Примітивний елемент

Реферат на тему:

Примітивний елемент.

Означення. Нехай x xF0CE Zn*. Порядком числа x називається таке найменше додатне ціле число k, що xk xF0BA 1 (mod n) та позначається ord (x).

Твердження. Якщо ord (x) = k, xt xF0BA 1 (mod n), то t ділиться на k. Зокрема, k ділить xF06A (n).

Приклад. Нехай n = 21. Z21* = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}. xF06A (21) = xF06A (3) * xF06A (7) = 2 * 6 = 12. Порядок елементів множини Z21* наведено у таблиці.

x xF0CE Z21* 1 2 4 5 8 10 11 13 16 17 19 20.

порядок x 1 6 3 6 2 6 6 2 3 6 6 2.

Означення. Нехай g xF0CE Zn*. Якщо порядок g дорівнює порядку групи Zn* (ord (g) = |Zn*| = xF06A (n)), то число g називається генератором або примітивним елементом Zn*. Якщо Zn* має генератор, то множина Zn* називається циклічною.

Властивості генераторів.

1. Zn* має генератор тоді і тільки тоді, коли n = 2, 4, pk, 2 * pk, де p — непарне просте число та k xF0B3 1. Зокрема, якщо p просте, то Zp* має генератор.

2. Якщо g — генератор Zn*, то Zn* = {gi mod n | 0xF020xF0A3 ixF020xF0A3 xF06A (n) — 1}.

3. Нехай g — генератор Zn*. Тоді b = gi mod n є також генератором Zn* тоді і тільки тоді, коли НСД (i, xF06A (n)) = 1. Якщо множина Zn* є циклічною, то її кількість генераторів дорівнює xF06A (xF06A (n)).

xF0B9 1 (mod n) для кожного простого дільника p числа xF06A (n).

Приклад. Множина Z21* не є циклічною, тому що вона не містить елементу, порядок якого дорівнює xF06A (21) = 12. Число 21 не задовольняє властивості 1 генераторів. Множина Z25* є циклічною, її генератором є 2.

Приклад. Множина Z13* має генератор g = 2.

n 1 2 3 4 5 6.

2n (mod 13) 2 4 8 3 6 12.

n 7 8 9 10 11 12.

2n (mod 13) 11 9 5 10 7 1.

g = 4 не є генератором множини Z13*, але є генератором її підмножини.

n 1 2 3 4 5 6.

4n (mod 13) 4 3 12 9 10 1.

Якщо група має генератор, то на поточний час не існує поліноміального алгоритму, який буде знаходити всі генератори групи.

Твердження. Нехай p — просте, g — генератор Zp*. Тоді рівність.

ga = gb * gc (mod p).

має місце тоді і тільки тоді, коли.

a = b + c (mod p — 1).

Звідси випливає існування гомоморфізму f: Zp* xF0AE Zp-1.

Приклад. Розглянемо групу Z13*, генератором якої є g = 2. Тоді з рівності.

217 = 22 * 23 (mod 13).

випливає рівність.

17 = 2 + 3 (mod 12).

— розклад на множники порядка групи Zp* (|Zp*| = xF06A (p) = p — 1). Елемент g буде примітивним елементом групи Zp* тоді і тільки тоді, коли.

xF0B9xF0201 (mod p), 1 xF0A3 i xF0A3xF020k.

Доведення. Елемент g буде примітивним елементом тоді і тільки тоді, коли його порядок дорівнює порядку групи: ord (g) = |Zp*| = p — 1. Якщо для деякого i, 1 xF0A3 i xF0A3xF020k, має місце рівність.

= 1(mod p),.

< p — 1, тобто порядок g не дорівнює порядку Zp* і в такому разі не може бути примітивним елементом.

Твердження. Zp* має точно xF06A (p — 1) примітивних елементів.

1 mod p. Тоді g буде примітивним елементом тоді і тільки тоді, коли.

xF0B9 1 (mod p).

.

1 mod p. Якщо g не примітивний елемент, то елемент (-g) буде примітивним.

(mod p) xF0BA -1 (mod p), тобто (-g) є примітивним елементом.

є простими.

Для знаходження генератора групи достатньо обрати довільний елемент g xF0CE Zp* та перевірити, чи є він генератором. Якщо ні - то генератором буде елемент (-g) xF0BA p — g.

Приклад. Знайти примітивні елементи в групі Z11*.

1 mod 11, генераторами не будуть (таких значення два: g = 1, g = 10). Кількість генераторів групи Z11* дорівнює xF06A (10) = (2 — 1) * (5 — 1) = 4.

(mod p) = g5 (mod 11):

g 2 3 4 5.

g5 10 1 1 1.

Елемент g = 2 буде примітивним оскільки 25 xF0B9xF0201 (mod 11), а g = 3, 4, 5 — ні. Отже всією множиною примітивних елементів у Z11* будуть g = {2, 11 — 3, 11 — 4, 11 — 5} = {2, 8, 7, 6}.

Відповідь: примітивними елементами в Z11* будуть g = {2, 6, 7, 8}.

не дорівнювало 1 (pi — дільники порядка групи G). Оскільки циклічна група G порядку n має xF06A (n) генераторів, то ймовірність того що перше навмвння обране число g xF0CE G буде примітивним елементом, дорівнює xF06A (n)/n.

Алгоритм.

.

Вихід: генератор g групи G.

1. Обрати довільний елемент g із G;

2. for i xF0ACxF0201 to s do.

;

2.2. if (b = 1) then goto 1;

3. return (g);

Приклад. Знайти генератор групи Z139.

Обчислимо порядок групи Z139: |Z139| = xF06A (139) = 138. Розкладемо число 138 на прості множники: 138 = 2 * 3 * 23. Кількість генераторів Z139 дорівнює xF06A (138) = xF06A (2) * (3) * (23) = 1 * 2 * 22 = 44. Ймовірність того що взяте довільним чином число із Z139 є генератором, дорівнює 44 / 138 xF0BB 0.31. Число 138 має три дільника. Тому для того, щоб превірити чи є генератором навмання обране g xF0CE Z139, достатньо обчислити значення g138 / 2 mod n, g138 / 3 mod n, g138 / 23 mod n та впевнитися що вони не дорівнюють 1.

g g69 mod n g46 mod n g6 mod n.

64 1.

8 138 1.

99 1.

76 138 1.

70 138 42 63.