Лінійна алгебра. 
Матриці та вектори

Реферат на тему:

Лінійна алгебра. Матриці та вектори.

Означення. Матрицею розміром n*m називається прямокутна таблиця чисел.

Означення. Матриці A=(aij) та B=(bij) називаються рівними (однаковими), якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij=bij для всіх значень i та j).

Означення. Сумою двох матриць A=(aij) та B=(bij) з однаковою кількістю рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де.

cij=aij+bij (i=1,…, m; j=1,…, n). (1.1).

Означення. Добутком матриці A=(aij) на число k називається матриця B=k (A вигляду B=k (A=(k (aij).

Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із кількістю стовпців (n=m).

Означення. Квадратна матриця E=(eij) називається одиничною, якщо.

.

тобто ця матриця має вигляд.

.

.

елементи якої обчислюються за формулою.

(1.2).

Приклади.

.

.

2. Нехай, крім того,.

.

.

D (C — не має сенсу,.

Зазначимо, що в останньому прикладі А (В (В (А .

Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:

Е (А = А (Е = А (властивість множення на одиничну матрицю);

О (А = А (О = О (властивість множення на нульову матрицю);

k (O = O (k = O A+O = O+A =A;

(((A) = ((()A; (A ()(= A ((();

A+B = B+A (комутативна властивість додавання);

A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативна властивість додавання);

((+()A = (A+(A;

((AB) =((A)B;

(A+B)C = AC+BC; C (A+B) = CA+CB.

.

Виконуються такі властивості:

(AB)T = BTAT;

((A+(B)T = (AT+(BT;

(AT)T = A.

.

Добуток матриці на вектор обчислюється за загальним означенням множення матриць:

.

.

Приклад. Для виготовлення виробів W1 та W2 потрібні вузли v1 та v2. Для виготовлення цих вузлів, в свою чергу, відповідно, потрібні деталі d1, d2 та d3 у кількостях, що наведені у таблицях:

Вироби Кількість вузлів.

Вузли Кількість деталей.

v1 v2.

d1 d2 d3.

W1 2 3.

v1 2 1 0.

W2 1 4.

v2 1 0 3.

Обчислити кількість деталей, що потрібні для виготовлення кожного із виробів W1 та W2.

На основі аналізу цих таблиць бачимо, що шукана кількість деталей облислюється як добуток матриць.

.

Отриманий результат такий:

Вироби Кількість деталей.

d1 d2 d3.

W1 7 2 9.

W2 6 1 12.

Зокрема, для виготовлення виробу W2 потрібно 12 деталей d3.

Приклад. Нарахувати заробітну плату, яку потрібно виплатити на кожне замовлення, якщо вхідна інформація задана у таблицях:

Таблиця A.

Виріб Затрати робочого часу на робочих місцях, год.

1 2 3 4.

W1 0,8 2,1 1,2 3,0.

W2 1,3 0,5 2,8 0,2.

W3 1,1 1,0 2,5 1,8.

Таблиця B.

Замовлення Кількість виробів.

W1 W2 W3.

Z1 5 7 3.

Z2 4 0 2.

Z3 6 2 1.

'.

(.

R.

T.

X.

Z.

^.

h.

j.

n.

p.

t.

o.

th.

&.

(.

R.

X.

Z.

t.

z.

|.

~.

‚.

".

†.

x02C6.

x0152.

jE.

!

J.

x34FFx06D6x0100×030AlxF661×1603×6602×0134×0500 Таблиця C.

Робоче місце Погодинна заробітна плата, грн.

1 1,30.

2 1,25.

3 1,40.

4 1.45.

Помноживши матрицю B на матрицю A, отримуємо затрати часу на робочих місцях щодо кожного замовлення:

Замовлення Затрати робочого часу на робочих місцях, год.

1 2 3 4.

Z1 16,4 17 33,1 21,8.

Z2 5,4 10,4 9,8 15,6.

Z3 8,5 14,6 15,3 20,2.

.

Перемноживши отриману матрицю на вектор (матрицю-стовпець) C, обчислимо витрати на зарплату щодо кожного із замовлень:

Замовлення Витрати на зарплату.

Z1 120,52.

Z2 56,36.

Z3 80,01.

Отже, витрати на зарплату обчислюються як добуток матриць:

.

Приклад. Входження деталей та комплектуючих у деякий виріб показане на рисунку 1.1 :

Виріб.

4 3 10 15.

Комплектуюча Комплектуюча Деталь Деталь.

K1 K2 D1 D2.

2 3 4 5.

D1 D2 D1 D2.

Рис. 1.1.

Визначити загальне входження кожної з деталей D1 та D2 у виробі.

Побудуємо відповідні матриці.

. Тут рядки відповідають деталям, а стовпці комплектуючим.

.

Тоді загальну кількість деталей D1 та D2 у виробі обчислюють за формулою.

.

Отже, для виготовлення одного виробу потрібно 30 деталей D1 та 42 деталі D2 .

Означення. Нехай A=(aij)i=1,…, n;j=1,…, n — квадратна матриця. Оберненою до неї матрицею A-1 називається матриця, для якої має місце.

A (A-1=A-1(A=E .

Якщо обернена до A матриця існує, то (A-1)-1=A.

Приклад.

.

Справді,.

.

.

За допомогою оберненої матриці можна розв’язувати системи лінійних рівнянь, оскільки запис.

є рівнозначний до запису.

знаходиться при допомозі множення зліва обидвох частин на обернену матрицю A-1 :

.

(1.3).

.

Відшукання оберненої матриці досить складна математична задача. Проте дії над матрицями реалізовані у багатьох комп’ютерних системах. Зокрема, в системі EXCEL обчислення оберненої матриці реалізується за допомогою так званої функції масиву MINVERSE, а множення матриць -за допомогою функції масиву MMULT (зазначимо, що функція масиву, на відміну від звичайної функції, вводиться одночасним натисканням трьох клавіш — Shift, Ctrl та Enter).

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ Барковський В., Барковська Н. Математика для економіста. — К., 1997. Т.1−3.

Бугір М. Математика для економістів. — Тернопіль, 1998.

Михайленко В., Федоренко Н. Математичний аналіз для економістів. — К., 1999.

Нікбахт Е., Гроппелі А. Фінанси. — К., 1993.

Nicholson R.N. Mathematics for Business and Economics. — 1986.

Завада О. Методичні вказівки до виконання контрольних робіт.

з курсу «Математика для економіста». — Львів, 2000.