (А2(А3 ,.
звідки по теоремі для незалежних подій Р (А)=Р (А1)Р (А2)Р (А3)=р1р2 р3= 0,504.
Задача5. Скільки треба взяти гральних кубиків, щоб з ймовірністю, меньшій.
чим 0,3, можна було чекати, що ні на жодній грані яка випаде не з’явиться шість очок?
. Події Аі (і=1,2,…, n) незалежні в сукупності, тому застосовується теорема множення.
)n.
7.
Задача 6 (приклад Берштейна). На площину кидають тетраедр, три грані якого окрашені відповідно в червоний, зелений, блакитний кольори, а на четверту грань нанесені всі три кольори. Нехай подія Ч полягає в тому, що при підкиданні тетраедра на площину випала грань окрашена червоним кольором і нехай аналогічно визначені події З та Б. Оскільки кожний з трьох кольорів нанесений на дві грані, то.
.
.
.
Задача 7. Підкидають два гральних кубика. Розглянемо випадкові події:
A 1- на першому кубику випало парне число очок;
A 2- на другому кубику випало непарне число очок ;
A 3- сума очок на кубиках непарна. Довести, що події A 1, A 2, A 3 попарно незалежні, але не є незалежними в сукупності.
— теж.
незалежні (спадкова властивість незалежності).
Задача 9 Події А та В1 й, А та В2 — незалежні, причому В1 та В2 несумісні. Довести, що події А та В1(В2 -незалежні.
Задача 10. З множини всіх родин, які мають двох дітей обрано одну родину. Всі елементарні події одинаково ймовірні. Яка ймовірність того що: a) в цій родині два хлопчики, якщо відомо, що в ній є один хлопчик? б) в родині два хлопчики, якщо відомо, що старша дитина хлопчик ?
Задача 11. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% всіх жінокдальтоники. Навмання.
обрана особадальтоник. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати, що чоловіків і жінок одинакова кількість) (Вказівка. Розглянути випадкові події:
).
Задача12. В цеху працюють сім чоловіків та три жінки. По табельним номерам навмання відібрані три чоловіка. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками.
Розв’язування. Нехай подія А-першим відібраний чоловік; Bдругим відібраний.
— ймовірність.
— ймовірність того, що третім був відібраним чоловік, при умові, що вже відібрані два чоловіка.
Шукана ймовірність того, що всі три вибрані особи будуть чоловіками,.
.
Задача 13. Довести, що.
Ak).
(Вказівка. Скористатися методом математичної індукції).
Задача 14. Події А1, А2, …, Аn незалежні в сукупності і Р (Ак)=рк. Яка ймовірнсть того, що відбудеться принаймі одна з подій А1, А2 ,…, Аn.
Задача 15. При одному циклі огляду раділокаційної станції, що стежить за космічним об'єктом, об'єкт буде виявлено з ймовірністю р. Виявлення об'єкта в кожному циклі відбудеться незалежно від інших. Проведено n циклів огляду. Яка ймовірність того, що об'єкт буде виявлено?
Відповідь. р=1-(1-р)n.